江苏省13市2023年中考数学试题分类解析汇编(20)20：压轴题

江苏省13市2023年中考数学试题分类解析汇编（20专题）

专题20：压轴题

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部选择题:■

1.（2023年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）

与时间，（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间f（单位：天〕的函数关

系，日销售利润=日销售量x一件产品的销售利润，以下结论错误的选项是【】

A.第24天的销售量为200件B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等D.第30天的日销售利润是750元

【答案】C.

【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.

【分析】根据函数图象分别各选项进行分析判断：

A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确.

B.设当0WW20,一件产品的销售利润z（单位：元）与时间/（单位：天）的函数关系为z=hr+0,

b=25\k=—\

把（0,25）,（20,5）代入得：,：.z=-x+25.

20k+b-5［匕=25

当产10时，z=-10+25=15.故正确.

C.当0WW24时，设产品日销售量yi单位：件）与时间f（单位；天）的函数关系为、=。+白，

[b.=100k=—25

把代入得:x

[0,100),(24,200)12秋+4=200・・・y=—x+100,

006

当r=12时，产150,z=—12+25=13,

.•.第12天的日销售利润为;150x13=1950（元），第30天的日销售利润为；150x5=750（元）.

而75听1950,故C错误.

D.第30天的日销售利润为；150x5=750（元），故正确.

应选C.

2.（2023年江苏南京2分）如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,AD,AB、BC分别与。。相切于E、F、

G三点,过点。作G）O的切线交BC于点M,那么。M的长为【

139

A.——B.-

32

【答案】A.

【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.

【分析】如答图，连接OE,OF,OG,

那么根据矩形和切线的性质知，四边形4EOR“C8都是正方形.

"：AB=4,：.AE=AF^BF=BG^2.

'：AD=5,：.DE=DN=3.

设GM=NM=X,那

CM=BC—BG—GM=3—x,DM=DN+NM=3+x.

,,4

在MASH中，由勾股定理得：DM-CD'+CM',即（3+x1=4?+（3-力一，解得，x=-.

：.DM=—.

3

应选A.

3.（2023年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线/上有A、8两个观测站，AB=2km,从4测得船C在

北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，那么船C离海岸线/的距离（即CO的长）为【】

A.4kmB.（2+72）.（4-夜）km

【答案】B.

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题〕；矩形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.

【分析】如答图，过点B作8ELAC交AC于点E,过点E作EELC。交C。于点尸,

那么根据题意，四边形8DEF是矩形，△A8E、△£/•仁和△AOC都是等腰直角三角形,

'：AB=2,；.DF=BF=48=2,AE=2@

VZEBC=ZBCE=22.5°，：.CE=BE=2.

Z.CF=^=6.

x/2

：.CD=DF+CF=2+y/2（km）.

...船C离海岸线/的距离为（2+应）km.答图

应选B.

4.（2023年江苏泰州3分〕如图，△A8C中，AB=AC.,。是BC的中点，AC的垂直平分线分.别交AC、AD.

4B于点区0、F,那么图中全等的三角形的对数是【】

A.1对B.2对

【答案】D.

【考点】等腰三角形的性质：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定.

【分析】\'AB=AC,。是BC的中点,

，根据等腰三角形三线合一的性质，易得AAD3也&WC,\ODB^\ODC,^AOB^^AOC.

•；E尸是AC的垂宜平分线，

根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得A4OmACOE.

综上所述，图中全等的三角形的对数是4时.

应选D.

5.（2023年江苏无锡3分）如图，R/AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A

落在A8上的点。处；再将边3c沿CF翻折，使点8落在CD的延长线上的点跟处，两条折痕与斜边A8分

别交于点E、F,那么线段夕F的长为【】

【答案】B.

【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理.

【分析】根据折叠的性质可知C£>=AC=3,£C=BC=4,ZACE=NDCE,NBCFSCF,CELAB,

：.B'D=4-3=1,NDCE+N8CF=ZACE+NBCF.

,/ZACB=90°，,ZECF=45°./.YECF是等腰直角三角形.，EF=CE,ZEFC=45°.

ZBFC=ZB'FC=135°.AZB'FD=90°.

,：SVAIiC=-ACBC^^ABCE,：.AC-BC=ABCE.

1212

在用VABC中，根据勾股定理，得AB=5,.,.3-4=5CE=>CE=—.AEF=CE=—.

55

在RrVAEC中，根据勾股定理，得AE=JAC?-。炉=2,ED=AE=-.

55

3

:.DF=EF-ED=—.

5

在中，根据勾股定理，得B，F=dBD-DF24

5

应选B.

6.（2023年江苏徐州3分）假设函数丁=近一人的图像如下图，那么关于X的不等式%（％-3）-6>0的解集

为【

A.x<2B.x>2

【答案】C.

【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.

【分析】如答图，将函数丁=依-8的图像向右平移3个单位得到函数y=A（x—3）-人的图象,

由图象可知，当x<5时，函数y=Z（x-3）—〃的图象在x轴上方，即），=%（无一3）—比>0.

关于x的不等式Z（x—3）—厅>0的解集为x<5.

应选C.

7.（2023年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点

P从点4出发，沿A-DTETFTGTB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B）,那

么4ABP的面积S随着时间t变化的函数图像大致为【】

【答案】B.

【考点】单动点问题；函数图象的分析；正方形的性质；三角形的面积；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】根据题意，可知△A8P的面积S随着时间，变化的函数图像分为五段：

当点P从4一。时，AA8尸的面积S是7的一次函数；

当点P从D-E时,△A2P的面积S不随/的变化而变化，图象是平行于f轴的一线段;

当点P从ETF时,AABP的面积S是r的一次函数；

当前P从尸-G时,AABP的面积S不随/的变化而变化，图象是平行于，轴的一线段:

当点P从G—B时,△A8P的面积S是/的一次函数.

应选B.

8.（2023年江苏扬州3分）A2是不等式（x-5）（G-3a+2）40的解，且不是这个不等式的解，那么实

数。的取值范围是【】

A.a>1B.a<2C.\<a<2D.1<a<2

【答案】C.

【考点】不等式的解；解一元一次不等式组.

【分析】,.'k2是不等式（x-5）（ax-34+2）40的解，且广1不是这个不等式的解,

.J(2-5)(2d-3«+2)<0a<2

=>]<a<2.

'•](1-5)(〃-3a+2)>0=a>\

应选C.

9.（2023年江苏常州2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如下图图形，重叠局部是一个

三角形，那么这个三角形面积的最小值是【】

2

A.—V3cmB.8cm2

3

【答案】B.

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质..

【分析】如答图，当时，三角形面积最小,

VZBAC=90°,NAC8=45°,；.AB=AC=4cm.

SAABC=—x4x4=8cm2.

2

应选B.

答图3

10.（2023年江苏淮安3分）如图，h//l2//h，直线a、b与/八办、乙分别相交于点A、B、C和点。、E、F,

假设丝=2,DE=4,那么E尸的长是【】

BC3

820八（，八

A.-B.—C.6D.10

33

【答案】C.

【考点】平行线分线段成比例的性质.

【分析】—噌嘿

•-----=—

应选C.

11.(2023年江苏南通3分)如图，AB为。。的直径，C为OO上一点，弦AQ平分NBAC,交BC于点E,

AB=6,AD=5,那么AE的长为【】

A.2.5B.2.8C.3D.3.2

【答案】B.

【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质.

【分析】如答图，连接3。、CD,

'：AB为。。的直径，Z.ZADB=90°.

/.BD=y/AB2-AD2=>/62-52=y/}\

:弦AD平分NBAC,：.CD=BD=>/U.

：.ZCBD=ZDAB.

在△ABD和△BEC中，VZBAD=ZEBD,NADB=NBDE,

即半=叵=。£=1

DBADVil5:

AE=AB-DE=5--=2.8.

应选B.

12.(2023年江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为(-3,0),(3,0),点尸在反比

例函数y=*2的图象上，假设△以8为直角三角形，那么满足条件的点P的个数为【】

A.2个B.4个C.5个D.6个

【答案】D.

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】如答图，假设△隙8为直角三角形，分三种情况：

①当/附8=90。时，P点的横坐标为-3,此时P点有I个:

②当/产84=90。时，P点的横坐标为3,此时P点有1个；

2

③当NAP8=90。，以点。为圆心A8长为直径的圆与＞=一的图象交于4点，此时P点有4个.

X

综上所述，满足条件的尸点有6个.

应选D.

答图

13.（2023年江苏镇江3分）如图，坐标原点O为矩形ABC。的对称中心，顶点4的坐标为（1,f）,AB//x

A'Ji'

轴，矩形ATTCZX与矩形ABC。是位似图形，点。为位似中心，点A，,夕分别是点A,B的对应点-----=k.关

AB

7%

于x,＞的二元一次方程[“"+）,=2〃+1（小，〃是实数）无解，在以孙〃为坐标（记为（m,„））的所有

[3x+y=4

的点中，假设有且只有一个点落在矩形AB'CTJ的边上，那么hf的值等于【】

432

【答案】D.

【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的

关系.

【分析】•・•坐标原点O为矩形A8CD的对称中心，顶点4的坐标为（1,/）,・••点C的坐标为（-1,-/）.

A

:矩形ATTCD与矩形ABC。是位似图形，——=k,

AB

・••点4的坐标为（怎S，点（7的坐标为（-匕-kt）.

•.•关于X,y的二元一次方程卜""+）'=2"+1（叽〃是实数）无解，

3x+y=4

/、33

，由（加〃一3）x=2〃-3得胆几二3,且〃工一，即〃=—（n#2）.

2tn

・・,以加，〃为坐标（记为（团，拉））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A8C77的边上,

・・・反比例函数〃=士3的图象只经过点A，或C.

m

而根据反比例函数的对称性，反比例函数'的图象同时经过点4或C1只有在A（2,

C'（-2,—g）时反比例函数3

〃=三的图象只经过点C.

m

1.（2023年江苏连云港3分）如图，在aABC中，ZBAC=60°,ZABC=90°,直线/i〃b〃/3,6与b之间距

离是1,/2与/3之间距离是2,且小/2,/3分别经过点A,B,C,那么边AC的长为▲

【答案】|伍

【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理.

【分析】如答图，过点B作EFLA,交h于E,交A于凡

*.•ZBAC=60°,NA8C=90。，：.tanZBAC­—=G

AB

答图

•.,直线/i〃/2〃，3，：.EFLl\,EFLh.：.ZAEB=ZBFC=90°.

ZABC=90°,Z£AB=900-NABE=NFBC.

:.△BFCs^AEB,Z.—=—=.

EBAB

:.FC=6.

在对aBFC中，8c=’8尸+JC?=小2?+(可=S.

在即AABC中，AC=———=0=2技.

sinNBAC百3

T

2.（2023年江苏南京2分）如图，过原点O的直线与反比例函数》,刃的图象在第一象限内分别交于点A、

B,且A为。8的中点，假设函数乂=,，那么1与x的函数表达式是▲

X

【答案】

X

【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用.

【分析】设以与X的函数表达式是必=K,

X

・・・点B在反比例函数”的图象上,・・・可设

hkA

••,A为05的中点，.二A

5'2b),

k

♦・♦点4在反比例函数的图象上，，石=万，解得％=4.

2

4

.•・丁2与X的函数表达式是%=—.

X

3.（2023年江苏苏州3分）如图，四边形A3。为矩形，过点。作对角线3。的垂线，交3c的延长线于点

E,取BE的中点F,连接。凡DF=4.设AB=x,AD=y,那么x?+（v-4）?的值为▲

【答案】16.

【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理.

【分析】；四边形48co为矩形，AB=x,AD=y,：.DC=x,BC=y.

;在R/ABDE中，点尸是斜边BE的中点，DF=4,：.BF=DF=4.

在R/AZX:/中，DC2+CF2^DF2,即丁+(4-y)2=4L

Ax2+(y-4)2=16.

4.（2023年江苏泰州3分）如图，矩形A8C£＞中，AB=8,8C=6,P为A3上.一点，.将“BP沿BP翻折

至AEBP,PE与C£＞相交于点0,且0E=0。，那么AP的长为▲

24

【答案】—.

5

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程

思想的应用.

【分析】如答图，.••四边形ABCD是矩形，

/.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.

根据折叠对称的性质，得AABP@EBP,

：.EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=S.

答图

ZD=NE

在NODP和AOEG中，0。=OE,

ZDOP=ZEOG

：.AODP丝AOEG(ASA).；.OP=OG,PG=GE.

：.DG=EP.

设"=EP=x,那么P£>=GE=6-x,DG=x,：.CG=8-x,8G=8—(6—x)=2+x.

在&ABOG中，根据勾股定理，WBC2+CG2=BG2,即6-(8-X『=(2+X)2.解得x=g.

24

•••AP的长为

5

5.(2023年江苏无锡2分)某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规

定相应的优惠方法：①如果不超过500元，那么不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，那么按购

物总额给予8折优惠;③如果超过800元，那么其中800元给予8折优惠，超过800元的局部给予6折优惠.促

销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，假设各自单独付款，那么应分别付款480元和520元；假设合并

付款，那么她们总共只需付款▲元.

【答案】838或910.

【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用.

【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或480x0.8=600元，小红母亲单独付款520

元，实际标价为520x0.8=650元，

如果一次购置标价480+650=1130元的商品应付款800x0.8+(1130-800)x0.6=838元；

如果一次购置标价600+650=1250元的商品应付款800x0.8+(1250-800)x0.6=910元.

.•.答案为:838或910.

6.(2023年江苏徐州3分)用一个圆心角为90。，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半

径▲.

【答案】1.

【考点】圆锥和扇形的计算。

90♦九■・4

【分析】扇形圆锥的圆心角为90。，半径为4,，扇形的弧长为------=2%.

180

•.•圆锥的底面周长等丁•它的侧面展开图的弧长，

二根据圆的周长公式，得2兀『2兀,解得r=L

7.（2023年江苏盐城3分）设AABC的面积为1,如图①将边8C、AC分别2等份，BEr相交于点O,

△AOB的面积记为$；如图②将边8C、AC分别3等份，BErA"相交于点O,"08的面积记为S?；

依此类推，那么S,,可表示为▲.（用含〃的代数式表示，其中〃为正整数）

【答案】高

【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面

积的性质.

【分析】如答图，连接2耳，可知。£〃明.

在图①中，由题意，得AABOsaoqg,且。目=(84,，O£；=goB=>O£；=g8骂.

112

・・・AAE.O和\BE.A的边上高的比是1J=-S.=>S.。=-S呼八.

.・1.,211

乂.SygBMQSHBC，・・S]=5岫8。=§.5S0BC=§S。5c.

222

在图②中，由题意，得MBOSAORE],且。耳=马84，OEi=-OB^>OEl=

223

・・・AAEQ和ABE*的A&边上高的比是丁，=gS外.n5用。=：S物…

一.，1.311

又"5凶马§，••S2=SMBO=—•—.

333

在图③中，由题意，得AABOsAoqg,且。耳=[84,：.OR=[OBnOE、=；BE、.

334

・・・AAEQ和\BE.A的A&边上高的比是亍，产S-=S^O=-S^A.

t、411

又*5必,8=W，•*S3=S的。=亍"BC=SMBC•

依此类推，Sf,l,可表示为Sll.=—Ot41/lDC

2n+l

答图

8.（2023年江苏扬州3分）如图，AABC的三边长为公/人c,且假设平行于三角形一边的直线/

将"BC的周长分成相等的两局部，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为2$2、$，那么外52、%的

大小关系是▲〔用号连接）.

【答案】S|Vs3Vs2.

【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等

式的性质.

【分析】设.AABC的周长为加,面积为S,

如答图，设AD=x,AE=y,那么8£>=c-x,CE=b-y.

•.•平行于三角形一边的直线/将.△ABC的周长分成相等的两局部,

AD+AE=BD+CE+BC>即x+y=c-x+b-y+o.

：.x+y=^(a+b+c)=^m.答图

一〃？

AD口ADAEAD+AE

'：DC//BC,：.MDE^MBC.：.^-=H--=---=---------x-+--y-_..2._-_-_--巴---

SABACAB+ACc+bb+c2(b+c)'

.即二二

同理可得,

2(4+Z?)2(a+c)

♦♦S]VSqVS-）»

9.（2023年江苏常州2分）如图，在。。的内接四边形A8CO中，AB=3,AD=5,/&4。=60°,点C为弧BD

的中点，那么AC的长是▲.

【答案】拳.

【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义;

特殊角的三角函数值：方程思想的应用.

【分析】如答图，过点C分别作CELA8于点E,于点F,/^\

那么/E=/CFD=NCE4=90°,//\\\

V\I

•.•点C为弧8D的中点，：.BC=BD；NBAC=/DAC，BC=CD.\

'：CELAB,CFLAD,：.CE=CF.

\'A.B、C、。四点共圆，：.ZD=ZCBE.答图

NCBE=ND

在aCBE和△CD尸中，*.1ZE=NCFD,二ACBE必CDF(/US).BE=DF.

NE=ZAFC

在△AEC和△AFC中，•.1ZEAC=ZFAC.".△AEC^AAFC(MS).：.AE^AF.

AC=AC

设BE=DF=x,

\'AB=3,AD=5,：.AE=AF=x+3,，5=*+3+x,解得：x=l,即A£=4.

AF448G

,：ZBAD=60°,：.NE4c=30°.，AC=--------------

cosZEACcos60°V33

2

10.（2023年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列:

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行1234

第2行8765

第3行9101112

第4行16151413

第5行17181920

...........

假设正整数565位于第。行，第b列，那么a+9=▲.

【答案】147.

【考点】探索规律题1数字的变化类一一循环问题）.

【分析】分别根据行和列的循环规律求解：

・・•行的排列规律是4个数一行，而当=141+1,J々=142.

44

・・•列的排列规律是按照1-2-3-4—5-4-3—2列的顺序8个数一循环，W—=70+-,

88

：.b=5.

・"+Z?=147.

11.（2023年江苏南通3分）关于1的一元二次方程依2-1=0的两个不相等的实数根都在7和0之间

（不包括-1和0）,那么a的取值范围是▲.

9

【答案］—<a<—2.

4

【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结

合思想的应用.

【分析】・・,关于x的一元二次方程以2_3x-1=0的两个不相等的实数根，

("09

一A=(-3)2-4-tz-(-l)>0^9=>a>——且〃工0.

a>——4

4

设y=加-3x-l

•・•实数根都在-1和0之间，

・♦・当a>0时，如答图L

由图可知，当x=0时，y>0；但y=0—0-1=-1,矛盾,

・•・此种情况不存在.

当。<0时，，如答图2,

由图可知，当工=一1时，yv(),即a+3-1vO=av—2.

一9答图2

综上所述，。的取值范围是—<a<—2.

4

12.(2023年江苏宿迁3分)当户根或JC="时，代数式d-2x+3的值相等，那么时，代数

式f-2x+3的值为▲

【答案】3.

【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用.

【分析】设y=/-2x+3,

\,当广，"或产"("#〃)时，代数式¥-2x+3的值相等，

・・.抛物线y=f—21+3的对称轴％=—匕=^^.

2x12

m+n=2.

...当x=〃?+〃=2时，x?-2x+3=2?-2x2+3=3.

13.(2023年江苏镇江2分)如图，&4BC和△OBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm,BC=2cm,

将△OBC沿射线BC平移一定的距离得到△ABCi,连接AC”BD「如果四边形A8OG是矩形，那么平移

的距离为▲cm.

5-C

D..

【答案】7.

【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质：等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质.

【分析】如答图，过点A作AE，8c于点E,

,/NAE8=/AECi=90°,N8AE+/A8C=90°.

'：AB=AC,BC=2,：.BE=CE=-BC=\,

2

二•四边形ABD\C\是矩形，；.NBAG=90°.

ZABC+ZACiB=90°.：.NBAE=NAGB.

RFAp

ABBq

13

\'AB=3,BE=\,：.-=——.：.BC=9.

3BQt

：.CC\=BC\-BC=9-2=7,即平移的距离为7.

1.(2023年江苏连云港12分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形4BCD

与边长为2友的正方形AEFG按图1位置放置，A。与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.

(1)小明发现OGL8E,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABC。绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段。G上时，请你帮他求出此时

BE的长.

(3)如图3,小明将正方形A8C。绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段3E相交，交点为H,写出aGHE

与△8月。面积之和的最大值，并简要说明理由.

【答案】解：⑴•.•四边形ABC。和四边形AEFG都为正方形，.*.AD=A8,ZDAG=ZBAE=90°,AG=AE,

：.AADG^AABE(SAS).AZAGD=ZAEB.

GF

如答图I,延长EB交DG丁点H,

C»、

，，、、

在A4QG中，ZAGD+ZADG=90°,」I、、、」

：.ZAEB+ZADG=90°.DAE

答图1

在AEDH中,,.•/AE8+/AOG+NOHE=180。，

ZD//E=90°.：.DGVBE.

(2)•四边形ABC£>和四边形AEFG都为正方形，：.AD=AB,ND4B=/G4E=90。，AG=AE,

：.ZDAB+ZBAG=ZGAE+ZBAG,即/D4G=/BAE,

/.^ADG^/XABE(SAS),：.DG=BE.

如答图2,过点A作AM_LOG交OG于点M,那么/AMZ>NAMG=90。，

■:BD为正方形ABCD的对角线，，ZMDA=45°.

在/?d4知£>中，VZMDA=45°,AD=2,

DM=AM=&

在放A4MG中，根据勾股定理得：GM=\JAG2-AM2

,:DG=DM+GM=叵+屈,:.BE=DG=>H+瓜.

(3)AGHE和△3”。面积之和的最大值为6,理由如下:

•.•对于△£＜；〃，点〃在以EG为直径的圆上，...当点H与点A重合时,△EGH的高最大;

,/对于△8DH,点”在以BD为直径的圆上，，当点，与点4重合时,△BDH的高最大.

：.AGHE和△3HD面积之和的最大值为2+4=6.

【考点】面动旋转问题：正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的

性质，勾股定理；数形结合思想的应用.

【分析】(1)由四边形A8CO与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，

利用SAS得到△AQG丝△ABE,利用全等三角形对应角相等得NAG£>=NAEB,作辅助线“延长EB交DG于

点”‘，利用等角的余角相等得到/OHE=90。，从而利用垂直的定义即可得QGJ_3E.

(2)由四边形ABC。与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利

用SAS得到△4OG丝ZVIBE,利用全等三角形对应边相等得到DG=BE,作辅助线“过点A作AM±DG交DG

于点M",那么NAMO=/AMG=90。，在对△AM。中，根据等腰直角三角形的性质求出AM的长，即为

的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长.

(3)AGA/E和△8"。面积之和的最大值为6,理由为：对两个三角形，点”分别在以EG为直径的圆

上和以8。为直径的圆上，当点，与点A重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值.

2.(2023年江苏连云港14分)如图，一条直线过点(0,4),且与抛物线y交于A,8两点，其中点A

4

的横坐标是-2.

(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.

(2)在x轴上是否存在点C,使得AABC是直角三角形？假设存在，求出点C的坐标，假设不存在，请说明

理由;

(3)过线段AB上一点P,作PM〃x轴，交抛物线于点”，点M在第一象限，点N(0,1),当点M的横坐

标为何值时，MN+3Mp的长度最大？最大值是多少？

【答案】解：(1)•点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2,

1)

y=^x(-2)-=l.；.A点的坐标为(2,-1).

设直线A8的函数关系式为、=依+方，