数学-第六章 实数 知识串讲+热考题型（原版）

七年级下册数学《第六章实数》本章知识综合运用三个三个概念●●1、算术平方根与平方根：◆◆算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.表示方法：a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.◆◆平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．●●2、立方根：◆◆立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆◆立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.●●3、实数：◆◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆◆2、实数的分类：（1）按定义分类．

（2）按性质分类.三个三个性质●●1、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.●●2、立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即.②.●●3、实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．一个一个运算●●实数的运算◆◆

题型一题型一平方根、算术平方根、立方根的概念【例题1】（2022春•信阳期末）下列说法中，正确的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．4=±2C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1

解题技巧提炼1、一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.2、一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.3、一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.【变式1-1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算术平方根是±7；③127的立方根是1④116的平方根是1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022春•右玉县期末）(−1A．−14 B．14 C．±【变式1-4】（2022春•陇县期末）﹣8的立方根与4的算术平方根的和是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．0或﹣4【变式1-5】（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【变式1-6】（2022秋•东平县期末）两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C．x+1 D．x【变式1-7】（2021秋•永年区期末）下列说法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型题型二平方根、算术平方根、立方根的计算【例题2】（2021秋•兴庆区校级期末）下列各式计算正确的是（）A．3−1=−1 B．38=±2 C．解题技巧提炼1、求一个正数的平方根就是看哪两个数的平方等于这个正数，这两个数就是正数的平方根，其中正的那个为该数的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0.2、求立方根就是看哪个数的立方等于这个数，正数的立方根有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0，立方根为其本身的数有±1,0.【变式2-1】（2023•任城区校级开学）64的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．±4【变式2-2】（2022秋•广饶县校级期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b

A．4 B．2 C．±2 D．3【变式2-3】（2022秋•屯留区期末）如果x=3−27，那么代数式x（x﹣5）﹣xA．15 B．5 C．﹣5 D．﹣15【变式2-4】（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6【变式2-5】（2021秋•仁寿县校级期末）已知2x﹣1和5﹣x为某实数的平方根，则x的值为（）A．﹣4 B．2 C．4或﹣2 D．﹣4或2【变式2-6】（2022春•宁国市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根（）A．±5 B．12 C．13 D．±13【变式2-7】求下列式子中的x的值：（1）18﹣2x2＝0；（2）（x+1）3+27＝0．（3）4（x﹣2）2＝49；（4）（x﹣1）3＝64．【变式2-8】（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，31−2b与33b−5互为相反数，求a+2【变式2-9】（2022春•前郭县月考）已知2a+1的平方根为±3，a+3b﹣3的立方根为4．（1）求a，b的值；

（2）求a+b的平方根．题型题型三无理数的识别【例题3】（2022秋•盱眙县期末）下列各数中，是无理数的为（）A．3.1⋅4⋅ B．3.1415926 C．22解题技巧提炼（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.【变式3-1】（2022秋•二七区校级期末）在实数3−27，0.1.23.，π，34A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式3-2】（2022春•长沙期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式3-3】（2022秋•卧龙区校级期末）在实数5、227、0、3−1、3.1415、16、4.21、3

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式3-4】（2022秋•渭滨区期末）下列各数3.1415926，9，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），15，3﹣π，﹣2023，34中，无理数有【变式3-5】（2022秋•秦淮区期中）下列各数：①0.3⋅，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）是无理数的是题型题型四实数的分类【例题4】（2022•将乐县模拟）实数﹣3，−5，−A．﹣3 B．−5 C．−1解题技巧提炼本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.【变式4-1】（2022春•凤阳县校级期末）在0.1、π、117、2、16、−A．4 B．5 C．3 D．2【变式4-2】（2022春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，

【变式4-3】（2022秋•新昌县期中）把下列各数分别填在相应的括号内．−12，0，0.16，312，3，−235有理数：{…}；无理数：{…}；负实数：{…}；正分数：{…}．【变式4-4】（2022秋•扬州期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|−207|，⑤π2，⑥0，⑦整数集合：{…}；分数集合：{…}；负数集合：{…}；有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【变式4-5】（2022秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：3−1、3.1415、39、−5、13、π2、﹣0.3有理数集合：{…}；无理数集合：{…}；正实数集合：{…}；

分数集合：{…}；题型题型五实数的相反数、倒数、绝对值【例题5】（2022•新会区模拟）9的相反数和倒数分别是（）A．3，13 B．3，−13 C．﹣3，−解题技巧提炼1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.2、数a的倒数是1a(a≠0).

3、【变式5-1】（2023•龙华区一模）9的相反数是（）A．﹣3 B．33 C．13 【变式5-2】（2022秋•裕华区校级期末）实数−6A．6 B．−6 C．6 【变式5-3】（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（）A．5的绝对值是﹣5 B．任何实数都有倒数 C．任何实数都有相反数 D．﹣2的倒数是1

【变式5-4】（2022春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（）A．绝对值是5的数是5 B．−2的相反数是±2C．1−2的绝对值是2−1 D．【变式5-5】（2022•南京模拟）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（）A．0 B．−2 C．π D．【变式5-6】（2022秋•屯留区期末）与|2−7A．7−2 B．2−7 C．2+7【变式5-7】（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（）A．−9与327 B．3−8与−38 C．|−2|【变式5-8】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1题型题型六实数与数轴的关系【例题6】（2023•泰山区校级开学）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是（）A．|m|＞1 B．1﹣m＜1 C．mn＜0 D．m+1＜0

解题技巧提炼1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.【变式6-1】（2022秋•南安市期末）如图，5在数轴上对应的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【变式6-2】则下列选项中可能被覆盖住数是（）A．3 B．5 C．6 D．7【变式6-3】（2022秋•江北区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法一定正确的是（）A．a+b＜0 B．|a|＞|b| C．a﹣b＞0 D．ab＜0【变式6-4】（2022秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，5的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（）A．−5 B．2−5 C．4−5【变式6-5】（2022秋•常德期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是（）

A．−2，2 B．2−1，2+1 C．1−2，1【变式6-6】（2022秋•吉州区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）填空：a0，b0，c0（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）直接写出|a﹣c|＝，|a﹣b|＝，|1﹣b|＝；（3）化简：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．【变式6-7】（2022•南京模拟）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和2．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你求出数x的值．（2）若m为(x−2)的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+题型题型七实数的非负性的应用【例题7】（2022春•宣化区期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017

解题技巧提炼算术平方根a具有双重非负性,即被开方数a≥0且a≥0，a中隐含条件a≥0要灵活运用.2、几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.【变式7-1】（2022春•拜泉县校级月考）已知a−2+（b+5）2+|c+1|＝0，则a+b﹣cA．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【变式7-2】（2021春•凉州区校级期中）若|x−3+1|（1）求x，y的值；（2）求x2+2x﹣3y的值．【变式7-3】（2022秋•南关区校级期末）已知（a﹣16）2+b−27+|c﹣2|＝0，求代数式（a−【变式7-4】（2022•长阳县校级模拟）已知a，b满足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab

【变式7-5】2x2−6|+(y+1)2−4=0，且x【变式7-6】（2021春•西峰区校级期中）已知数a，b满足（a﹣2021）2+2020−b=0，求a﹣题型题型八实数的大小比较【例题8】（2023•佛山开学）对于下列实数3，π﹣1，22，3大小排列正确的是（）A．3＜22＜π﹣1＜3B．πC．3＜π−1＜22＜3

解题技巧提炼常用的实数大小比较的方法：正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；两个正实数，绝对值大的数较大；两个负实数，绝对值大的数反而小.（2）平方法：两数平方后再比较大小；（3）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；（4）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的大小，从而确定它们的大小.【变式8-1】（2022秋•南召县期末）下列各数中最小的数是（）A．﹣3 B．−3 C．﹣π D．【变式8-2】（2022秋•长沙期末）下列四个实数中，最大的数是（）A．2 B．0 C．﹣4 D．π【变式8-3】（2022秋•鄞州区期末）比较大小：535【变式8-4】（2022秋•沈丘县期末）比较大小：1022【变式8-5】（2022秋•衡东县期末）比较下列实数的大小：3−12【变式8-6】（2023•西湖区校级开学）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．−12，﹣3，|﹣2|，

【变式8-7】对于任意的正实数a，b，c，且b＜c，则ba（1）5−14与14；（2）7【变式8-8】比较下列各组数的大小．（1）16与255；（2）32与1；（3）5【变式8-9】设a=3−12，b=12，（1）比较a与b两个数的大小；（2）求|a﹣b|+c−d题型题型九实数的规律问题【例题9】（2022秋•南岗区校级月考）若6≈2.449，60≈7.746，则0.006≈

解题技巧提炼1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位.2、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位.【变式9-1】（2022春•香洲区校级期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，则3【变式9-2】（2022春•呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，则【变式9-3】（2022春•梁平区期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3【变式9-4】（2022春•綦江区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈1.289，若x≈462.6，则x＝【变式9-5】（2022春•宁南县校级月考）已知5.217≈2.284，52.17（1）0.05217≈，52170≈（2）若x≈0.02284，则x＝【变式9-6】（2022秋•昌平区期中）观察下面的规律：0.03≈0.1732，0.3≈0.5477，3≈1.732，30≈5.477，（1）30000≈（2）若0.5≈0.7071，5≈2.236，则0.05≈【变式9-7】借助计算机可以求得42+32=5，44A．55⋯5︸2018个 C．33⋯3︸2018个

题型题型十实数的新定义运算问题【例题10】（2021春•霍林郭勒市期末）定义运算“*”的运算法则为：a∗b=1a−1b，比如2∗3=1解题技巧提炼根据新运算定义的方法列出式子，再根据实数的运算进行计算即可.【变式10-1】规定运算：a△b＝|a﹣b|（a，b为实数）．计算：(5【变式10-2】（2021春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=a+ba−b（a+b＞0），如3*2（1）8*7；（2）6*（5*4）．【变式10-3】（2022春•宜秀区校级月考）规定一种新的运算a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣3+4+1，请比较（﹣3）△2与2△（﹣3）的大小．

【变式10-4】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．（1）求（﹣2）#3的值；（2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系；（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．【变式10-5】（2022春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b=aba−b，如2⊗（1）3⊗2的值；（2）5⊗（4⊗2）的值．【变式10-6】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b．（1）计算：9•3−125（2）填空：16*（−3−8）（−3（3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．题型题型十一实数的估算【例题11】（2022•文山市模拟）若m=6，则估计mA．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．2≤m＜3 D．3＜m＜4

解题技巧提炼估算a（a≥0）时，首先要确定a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出a在哪两个连续的整数之间，从而确定a的整数部分和小数部分.【变式11-1】（2022秋•武义县期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（）A．2 B．5 C．8 D．10【变式11-2】（2021•津南区一模）估计2+13A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间【变式11-3】（2021春•渝北区期末）估计11−A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间【变式11-4】（2021春•海珠区校级月考）下列无理数中，与4最接近的是（）A．8 B．12 C．14 D．17【变式11-5】（2022•庐阳区校级开学）与1+17A．3 B．4 C．5 D．6【变式11-6】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【变式11-7】（2022秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为

的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜7＜3，∴7的整数部分是2，小数部分是（1）请解答：（1）13的整数部分是，小数部分是．（2）如果5的小数部分是a，29的整数部分是b，求a+b−（3）已知：x是5+13的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y【变式11-8】（2022秋•莲都区期中）【阅读理解】∵4＜5＜9，即2＜5＜3．∴5的整数部分为2，小数部分为5−【解决问题】已知：a是17−2的整数部分，b是17（1）a，b的值；（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．题型题型十二实数的运算【例题12】（2022春•淮南期中）计算：（1）计算：−3（2）计算：(−10)2

解题技巧提炼实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用.【变式12-1】（2022春•源城区校级期中）计算：（3）2﹣|2−9|【变式12-2】（2022春•乐昌市校级期中）计算：3−27【变式12-3】计算：（1