新课标背景下大观念的研究评介：以数学学科为例

新课标背景下大观念的研究评介：以数学学科为例

摘要：数学大观念是对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体，具有概括性、永恒性、迁移性及发展性的特征。数学大观念的提出是数学学科领域大观念研究的重要突破。培养学生的大观念不能忽视学生的已有经验，并注重在实践中积累，鼓励学生的亲身参与和主动建构。已有的围绕大观念进行课程设计的案例为切实在数学教学中落实大观念提供了重要参考及指导。大观念的价值体现在优化学生学习、体现并促进学习进阶、促进教师专业发展等多个方面，可以而且应当成为数学学习新的架构方式。关键词：大观念，BigIdea，数学教学引言

在这个科学技术突飞猛进，信息技术爆炸式增长的时代，知识无论是其深度还是广度都时刻变化，学生的学习也发生着变化，将学习与真实世界和未来生活建立关联的必要性渐增。当碎片化的知识习得以及无意义的学习不能满足新时代学习者的需求时，基于一种上位概念和整体架构的理念成为迫切需求，而大观念正是这一迫切需求的可行出路。大观念，其英文为BigIdea或BigConcept，前者更为普遍。也有研究者将之称为大概念或者大观点。它居于学科的中心位置，具有超越课堂的持久和迁移价值，[1]是理解的基石，[2]是对知识内容的新的整体式建构方式，学科观念是发展学科素养的前提条件。[3]一、大观念的内涵及特征1.1大观念的内涵

我国有学者指出教育领域大观念的研究起源自布鲁纳关于教育过程的研究。[4]布鲁纳倡导了解学科基本结构，在此基础之上实现知识的有序习得，并进而促进学生解决具体问题。“结构”、“联系”和“迁移”是大观念内涵的本质，即在认识到事物之间普遍联系的基础之上，以结构化的模式构建各种具体内容。“结构”和“联系”是大观念实现“迁移”的必要基础。

学界对于大观念的界定有多种表述，《国外围绕大概念进行课程设计模式探析及其启示》[5]一文做了详细介绍，此不赘述。但是各界定均体现了大观念所具备的“结构”、“联系”和“迁移”的本质内涵。

格兰特•威金斯（Wiggins.G）认为“如果一个观念能帮助我们理解很多毫无意义的、孤立的、惰性的或令人困惑的事实，那它就是大观念”。[6]

查莫斯(Chalmers.C)等提出STEM领域的内容大观念和过程大观念，内容大观念可以是概念（例如加法，减法，乘法和除法；空间，力等），原则（例如乘法分配律），理论（例如勾股定理），策略（例如自上而下的以及自下而上的设计策略；设而不求等问题解决策略）或模型（例如概率模型）；过程大观念是与获取和有效使用内容知识相关的智力技能（例如观察，试验，控制变量，制定假设，解释数据等）。[7]

上述威金斯和查莫斯对于大观念的界定是学界两种典型的界定方式，前者更关注作为大观念的那些观念的特征；后者从大观念的内容和表现出发，具化大观念的具体内容。1.2数学大观念的内涵

本文在已有大观念的文献解读之上，着重评介数学学科的大观念。

查尔斯（Charles.R.I）将数学大观念定义为：对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体。[8]

澳大利亚维多利亚州教育和儿童早期发展部（DEECD:VictorianDepartmentofEducationandEarlyChildhoodDevelopment）将数学大观念界定为：是思考数学某些关键方面的一种观念、策略或方法，其缺乏会严重影响到学生在数学上能取得的进步；涵盖并联系着其他多种观念和策略；是一种理想化的认知模型，也就是说，它提供了支持进一步学习和概括的组织结构或参考框架；无法明确界定，但可以在活动中观察。[9]

查尔斯的大观念界定体现了数学大观念应当居于数学学科的核心位置，并且能够以之将数学构建为连贯的整体。DEECD认识到数学大观念对于关键知识、技能、思想方法的学习具有重要价值，并指出大观念应当落实到实践中去，并可以在活动中观察。作为学科大观念的子集，数学大观念深刻体现了大观念的本质内涵：结构、联系和迁移。1.3数学学科大观念和数学素养

发展学科思维的基本方法是对少量的、典型的学科范例展开深度探究，力促课程架构由“学科事实覆盖型”向“学科观念理解型”过渡。学科素养的本质是学科知识观的转型，即认识到：学科知识本质上不是学科事实，而是学科理解；不是越多越好，而是越深越好。[3]因而，对少而精的数学学科观念的研究是让数学学科超越学科事实，走向学科观念，发展学生数学素养的关键。

数学学科大观念和数学素养有本质上的共通之处和密切联系：它们都是深入数学学科本质的核心所在，折射了一种超越知识本位的价值理念，既是学生发展的出发点，也是落脚点和目标；大观念是在数学知识内容基础之上的一种重新架构，以少而精的观念促使学生达成对于数学学科的深度理解，是落实数学素养的重要方式，也是连接知识和数学素养的桥梁；核心观念和深度理解是学科核心素养的灵魂，要培养学生的数学素养就应当超越学科知识，使大观念和理解成为学科教育的目标。

数学大观念和数学“四基”之间也是关系密切的：大观念不是超脱内容而存在的，它涵盖了数学基础知识、基本技能和基本思想方法，并将之进行结构化的重建；而形成大观念的过程离不开数学基本活动经验，实践促进大观念的沉淀，进而又反哺实践，促进基本活动经验的形成，二者相辅相成。1.4大观念的特征

大观念指向学科的核心及本质，是深层次的、可迁移的、被普遍接纳的观念的集合，具有概括性、抽象性、永恒性、普遍性的特征。[10]概括性体现了大观念的高度及迁移，大观念能够将其他相关观念概括并包罗其中，并能深入学科内部类似观念集群之中，贯穿不同学段，彰显学科结构，折射学科本质；抽象性区别于具体性，表明大观念不是某一个具体的观念，而是一类观念的抽象及凝练，它模糊了具体知识的边界，而将类似知识加以抽象及提炼，更体现内容的本质；永恒性体现了大观念的持续，它不是暂时存在的，而是知识、技能、经验等消逝之后仍留存的核心和本质；普遍性区别于特殊性，表明大观念应当具有一定的适用及推广性，而非特定的特殊观念。

此外，有学者提出居于学科中心位置的核心观念应当具有结构性、解释性、适切性、发展性和生成性。[3]其中的适切性和发展性是在概括性、抽象性、永恒性、普遍性基础之上的拓展，体现了学科大观念还应当体现并满足学生个人兴趣和终身发展的需要以及社会发展的需要，进一步完善了大观念的特征。综合学界见解，本研究认为数学学科大观念应当具有概括性、永恒性、迁移性及发展性的特征。二、数学大观念的具体阐述2.1数学大观念21条

前文介绍了数学大观念的界定，查尔斯在其界定之上，系统提出了21条数学大观念，以下简称“数学大观念21条”。这21条大观念适用于小学及中学阶段，并尽可能将该阶段所有数学内容囊括其中。21条数学大观念如下：[11]1.数Numbers：实数集是无限的，每个实数都可以与数轴上的唯一点相对应。2.十进制计数法Thebasetennumerationsystem：十进制计数法是使用数字0-9、整十、位值记录数字的方案。3.等量Equivalence：任何数字，度量，数值表达式，代数表达式或方程式都可以用无限多种具有相同结果的方式表示。4.比较Comparison：数字，表达式和度量可以通过它们的相对值进行比较。5.运算的意义和关系Operationmeanings&relationships：相同数量表达式（例如12-4=8）可以与不同的具体的现实世界情境相关联，并且不同的数量表达式可以与相同的具体的现实世界情境相关联。6.属性Properties：对于给定的一组数字，存在始终为真的关系，这些是控制算术和代数的规则。7.基本事实和算法Basicfacts&algorithms：有理数运算的基本事实和算法使用等价概念将计算转换为更简单的算法。8.估算Estimation：数值计算可以用临近的便于心算的数字代替进行近似计算。测量可以使用已知的参照物作为测量过程中的单位来近似测量。9.模式Patterns：数学情境中的数字或物体以一种可预测重复的方式呈现时，则可以描述关系，以及进行概括。10.变量Variable：数学情境和结构可以运用变量、表达式和方程进行抽象的转化和表征。11.比例Proportionality：如果两个量成比例地变化，则它们的关系可以表示为线性函数。12.关系和函数Relations&functions：可以运用数学规则（关系）建立将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。函数这一特殊的规则将一个集合中的元素对应到另一个集合中唯一的一个元素。13.方程和不等式Equations&inequalities：运用数与代数的规则以及等式的含义转化方程和不等式，从而求解。14.形状和立体图形Shapes&solids：二维和三维物体（无论是否有曲面）都可以通过其特征进行描述、分类和分析。15.方向和位置Orientation&location：空间中的物体可以朝向无数种方向，物体在空间中的位置可以量化地表述。16.变换Transformations：空间中的物体有无数种转化方式，这些转化可以量化地表述。17.测量Measurement：物体的一些属性可以测量，借助单位量进行量化。18.数据收集Datacollection：一些问题可以通过收集和分析数据进行解答，待解答的问题决定了需要收集哪些数据以及怎样最好地收集数据。19.数据表征Datarepresentation：数据可以借助表格、图表、图像进行可视化表征，数据的类型决定了哪种可视化表征方式最优。20.数据分布Datadistribution：有一些特殊的数值测量方式描述数据集合的中心(center)和范围(spread)。21.可能性Chance：一个事件发生的可能性可以用0到1之间的数来表示，这一可能性可用于预测其他事件。2.2数学大观念16条除了“数学大观念21条”之外，Elementaryandmiddleschool

mathematicsteaching

developmentally一书中提出的16条数学大观念也颇有影响力，每一条大观念也进行了具体解释和刻画。[12]1.发展早期的数字概念和数感Developingearlynumberconceptsandnumbersense2.发展运算含义Developingmeaningsfortheoperations3.培养基本事实的流利性Developingbasicfactfluency4.发展整数位值概念Developingwhole-numberplace-valueconcepts5.加法和减法的策略Developingstrategiesforadditionandsubtractioncomputation6.发展乘法和除法计算的策略DevelopingStrategiesforMultiplicationandDivisionComputation7.代数思维、方程和函数AlgebraicThinking,Equations,andFunctions8.发展分数的概念DevelopingFractionConcepts9.发展分数的运算DevelopingFractionOperations10.发展十进制和百分数的概念和十进制的计算DevelopingDecimalandPercentConceptsandDecimalComputation11.比率、比例和比例推理Ratios,Proportions,andProportionalReasoning12.发展测量概念Developingmeasurementconcepts13.发展几何思维和几何概念Developinggeometricthinkingandgeometricconcepts14.发展数据与统计的概念Developingconceptsofdataandstatistics15.探索概率的概念Exploringconceptsofprobability16.发展指数、整数和实数的概念Developingconceptsofexponents,integers,andrealnumbers无论是“数学大观念21条”还是“数学大观念16条”，在内容结构上均覆盖了数与代数、图形与几何、统计与概率等；都体现了大观念所具有的结构、联系和迁移的内涵；并可见大观念本身不是孤立地可以直接教授的知识和事实，而是一系列知识、事实、操作等的上位观念。2.3数学大观念的进阶

大观念贯穿小学和中学阶段的学习及理解，可以而且应当形成并体现一定的进阶。澳大利亚学者DianneSiemon等在DEECD数学大观念界定之上，特别指出数的大观念是数学大观念的一个子维度，数的教学是学校数学学科教学中最困难的部分，也是学生学习最困难的部分，还是其他数学内容学习的重要基础。他们系统构建了数的大观念的学习进阶。[9]三、学生如何获得大观念

让学生获得大观念才能更好地发挥大观念的实际价值，这也应当成为学科教学以及跨学科教学乃至教育的目标之一，本研究以此为基准提出学生获取大观念的三个基础原则。3.1基于学生已有经验

大观念的培养不能脱离学生的已有经验。将学生的已有知识、技能、思想方法、活动经验等作为基础，能够有效促进大观念的培养。

具体举措有：（1）基于学生已有知识、技能、思想方法基础。大观念不是超脱于知识技能之外的，更不是凌驾于知识技能之上的，而是高度关乎知识与技能的，因而大观念的培养离不开学生已有的知识及技能；同时也有部分观念是关于数学思想方法的，而学生的已有思想方法将成为新的思想方法以及大观念生成的生长点，正是在这生长点之上，学生进一步实现更高阶的积累。（2）基于学生理解问题尤其是解决真实情境问题的能力。大观念不是抽象的观念的集合，而是充分植根于真实问题情境之中，学生对于这一情境的经验有利于在该情境乃至扩展情境中沉淀数学大观念。（3）基于学生主动学习、积极卷入的经验。大观念不是被动的接受，也不是仅靠提及式教学（Teachingbymentioningit）就可以实现积累的，而是需要学生的亲身主动、积极参与，因而学生主动学习的经验与特质将成为重要基础。3.2学生主动深入探究

已有经验是基础，而学生的主动深入探究则是培养大观念的必要条件和主要方式。学生的主动深入探究不仅包括学科课堂学习内的探究，也包括课堂学习外的探究。前者是在课堂学习中的积极参与，主动思考，深入探究；后者是在课堂之外的日常生活等真实问题情境中，能够以数学的眼光看问题，用数学的思维思考问题，以数学的方法解决问题，即将对数学的深入探究拓展至更广泛的日常生活中。

主动深入的探究除了考虑跨越课堂内外的场域，还应尤其注重在关键处的探究。“关键”部分对整体的顺利运作具有不容忽视的重要作用。学生在关键处的深入探究，对于打通知识关卡，梳理知识脉络，习得关键知识与技能，掌握关键思想方法，从而积淀基础知识、技能和思想方法，进一步地落实基本活动经验和形成大观念具有深刻影响。此外，关键处的探究，切实有利于超越单纯的知识，积累思想方法和基本的活动经验。

深入探究不仅是一种认知行为，更是一种精神和思考的习惯。我们不仅要向学生表明大观念是什么，还要向他们指出作为终身学习者，其任务是要对大观念的意义和价值永远保持探究的精神，将天真的思维发展成更复杂的思维是需要通过启发性的问题和能够被测试、证实和提炼的表现性挑战，以及将所学知识应用于探究来完成的。[14]3.3学生能够迁移应用“结构”、“联系”和“迁移”是大观念内涵的本质。能够说出大观念不能表明学生具备了大观念，更为重要的是学生能够在其他情境中运用大观念及相关知识、思想等。因而，学生的迁移应用是发展大观念的必由之路。

为促进学生的迁移，构建大观念的学习进阶是一条有力举措。关于学习进阶的相关研究揭示，要关注学生认知发展和已有生活经验，就必须要设计出少而精、同一年级内以及跨年级之间连贯一致的中小学课程。[15]大观念无疑深刻契合学习进阶的核心。依托大观念进行课程开发就是不囿于知识的边界，打破藩篱，将学习者的经验和特质置于更高位置，据此提炼学科内部或者跨学科的核心观念，这些观念形成的集合不囿于某个或某些学段，而是具有一定的推广和迁移性。学生可以跨越年龄、年级乃至学科发展深度理解。因而，基于大观念的系统化课程体现了学习进阶，并可以进一步作为设计学习进阶课程的重要素材和蓝本，发挥着重要作用。

完整的学习进阶研究包括：第一，选择“大观念”并给予相关的解释；第二，构建基于学习者视角的、清晰的“阶”；第三，用以区分学生水平层级的测量工具；第四，用以促进学习者进阶的教学元素，如典型的教学现象、学习任务等。不仅体现了学习进阶的本质问题，而且明确了具体的教学实践策略。[16],[17]在学习进阶指导下的学生，能够进行更为高效的迁移，并在逐渐迁移应用中形成自己的模式及大观念。四、围绕大观念的课程与教学设计案例

在学科或跨学科的教育层面，大观念无疑启发了课程与教学的设计及实施。以大观念为核心的课程架构遵循着普遍联系的哲学基础，将某些核心主题视作大观念，并将其余内容紧密联系到相应大观念之下，是重构遵循学生思维发展的知识逻辑的大胆尝试。依托大观念进行课程开发和设计，并在教学中落实才能切实发挥大观念的作用，实现理论与实践的结合。下面将分别介绍跨学科的和学科内部的大观念课程设计案例。4.1围绕大观念的跨学科课程设计

国外学者围绕大观念进行了跨学科的课程设计尝试，例如韩国天主教大学的邦•达米(Dami.B)研究团队金字塔模式的小学综合科学课程框架，以及澳大利亚昆士兰科技大学克里斯提那•查莫斯研究团队基于大观念的STEM综合课程单元设计。（1）韩国天主教大学邦•达米研究团队：金字塔模式[5],[18]图1金字塔模式达米研究团队的工作建立在KDB（Know-Do-Be）模型基础之上。KDB的提出是在倡导课程整合的大背景之下，为解答当前庞杂的知识、信息之中，哪些是最重要的知识，哪些是最关键的技能，哪些是学生应当形成的最核心的品质这些问题，产生的有效工具。[19]该团队构建的大观念课程设计框架适用于跨学科课程，但是对于学科内部的课程整合也有一定的适用价值。对当前研究更为重要的启示在于：大观念的形成需要设计允许学生思考跨学科的基本问题以及学科内的具体问题。在解决这些问题后，学生能够习得重要的知识、技能并形成一些关键的意识。（2）澳大利亚昆士兰科技大学克里斯提那•查莫斯研究团队：基于大观念的STEM综合课程单元设计[5]图2基于大观念的STEM综合课程单元设计

查莫斯团队的研究构建了一个完整的大观念课程生态系统，这一系统中包括完备而精细的原则系统、活动序列系统、评估反馈系统以及思维工具系统。其中的活动序列系统即为其他研究中所构建的具体的课程设计流程。培养学生的大观念，离不开特定的媒介和工具，而思维工具不仅包括抽象的认知工具，也包括具象的学习工具，我们需要教给学生思维工具，提供给学生必要的学具等，促进大观念的培养。4.2围绕大观念的数学学科课程设计

（1）美国俄亥俄州州立大学学者辛妮•沃克(Walker.S)：线性链模式图3线性链模式

依据辛妮•沃克所提出的这一围绕大观念的线性链课程设计模式，即可以进行跨学科的大观念课程开发，尤其适用于学科内部的大观念课程开发。该模式从大观念出发并论证其合理性；到关键概念的确定，使得大观念更具可操作性；进而设计探索性的关键问题，实现关键概念到具体问题的过渡；随后在前面工作的基础之上建立课程或（和）单元的总体目标，并将零散目标建立强关联，使得整个课程逻辑通畅，自然流利。（2）国内基于大观念的课程设计模式

邵朝友开发了基于大观念、指向核心素养的教学方案：选择核心素养等既有目标、从既有目标中确定大观念、依托大观念形成一致性的目标体系、基于大观念的学习要求设计评价方案、围绕主要问题创设与组织活动。[20]李刚等提出了课程单元开发七步框架如下图：确定单元主题、筛选大观念群、确定关键概念、识别基本问题、编写单元目标、开发学习活动、设计评价方案。[3]这些框架对于数学学科大观念的课程开发具有很好的指导和借鉴作用。图4课程开发七步框架对比李刚的模式与依托辛妮•沃克的线性链模式，前者凸显了评价，强调了评价的重要性。五、大观念价值

大观念的价值不仅体现在理论层面，也落实在实践层面。无论是对课程的设计、教材开发、教师的教、学生的学乃至教学评价以及教师培训等均有一定的启示作用。正如查尔斯指出：大观念是数学内容知识的基础，是教师教学实践的基础，也是数学课程的基础。而将数学内容知识建立在数学大观念的基础之上无疑能够实现对于数学更为深刻的理解。[8]5.1促进学生深度学习的创举

大观念以其精炼而有意义的知识建构形式对于优化学生学习具有一定的作用，主要体现在如下几个方面：[21]•

激励学生学习兴趣•

促进学生的深入理解•

促进学生的记忆•

影响学习信念•

促进学生成为自主学习者

（Autonomouslearners）•

促进知识技能等迁移•

减少强记性知识数量

由此可见，大观念的提出及相应课程开发和教学设计对于学生的有意义学习，激励学习兴趣，提升数学素养等具有不容忽视的重要作用。基于大观念的学习力图促进学生对于知识的深刻理解并将其建立起系统，正符合我国以发展学生素养为宗旨的课程理念和改革方向。如果不发展学生的大观念，他们的数学学习一定程度上会受限，因为大观念所倡导的知识组织结构能够指导学生未来的学习。[22]5.2建构课程标准的大胆尝试

知识多而不精，学生的学习无法深入；不同学段课标和教材的设计缺乏连贯性，学生无法实现对某些大观念的持续、连贯的概念构建；教材设计缺乏连贯一致的标准和检测工具是多国课标和教材中存在的问题。[17]

基于大观念建构课程标准体系，重构课程的连贯性(Coherence)毫无疑问是解决上述问题，改良课程标准的一个大胆尝试。以大观念为出发点和归宿，将学生在知识、技能、经验等背后沉淀下来的观念和理解作为更为核心和本质的东西，对于指导课程标准的修订具有一定的启发作用。同时，对于数学素养的再理解和深化亦有一定的启示。5.3促进教师专业发展的有效工具

精炼的、有意义的知识建构方式对于促进作为学习者的教师的深刻理解、知识迁移、主动学习等进而实现其专业发展有重要的指导作用。此外，开设大观念指导下的教师专业发展课程、进行基于大观念的教学设计等都是切实可行的教师专业发展的培训课程。教师理解数学，尤其是大观念，才能更加理解学生的各种思维，在适当时候作出正确而必要的指导，更好地架构起学和教的桥梁。六、观念的研究评介：讨论

本研究对于国内外大观念尤其是数学大观念的评介，彰显了大观念的价值。大观念体现了事物之间普遍联系，基于它可以重构知识系统与逻辑，并能触类旁通、实现迁移，它无论对于新时代的课程建设还是一线教学乃至对于培养面向未来的积极、主动建构的学习者以形成新的思考问题方式都有着深刻而不容忽视的意义。对于大观念的具体认识仍有亟待深度思考的问题，主要体现在两个方面：1.大观念到底应该多“大”？

前文的21条大观念在数学教育领域颇有影响力。英国科学教育专家哈伦(Harlen.W)提出了科学教学领域14条大观念。查莫斯等提出STEM领域的内容大观念和过程大观念，其大观念体系更为细化和丰富。对于大观念到底多“大”，学界莫衷一是，本研究援引查尔斯教授对这一问题的解答以供商讨，他指出：大观念应当足够大，以便能够相对容