高等数学课教案

高等数学精品课教案

摘要：一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外.

当...的导数的相关公式和运算法...设均可导，则

(1);(2)(为常数)；(3)30.复合函数的求导法则设，均可

导，则复合...

关键词：论，算法，导

类别：专题技术

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《高等数学》精品课教案

课题：§1.1函数及其性质

教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值

2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义

教学重点：初等函数的概念、图形及性质

教学难点：分段函数的概念

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

一、导入新课

在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在

着依赖关系，我们观察下面几个例子：

例如：某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量x之间存在这样的依赖关

系：L-px

又例如：圆的面积S和半径r之间存在这样的依赖关系：SZ

不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，

这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数

值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。

二、讲授新课

(-)函数的定义

定义设有两个变量x,y。对任意的xGD,存在一定规律f,使得y有唯一确定的值

与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x),xGD。其中x叫自变量，y叫因变量。

定义1°(集合的观点)A,B为两个数集，对任意的xGD,存在f,在B中有唯一确定

的值与之对应。记作：f：A-B

函数两要素：对应法则、定义域(有的可直接看出，有的需计算)，而函数的值域一般

称为派生要素。

例1f(x)=2x2+3x-l就是一个特定的函数，/确定的对应法则为：

f(>2(>+3()-1

例1°：设f(x+l)=2x)+3x-l,求f(x).

解：设*+1=1得乂="1,则

f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2

f(x)=2x2-x-2

其对应法则：f()=2()2-()-2

定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：

①分母不等于0②偶次根式被开方数大于或等于0③对数的真数大于0

JI

@y=x0(xWO)⑤y=tanx(xKk/c+—,keZ)等.

i---------------zx—1

例2求函数y=W—x-6+arcsin-------的定义域.

7

解：要使函数有定义，即有：

2

"x-x-6>0x>3^x<—2

Y||<1a，<=>-3<x<-2或3<x<4

-3<x<4

于是，所求函数的定义域是：[-3,-2]U[3,4].

小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我

们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。

例3判断以下函数是否是同一函数，为什么？

(1)y=lnx2与y=21nx(2)w=VM与y=y[x

解(1)中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.

(2)中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.

函数的表示法：

(1)解析法(或分析法、公式法)。如：y=sinx、y=&+i,这样的表达式亦为

函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；

(2)图示法：如用直角坐标(或极坐标等)平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优

点是直观；

(3)表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行

函数值的查询。

分段函数

若函数/(幻在定义域不同的区间上用不同解析式来表示，则称函数/(x)为分段函数.

「无一1,x<0,

如=10，%=0，

[x+1,x>0

(二)函数的几种特性

要研究函数，首先函数必须要有意义，假设f(x)在区间。上有定义。

1、有界性

若存在两个数A和B,对一切xe。7,有A4/(X)MB成立，则称为/(x)有界函数.例如:

y=sinx,y=cosx在全数轴上均有界，而°(_0=」在(0,1)内无界.

x

思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？

y=sinxy=cosxy=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

2、单调性

对y=Z)y>若对任意两点为,工2e9，当々々时有/(zi)/(x2)»

则称函数/(X)在。上单调增加，区间。称为单调增区间；反之，函数/(X)在。上单

减少，区间。称为单调减区间.单调增区间或单调减区间统称为单调区间

例如y==log(,x在其定义域区间内均为单调函数。

3、奇偶性

对y=，(x),xeD/，若/(一幻=一/(幻成立，则称/(x)为奇函数；若

/(_幻=/(幻成立，则称/(幻为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数

的几何图形关于y轴对称.例如：函数y=/cosx是偶函数。例如：函数y=d是奇

函数。例如：函数y=/+1既不是奇函数也不是偶函数。

4、周期性

对1y=(-8,+8),若存在常数a；#0,对任何x,满足

则称/(X)为周期函数，⑶是了的一个周期.例如，函数y=sinx,y=cosx的

周期均为2万，y=tanx的周期为"。而y=c(匕是一个常数)是以任何正数为周期的

周期函数，但它不存在基本周期，所以说，并不是所的周期函数都存在基本周期(最小

周期)。

(三)反函数

定义函数y=f(x),若把y当作自变量，x当作函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x

=4>(y)称为函数y=f(x)的反函数，记作y=L(x).

注：求函数的反函数的一般方法是将关系式y=/(x)经过一系列的变换，变成

尤=9(y)的形式，最后再表示成y=e(x)的形式。

三、课堂练习

心思考题P51、3

四、小结

理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；了解函数的有界

性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义；掌握基本初等函数的图形和性质.

五、布置作业

名习题一1、2、4、5、7、8.

选做：3、6

课题：§1.2函数及其性质

教学目的：1.掌握基本初等函数的图形和性质

2.理解复合函数的概念

3.掌握复合函数的构成过程

教学重点：复合函数的构成

教学难点：复合函数的分解及反三角函数的图象

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

一、导入新课

前面一节课讲了函数的定义，函数的性质、两要素和反函数，说到反函数有必要再讲讲

反函数的图象，特别是反三角函数的图象。

1、什么样的函数才有反函数，为什么？

答：一一对应的函数才有反函数，因为从函数的定义知，函数y=f(x),对任意的x有唯一

的y与之对应。反函数是自变量和因变量互换，所以对任意的y也应有唯一确定的x与之对

应，函数x=0(y)才有意义。所以只有一一对应的函数才有反函数。

2、问题出现：对正弦函数和余弦函数，不是一一对应的函数，为什么会有反函数？

TTTT

答：取一个周期，取[-22J,

22

兀

原函数y=sinx,XG[一万,—],ye[-1,1]

冗ji

反函数y=arcsinx,xe[-1,1J,ye[——,—\

二、讲授新课

(一)基本初等函数

常数函数：y=c(c为常数)

塞函数：y=x"(〃为常数)

指数函数：y=a*(a>0,aH1,a为常数)

对数函数：y=logHx(a>0,a/1,a为常数)

三角函数：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx

反三角函数：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

(二)复合函数

定义设y=/(”),其〃=°(x)中，且以X)的值全部或部分落在了(")的定义域内，则

称丁=八°(幻]为X的复合函数，而“称为中间变量.

简单说：几个基本初等函数的组合

例1:若y=&,u=sinx,则其复合而成的函数为

y=Jsinx,要求u必须之0,sinx>0,xe[2k万，n+2knJ

例2：分析下列复合函数的结构

(1)y=^cot|⑵y=e*n历

解：(1)y-y[u,u=cosv,N~~

(2)y=elt9u=sinv,v=yft,t=x2+1

例3：设f(x)=/g(x)=2v求f[g(x)]g[f(x)]

解：f[g(x)]=f(2')=(2*)2=4*g[f(x)l=g(x2)=2*

注：此题用“整体代换”的思想.

（三）初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的

函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。

e-e

例：双曲正弦函数shx=--------

2

ex+e~x

双曲余弦函数chx=--------

2

shx

双曲正切函数thx=---

chx

注：分段函数一般不是初等函数

三、课堂练习

Ph习作题I,2PtQ9、10、11、17、25、26

四、小结

掌握基本初等函数的图形和性质，理解复合函数的概念，掌握复合

函数的构成过程.

五、布置作业

《。习题一12、13、14、15、18、19、

选做：24、29

课题：§2.1极限的概念

教学目的：1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右

极限之间的关系。

2.熟练掌握X—8和xfX。时f（x）的极限存在的充要条件

3.理解无穷大、无穷小的概念，

4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限

教学重点：函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.

教学难点：L函数极限的定义及./'（与-（））、/（%+0）的含义

2.分段函数在x/时的极限的讨论方法

3.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

一、导入新课

1.写出下列函数的复合过程

(1)y=ylx3-2x24-5(2)y=sin2x

思考：若>=1+-L,当x无限的靠近1时，y值怎样变化？

二、讲授新课

(-)函数的极限

(1)定义函数y=f(x),当自变量x无限接近于某个目标时(一个数x0,或+8或一8),

因变量y无限接近于一个确定的常数A,则称函数f(x)以A为极限。

规定：1°x从x0的左右两侧无限接近于X。，记xfx。

2°x从X。的左两侧无限接近于x0,记xfx。-

3°x从x°的右两侧无限接近于X。，记xfX。*

4°x无限增大时，用记号x-»+oo

5°x无限减小时，用记号x——8

6°W无限增大时，用记号xfoo

(2)点x的b邻域

N(x,6)=(x—S,x+3),其中很小的正数，

X的去心b邻域N(2，8)=(x()—S,x())U(Xo，Xo+5).

1、xfx0时函数的极限

举例说明：xf1时，函数无限接近于多少？

观察：当：xfl时，f(x)=x+l,无限接近2

X2-]

当：X-1时，g(x)=--无限接近2

f(x)在x=l有定义,g(x)在X=1处无定义

定义1如果当X->X。时，函数/(幻无限趋近于一个确定的常数A,则称4为函数

/(x)当xTX。时的极限，记作limf(x)=A或(当xfx0时).此时也称

lim/(x)存在。如果当x->X。时，函数f(x)不趋近于任何一个确定的常数，则称

XTX0

lim/(X)不存在。

--I

如：lim(x+l)=2,又如lim-----=2

xf1x->l_X-1

龙一1-1x-1

注意：f(x)=^^^在X=1处无定义，但当n一»1时，函数£3=^__无限趋近于一

x-1x-l

X-1

个确定的常数2,所以lim---=2o

ix-1

结论：函数/(x)当XTX。时的极限是否存在，与/(X)在点与处是否有定义无关.

Xz-1-X-1

如上举例f(x)=^~^在x=l处无定义，但lim-~-=2.

x-1X-1

定义2右极限当X-x0+,有lim/(x)=A

定义3左极限当XfX。一,有lim/(x)=A

函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

定理1［极限存在的充分必要条件］

函数/(X)当X->X0时的极限存在的充分必要条件是，/(X)当XfXo时的左右极限都存

在并且相等.即lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A

X—>XQX―>场X—>XQ

注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相

等。

例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限

sinx,x<0

X+1,X>2y=\l八

y=J-x,x>0

(1)[x,x<2(当x—2时)⑵13(当x->0时)

limy=2,limy=3liinywlimy

解：(1)•.・xf2-,x-2-xr2+

・・・函数在指定点的极限不存在。

limy=sin0=0,limy=_xO=OHmy=limy

(2)•:Xf0-10+3,x->0-x->0+

・・・函数在指定点的极限吧产。

定理2limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A

X->8A-—>+Q0XT-CO

(二)数列的极限

定义4对于数列｛〃“｝,如果当n无限增大时，通项〃“无限接近于某个确定的常数A,

则称A为数列〃”的极限，或称数列｛〃/收敛于A,记为lim册=八或“，fA(nf8)

X->00

定理3［单调数列极限存在定理］

单调增加(上升)数列：*《“2W*3W"<…

单调减少(下降)数列：*N/N与N…N居'£+1N…

单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。

［单调有界原理］:单调有界数列必有极限。

(三)极限的性质

1、唯一性若lim.f(x)=A,lim/(x)=B,则A=B

XTX°XTX。

2、有界性若lim/(x)=A,则存在与的某一去心邻域N(£0,5),在N(&)，5)内

函数/(X)有界.

3、保号性若lim/(x)=4且4>0(或4<0),则存在某个去心邻域N(£0，方)，在

XTX。

N(i0,b)内f(x)>0(或(f(x)<0).

4、夹逼准则

设在X。的某邻域内(可不包括点与)有g(x)</(x)<〃(x)

且limg(x)=limh(x)-A,则lim/(x)存在且limf(x)-A

X—>而X—>A0x—>xoX—>XQ

这个定理称为夹逼定理，它同样适用于Xf8的情况

在这个公式里X趋近于哪个数是非常重要的，X趋近于不同的数,极限是不同的。

(四)关于极限的几点说明

1.一个变量前加上记号“lim”后，是个确定值。

例：正n边形面积％,lims=圆面积

“T8n

2.关于“xf的理解：只要求在X。的充分小邻域有定义。与在点/和远离/点有无

意义无关。

例：在求分段函数的极限时尤为重要。

3.常数函数的极限等于其本身。即：limC=C

(五)无穷小量与无穷大量

1、无穷小量概念

定义5极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；

注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。

2、数零是唯一可作为无穷小的常数。

3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。

2、一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。

当xfa(或8)时，如果函数f(x)的极限为0,则称当x—a(或8)时，f(x)是无穷小

量。

若数列｛an｝的极限为0,则｛a„｝是无穷小量。

例如：limsinx=0,所以，当xfO时，sinx是无穷小量。

同样，当x~*0时x"(。>0),1-cosx,arcsinx等都是无穷小量。

当x-+8时，lim-=0,所以｛L｝是无穷小量.

nn

同样，当％->4W时都是无穷小量。

4nn-2"

定理4极限与无穷小之间的关系：

若limf(x)=A,PI>J/(x)=A+a(x)o

Xfo

其中a(x)为无穷小量：limo(x)=0,逆命题也成立。

Xf%

无穷小量的性质

定理5有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

例如，当X-0时，x+sinx也是无穷小量

定理6无穷小量与有界量之积是无穷小量。

例如，当x-0时，xsinx也是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

例如，当x-0时，3sinx也是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。(注：两个无穷小之商未必是无穷小)

2、无穷大量

当X-/(或土8)时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x-x0(或±8)时,

f(x)是无穷大量。记作limf(x)=8,或f(x)f8。

定义6若lim/(%)=oo(或lim/(%)=co),则称f(x)为当xfx。(或x-»8)时

XT丽X—>00

的无穷大量,简称无穷大。

如limL=8,表示当x-0时，,为无穷大.

xX

关于无穷大量几点说明：

1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念；

hm/(x)=oohmf(x)=co

2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作I"或19''.

3.若数列｛%”)当n-+8时，它项的绝对值无限增大，则｛%“｝是无穷大量。

4.如果当x—Xf,(或±8)时，函数f(x)是无穷大量，那么---就是当x-X。(或±8)

/(x)

时的无穷小量，反过来，如果当X-x0(或±8)时，函数f(x)是非零无穷小量，那么」一

/(X)

就是当XfX。(或±8)时的无穷大量。即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。⑵无穷小量俳

零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。

因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0,

证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。

三、课堂练习

P20习作题1、24习题二1、3

四、小结

理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之

间的关系；熟练掌握Xf8和XfXo时f(x)的极限存在的充要条件，理解无

穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的

性质求极限.

五、布置作业

吕।习题二2、4、

课题：§2.2极限的运算(一)

教学目的：掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限

教学重点：函数极限的运算法则及其推论

教学难点：函数极限的运算法则的灵活运用

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

一、导入新课

1、函数极限是怎样定义的？函数极限存在的充要条件是什么？

2、无穷小的性质有哪些？

二、讲授新课

(-)极限的运算法则

设x在同一变化过程中lim/(x)(此处省略了自变量x的变化趋势，下同)及limg(x)

都存在，则有下列运算法则：

法则1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

法则2、lim[f(x)•g(x)]=limf(x)•limg(x)

法则3、lim(limg(x)^O)

g(x)limg(x)

提示：法则的证明不作要求.

(1)直接代入求值

例1求lim(3x2-4x+l)

x->2

解:lim(3X2-4X+1)=3*22-4»2+1=5

x->2

„2x"+x—4

例2求lim----：-----

x"3x2+2

2一+一4Ji^(2/+x-4)3

解:lim

Xf—13x2+2lim(3x2+2)5

XT-1

/-7X+12

例3求lim

x->4x2-5x+4

..x"—7x+12,(x—3)(x—4).x—•31

解:lim----------二lim------------=lim----=-

xT4x-5x+414(X-l)(X-4)x->4x-\3

小结：Xf与时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）

2x-3

举例:1、lim6x2^lim(6x+5)3、lim(x2-6x)4、lim

x->5X->10*T55x+3

x2-36/-4X+4

5、lim6、lim

XT-6x+6Xf2x-2

00i

(2)一型

00

2x~+x—3

例4求lim

XTOO3x^—x+2

c13

2H----------

2x~0+x—3xx22

解：lim------=lrim----y~

xf83x~-x+218嗓1,23

J---1-----Y

XX

oo

小结：X-00时，一型的极限,可用分子分母中x的最高次嘉除之

00

课堂练习1、计算lim3

X—8SAT+X

(3)8-00型，9型，

0

例5求下列函数极限

•V/31、门「Jl+x-1c「xcosx

］、lim(----------)2、lim--------3、lim/

3

T1-x\-xsoxJi+x

An1］.Z31、3—(1+x+x2)

解：］、lim(----一------)=lirm--------------—

1-xl-xX』(l-x)(l+x+x)

2+x

二lim

XTl(l-x)(l+x+x.)XT11+X+

Jl+x-1(Jl+x-1)(J1+x—1)

2、lim--------------=lim

.r->0xx->0MJI+X+1)

X「1

=lim-----------=lim/——

xf0x(Vl+x+1)Vl+x+1~2

c..xcosx..X

3、lirn-1二lirn一/・cosx=0

x->+<o1+X3…

小结：1题可看成直接代值的特殊情况

2题是“9型”经常可通过分母、分子有理化解决

0

3题是无穷小与有界量的积为无穷小

三、课堂练习

P26习作题1、(1)〜(3),

补充：求下列极限

1、lim口+Z,lim/smj.3、「arctanx

9-3lim-----------

XTOx10xXT8x

四、小结

00

掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限。特别情形：X-8时，一

00

型的极限，可用分子分母中x的最高次事除之；9型经常可通过分母、分子有理化解决；

o

无穷小与有界量的积为无穷小.

五、布置作业

2H习题二5、6、

选做：P26思考题1

课题：§2.2极限的运算(二)

教学目的：1.掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限

2.理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义

3.掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量

4.会运用等价无穷小量求函数的极限

教学重点：1.两个重要极限及其应用

2.高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定及其应用

教学难点：1.两个重要极限的应用

2.等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

、导入新课

考察极限lim也

XT。X

观察：当xf0时函数的变化趋势

M弧度）0.500.100.050.040.030.02

sinx

0.95850.99830.99960.99970.99980.9999

X

当x取正值趋近于0时，目”-1,即limm竺=1；

XXf°+X

当x取负值趋近于0时,，-x->0,-x>0,sin(-x)>0.于是

..sinx..sin(-x)

lim----=hm--------

XT。-XTTO*(-X)

二、讲授新课

（二）两个重要极限

o,.sinr

1°hm-----=1

X

特点：①它是“g”

型

sinA

②lim-----二1（三角形△代表同一变量）

AfOA

X

思考：lim一一=l吗？

3°sinx

例1求lim冗・sin一

XT8X

sin2xsin2x小

解:limlim------>2=2

xrOxio2X

sinx

注:limw1

XTCO龙

sinx

limlim-•sinx=O

XT8xI00X

例2求limx,sin一

XT8X

sin』

解:limsin—=limQ

XTCCXx-»oo

X

sin3x

例3求lim

x->0sin4x

..sin3x..sin3x3x4x3

解:lim------=lim[r

1。sin4xio3x4xsin4x

(复习二倍角)

2

cos"=cos?cr-sina=2cos2a-1=1-2sin2a

1+cos2a.1-cos2a

/.cos2a-sin2a-----------

22

1-cosx

例4求lim---z——

x2

2sin—sin-11sin-1

解：原式=lim----厂2=lim[(----)2•—]=—lim[----]2=—

2

ioxt-»ox22.'-->0x2

22

注：1、乘积的极限f写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。

2、非弦函数化有弦函数

课堂练习(一)求下列极限

sin*-xsm_4x「x'

1>lim——--2>lim-------3、lim-----——

iox10x103sin'2x

4、limx•tan—5、limx^cotx6、lim/一一——

XT8x10XTO

考察极限lim(1+-)x

18X

观察：当+8时函数的变化趋势

X1210100010000100000100000•••

(1+-),22.252.5942.7172.71812.71822.71828

X

当X取正值并无限增大时，（1+工），是逐渐增大的，但是不论X如何大，（1+工），的值

XX

总不会超过3.实际上如果继续增大X.即当Xf+oo时，可以验证（1+，）'.是趋近于一个确

X

定的无理数e=2.718281828....

当xf-8时，函数+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.

X

2°lim（1+-）x=e

18X

特点：（1）lim（1+无穷小）无穷大"即J型；

（2）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，lim（l+-）A

推广：①lim(l+x)x=e②lim(l+A)z=e

.90A->0

例5lim(1+—)3*

XT82x

122

解:原式=lim[(l+」-)212=e2

例6lim(1+—)3j+2

XT82x

iiii2

解：原式=lim[(1+——)3a+2•(1+——)2]=lim(1+——)”•lim(1+——)2=e2

2x2x2xI002x

3

例7lim(1+—)v

18x

1-e3R

解：原式=lim(1+-)3=e3

,S8X

3

2

例8lim(1----)v

XT8x

21--«(-2)

解：原式=lim[1+(一一)/=lim[1+—]2-=e&

XT8XX->XX

~2

2—r

例9lim(上」)*

2003-x

3-r-111

解：原式=lim()“=-——)A=lim(l+—!—)x

•S83—X*T83—X181一3

1R11

=lim(1+------)"一•(1+-------),=e

•r->8x-3x-3

课堂练习(二)

P26习作题1(4)—(8)

(三)无穷小的比较

例：当x-0时，a=3x,/?=x2,y=sinx

x23犬.sinr1

但hm—=0lim—=ooflim-------=-

x_>03x10/mo3X3

为了比较无穷小趋于零的快慢，引入无穷小阶

定义：设某一极限过程中，a与夕都是无穷小，且limg=C

a

(1)若C=0,则称夕是比a高阶的无穷小，记成夕=0(a)也称a是比夕低阶的无穷小。

(2)若CHO,则称a与夕是同阶无穷小。

特别：若C=l,则称a与夕是等价无穷小，记为a〜夕

等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。

常用的几个等价无穷小代换：

X2

当x-0时，有sinx〜xtanx〜xarcsinxxarctanx〜x1—cosx

2

ln(l+x)〜xex—l~xJl+x-1-----x

2

sin3x

例10求lim

x->0sin4x

..sin3x..3x3

解:lim--------二lim——=—

XT。sin4xx-o4x4

1-cosx

例11求lim

XTOx2

2

X

..1-cosx..21

解:lim----；——二hm£=一

2

XT。X2。/2

tan2x

例12求lim

XTOsin5x

..tan2x..2x2

解:lim--------=lim——=—

a。sin5xx->o5x5

tanx-sinx

例13lim---------------

3

XT。X

x•—x2

..sinx(l-cosx)21-11

解:lim------------------=lim-.....------=lim---------=—

XT。xcosx1。xecosxkto2cosX2

注：1°用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）

2°分子或分母中若有“+号连接的各部分不能分别作替换。

三、小结

掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限，理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小

量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量，会运用等价无穷小量求

函数的极限。特别地，用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因

式进行替换），分子或分母中若有“+号连接的各部分不能分别作替换。

四、布置作业

鸟6习作题2、61习题二7

选做：习题二9

课题：§2.3函数的连续性

教学目的：1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，

3.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理）,

并会应用这些性质。

教学重点：1.函数连续性的有关概念及其应用

2.间断点及其分类

教学难点：1.点连续性及复合函数连续性的概念及其应用

2.函数的连续性的判定

课型：讲授课

课时：2课时

教学过程

一、导入新课

微积分学中研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。连续函

数反映了自然界中普遍存在的连续变化现象，如气温的变化，河水的流动等等。

二、讲授新课

(一)函数连续性的定义

1、点连续

定义1设y=f(x)在点与的某邻域上有定义，如果自变量的增量Ar=%-项)趋于零

时，对应的函数增量也趋于零，即lim△)，=lim[f(x+Ax)—/(x。)]=0

Ar->0Axf00

则称f(X)在点X。是连续的。

易知：Ax—>00工—冗0<y—>0<»lim[/(x)-/(x0)]=0

XT%)

即lim/(x)=/(/),于是有

0

定义2设函数y=f(x)在点与的某邻域内有定义，若lim/(x)=/(%),

则称函数f(x)在点/处连续，f(x)在点与连续，必须满足三个条件：

(1)f(x)在点/的一个邻域内有定义

(2)lim/(x)存在

(3)上述极限值等于函数值/(%)

只有一个条件不满足，则点与就是函数f(x)的间断点。

2、函数在区间上连续的概念

在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或说函数

在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间。若连续区间包括端点，那

么函数在右端点连续是左连续，在左端点连续是右连续。

定义3(间断点的分类)：设/是/*)的一个间断点，如果：

(1)/(x)的左右极限都存在，称/为/(x)第一类间断点，当

lim/(x