数学-专题34 一次函数与全等三角形结合（带答案）

专题34一次函数与全等三角形结合【例题讲解】直线AB：y＝x＋b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(－3，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1．（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；（2）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标．解：（1）∵直线AB：y=x+b过点A（-3，0），∴0=-3+b，∴b=3．当x=0时，y=x+b=b=3，∴点B的坐标为（0，3），即OB=3．∵OB：OC=3：1，∴OC=1．∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为（1，0）．设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），将B（0，3）、C（1，0）代入y=kx+c，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y=-3x+3．（2）分在x轴上方：△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑：如图①：①当△BAD≌△ABC时，∵OA=OB=3，∴∠BAC=45°．∵△BAD≌△ABC，∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4，∴BD∥AC，∴点D的坐标为（-4，3）；②当△ABD≌△ABC时，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4，∴∠DAC=90°，∴点D的坐标为（-3，4）．如图②当△ABD≌△BCA时，BD=AC=4∴OD=1∴点D的坐标为（0，-1）．综上所述，点D的坐标为（-4，3）或（-3，4）或（0，-1）．【综合解答】

1．如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．【答案】

，，【分析】将两条直线的方程联立，求出点的坐标，从而可得的底与高，进而求出面积；对点的位置进行分类讨论，画出使与全等的草图，结合全等三角形对应边相等建立等量关系，求出点的坐标．【详解】解：，令，得，．，令，得，．．令，解得，．．若与全等，则：①当点在点下方时，如图所示，，．，即，解得，将代入，得．．

②当点在点上方时，如图所示．若，，则，将代入，得，．若，，则，

将代入，得，．综上，所有满足题意的点的坐标为，，．故答案为：；，，．【点睛】本题考查了一次函数的性质及应用，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与全等三角形相关知识是解题的关键．2．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____．

【答案】（4，3）或（3，4）【分析】求出的坐标，分平行轴，不平行轴两种情况，求解计算即可．【详解】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，解得：b＝3∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，∴点B（0，3）∵OB：OC=3：1∴OC＝1，∴点C（﹣1，0）；①如图，当BD平行x轴时，以点为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）；②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，∴直线DD′∥AB，设直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，将点D的坐标代入y＝﹣x+n中解得：n＝7，∴直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，设点D′（m，7﹣m），∵A，B，D′为顶点的三角形与△ABC全等，则BD′＝BC＝，解得：m＝3，故点D′（3，4）；故答案为：（4，3）或（3，4）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）k的值为__________________；（2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，则符合条件的点P的坐标为__________________．【答案】

﹣

（，）或（，）【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝kx＋4即可求出k；（2）分两种情况分别讨论：①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，用面积法求出OQ，证明OPM≌OPQ，从而得P点纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标即可；②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，先证明MOP≌QPO，进而可得这两个三角形面积相等，由此可得PF＝OE＝，从而得P点横坐标，代入一次函数解析式求出纵坐标即可．【详解】解：（1）把（3，0）代入y＝kx＋4，得：0＝3k＋4，解得：k＝﹣，故答案为：﹣；（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣x＋4，①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，

∴∠PMO＝∠OQP＝90°，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∵×AB•OQ＝×OA•OB，∴OQ＝，∴OQ＝OM，在RtOPM和RtOPQ中，，∴OPM≌OPQ（HL），∵MP⊥OB于M，∴P点纵坐标是，∵点P在y＝﹣x＋4，∴将y＝代入y＝﹣x＋4，得：＝﹣x＋4，解得：x＝，∴P（，）；②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时，

过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，∵OB＝BP，∴∠MOP＝∠QPO，∴在MOP和QPO中，，∴MOP≌QPO（SAS），∴，∵OM＝PQ，∴PF＝OE＝，∴点P的横坐标为，∵点P在y＝﹣x＋4，∴把x＝入y＝﹣x＋4得：y＝，∴P（，），综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．故答案为：（，）或（，）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理等相关知识，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，根据题意分情况讨论以及作出正确的辅助线是解题关键．

4．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．（1）点的坐标为________；（2）若点是轴上的动点，点是直线上的动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标是________．【答案】

（，）；

（3，11）或（，）或（，）；【分析】（1）直接把两条直线方程组成方程组，求出方程组的解，即可得到答案；（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①△DBE≌△OBC；②△EBD≌△OBC；分别求出点E的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵直线与直线交于点，∴，解得：，∴点C的坐标为（，）；故答案为：（，）；（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，7），∴OB=7；若以，，为顶点的三角形与全等，则可以分为两种情况进行分析：①当△DBE≌△OBC时，如图：

∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO，∴CO∥DE，点D的坐标为（0，14），∴直线DE为，∵点E是直线与直线的交点，∴，解得；∴点E的坐标为（3，11）；②当△EBD≌△OBC时，如图∴BE=OB=7，BC=BD，∵点E在直线的图像上，则设点E为（x，），∵点B为（0，7），

∴，解得：，∴或，∴，或，∴点E的坐标为（，）或（，）；综合上述，点E的坐标为（3，11）或（，）或（，）；故答案为：（3，11）或（，）或（，）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，一次函数的图形和性质，勾股定理求两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确运用全等三角形的思想和一次函数的性质进行解题．二、解答题(共0分)5．如图，一次函数y=x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段的中点为．将沿直线折叠，使点A与点B重合，直线与x轴交于点C．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C的坐标；（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为（2）；

（3）；（，）；（）．【分析】（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2），根据翻折变换的性质用x表示出的长，再根据勾股定理求解即可；（3）当时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当时，根据线段中点的性质，可得答案．【详解】（1）设A点坐标为，B点坐标为，由线段的中点为，得=3，=2，解得a=6，b=4．即故一次函数解析式为y=x+4.（2）如图1：连接，设，则，，解得x=，即C；（3）①当时，设，由D是的中点，得

，=2，解得c=，，即，；如图2：，②当时，做与E，与F点，，由，∴；③当时，设A是线段的中点，得，，解得，，即，综上所述：，4）；（，）；（，2）【点睛】此题主要考查了一次函数综合以及勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

6．直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且．(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；(2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标；(3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标．【答案】(1)，(2)或或或(3)或或【分析】（1）由直线过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及的长度，结合可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；（2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可；（3）分和两种情况考虑，结合的长度即可得出点D的坐标．【详解】（1）∵直线：过点A，∴，∴．当时，，∴点B的坐标为，即．∵，∴．∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为．

设直线BC的解析式为，将、代入，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为．（2）∵、∴，∴①当为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图，当时，则有∴，当时，∴，

当时，∴；②当为底边时，设，则有解得，∴，∴点P的坐标为或或或故答案为：或或或；（3）分在x轴上方：和（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑：如图①：①当时，∵，∴．∵，∴，，∴，∴点D的坐标为；②当时，，，∴，∴点D的坐标为．如图②

当时，∴∴点D的坐标为．综上所述，点D的坐标为或或．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是由点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；分和两种情况求出点D的坐标．7．如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，0），P（x，y）是直线y=x+2的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E、F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）△OPC的面积S与x的函数关系式为；

（2）点P坐标为（，）或（﹣，﹣）；（3）存在，P点坐标为（﹣，）或（，）．【分析】（1）根据三角形的面积公式S△OPC=×OC×y，然后把y转换成x，并且y的取值分为两种情况，即x轴上方和下方两种，分为x＞﹣4和x＜﹣4两种情况，这样△OPC的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（2）直接把S=代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．（3）根据全等三角形的判定与性质，由PE⊥AB可求出直线PE的解析式，再求出直线AB和直线PF的交点P的坐标，【详解】解：（1）点P为直线AB上的点，当x＞﹣4时，△OPC的面积S=×3×（x+2）=x+3；当x＜﹣4时，△OPC的面积S=×3×（﹣x﹣2）=﹣（x+3）；△OPC的面积S与x的函数关系式为（2）△OPC的面积为时，设x＞﹣4时，x+3=，x=，此时纵坐标为，设x＜﹣4时，﹣x﹣3=，x=﹣；此时从坐标为﹣；点P坐标为（，）或（﹣，﹣）．（3）存在，∵PE⊥AB，∴直线PE的解析式为y=﹣2x+b，

∵△EOF≌△BOA，∴EO=BO=2，AO=FO=4，①∴F点坐标为（0，﹣4），E点坐标为（﹣2，0）．将EF代入PE解析式得y=﹣2x﹣4，设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），则x，y满足，解得：x=﹣，y=．②E（2，0）F（0，4），将EF代入PE得到解析式：y=﹣2x+4设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），则x，y满足，解得：x=，y=，

∴存在，P点坐标为（﹣，）或（，）．【点睛】本题主要考查一次函数综合题，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数的图像和性质，掌握一次函数图像的交点坐标求法是关键．8．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点的坐标为连结过点作于点点为线段上一个动点．(1)求的长；(2)在线段上是否存在一点使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点关于的对称点恰好落在的边上，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)存在，或(3)或【分析】（1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解；（2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点，点，点，点的坐标为，，

，；（2）解：存在，理由如下：设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，设点，当时，，，，点在第二象限，点，当时，，，点在第二象限，点，

综上所述：点坐标为：或；（3）解：如图，当点关于的对称点落在上时，作于点于点又，，点的坐标为，点关于的对称点落在上时，点是的中点，点

综上所述：点坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．9．如图，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．如果将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上，那么直线称为直线的“伴随直线”．已知点的坐标为，．(1)若点在轴负半轴上，求直线的“伴随直线”的函数表达式；(2)已知在（1）的条件下，存在第二象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标；(3)直线的“伴随直线”上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】（1）由对称性可得，，如图，由求出，用待定系数法即可求的解析式；（2）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式为，设，再由，即可求；②当轴，轴时，此时四边形是矩形，则；（3）当点在轴正半轴上时，当点与点关于点对称时，，设，再由，即可求点坐标；同理，当点在轴正半轴上时，求点坐标．

【详解】（1）解：∵直线沿直线翻折点对应点落在轴上，∴直线为的平分线所在直线，如图所示，过点作线段，于点．设点，则∴，由对称性可知，，∵点坐标为，∴∴在中，∴，∵∴解得：∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴；（2）当点与点关于直线对称时，，

∴点在直线上，∵，，∴，∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得：∴，设，再由，解得：∴，当轴，轴时，此时四边形是矩形，∴综上所述：点坐标为或（3）当点在轴负半轴时

当点与点关于点对称时，，∴，∵点在直线上，设，∵，∴，∴，∴（舍去）或故的坐标为当点在轴正半轴时∵点，，∴∴，∴，由对称性可知，，∴，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴设直线的解析式为：，∴解得：∴，∵点在直线上，设，∵，∴∴，∴（舍去）或故的坐标为【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合．10．如图，直线交x、y轴分别为、两点，点与点关于y轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足．

(1)点坐标是_______，______．(2)当点在什么位置时，，说明理由．(3)当为等腰三角形时，求点的坐标．【答案】(1)；10(2)当的坐标是时，，理由见解析(3)或【分析】（1）把和分别代入一次函数的解析式，求出、两点坐标，根据已知条件，求出点坐标，最后运用勾股定理求出即可；（2）求出，，根据点的坐标求出，根据全等三角形的判定推出即可；（3）分三种情况进行讨论：①，②，③，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质可判断②，设的坐标是，根据勾股定理得出方程，即可求出③．【详解】（1）解：∵直线交x、y轴分别为、两点，∴当时，，即点坐标是，同理，当时，，∴点坐标是，∵点与点关于y轴对称，∴点坐标是，∴，，由勾股定理可得，，故答案是：，；

（2）解：当的坐标是时，，理由如下：∵，，∴，∵，，，∴，∵点与点关于y轴对称，∴，在和中，∵，∴，∴当的坐标是时，．（3）解：分三种情况进行讨论：①当时，由（2）知，∴，此时的坐标是；②当时，则，∵，∴，而根据三角形的外角性质得：，∴此种情况不存在；③当时，则，即，

设此时的坐标是，∵在中，由勾股定理得：，∴，解得：，即此时的坐标是；∴当为等腰三角形时，点的坐标是或．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．11．如图，直线交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为，直线交y轴点于D，O是原点．(1)求k的值；(2)直线上是否存在一点P，使得与是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P在射线上运动时，连接，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)存在；(3)存在；或【分析】（1）在中，可得，，又，即知，

，用待定系数法可得k的值是3；（2）由，，可知与全等，只需，即，用待定系数法得直线解析式为，解，即可得点P的坐标为；（3）设，且，有，，，分三种情况列方程即可得到答案．【详解】（1）解：在中，令得，∴，，∵，∴，，把代入得：，解得；∴k的值是3；（2）解：存在一点P，使得与是全等的，理由如下：∵，∴，∵，∴与全等，只需，∴，设直线解析式为，把代入得：，解得，∴直线解析式为，由（1）知，∴直线解析式为，

由得，，∴点P的坐标为；（3）解：存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：设，且，∵，，∴，，，①当时，，解得或（舍去），∴；②当时，，解得，∴；③当时，，方程无实数解；综上所述，P的坐标为或．【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C．（1）点C的坐标是．（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4）【分析】（1）联立两直线即可求解；（2）设点M的横坐标为a，分别求出M、N点的坐标，根据MN＝6，得到故可求解；（3）先求出B点坐标，得到MN=OB=6，故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等，求出MC，NC，设点P（x1，x2），得到BP=，OP=，根据BP=NC，OP=MC或BP=MC，OP=NC分别列