初中数学边缘问题

剪拼图形：

1.平行四边形剪拼成一个三角形.

用“面积不变”的思想,平行四边形变三角形有两大类方法，每一大类都有无数种拼法.如

图3,图7.

1.1一般的方法：

如图1,找出AB边中点E,作射线DA、射线CE,两条射线交与点D'.易证AAED'

丝△BEC,将aBEC绕点E旋转180°,就和aAED'重合.这样将平行四边形ABCD沿CE

剪开就可以拼成一个三角形（4DCD'）.

如图2,也可以在BC边上找中点，作法同上.

D'

图1图2

那么是否只有这两种做法呢？当然不是，它的做法有无数种呀！下面我们来看一看.

1.2以动态的观点看问题：

如图3,找出AD、BC的中点G、H,而D'点是AB上任意一点（动点），作射线D'

G和射线D'H,分别交DC所在的直线于E、F,易证4DGE丝AGD',Z\HBD'丝△HCF,

这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（AEFD'）.

当点D'在AB上移动时，产生的AEFD'也在变化，所以也就产生无数个三角形△

EFD'也就有无数种剪拼方法.

AD'B

，一歹F

EDCF

图6

1.2.1当点D'在AB上运动到图4位置时，ZXEFD'为锐角三角形.

1.2.2当点D'在AB上运动到图5位置时，^EFD'为直角三角形.

1.2.3当点D'在AB上运动到图6位置时，AEFD'为等腰（钝角）三角形.

124当点D'在AB上运动时，△EFD,能否为等边三角形？若不能什么条件下能?

1.3同样以动态的观点看问题，又有以下方法:

该方法实际上是1.1方法的一般化.

1

利用剪拼后“面积不变"S=ah=2a（2h）还可以有如图7作法.D'点是AB上任意

一点（动点），过D'点作D'A'平行且等于DA,易证△EADgED'A',△FA'D'丝

△FCB,这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（4DCA'）.

当点D'在AB上移动时，产生的aDCA'也在变化，所以也就产生无数个三角形△

DCA'也就有无数种剪拼方法.

同理，也可以将动点D'选在BC（或AD）上，方法原理同上面一样.

2.平行四边形剪拼成一个特殊四边形.

2.1平行四边形剪拼成长方形.

如图8,过A点作AF±DC与F.易证RtAADF^RtABCE,^AADF剪下平移到4BCE

的位置就拼成了长方形.

2.2平行四边形剪拼成正方形.

平行四边形剪拼成正方形的过程较复杂，要先将平行四边形拼成长方形，再把长方形拼

成正方形.下面通过图像来说明怎么把长方形剪拼成正方形的方法.

用“面积不变”的思路，我们可以将给定的矩形剪拼成正方形，如图9所示.请大家探

讨有没有更好的方法.

b

图9

2.3平行四边形剪拼成梯形.

同样以动态的观点看问题，有下述方法.

用“面积不变”的思路平行四边形变梯形的方法.如图10所示.

点E为BC的中点，F为AB上一动点（F不与A、B两点重合，思考为什么？），易

证AFBE丝ZXGCE,将4FBE剪下使它和4GCE重合即拼成了梯形.（因为是动态的所以有

无数种剪拼成梯形的方法.）

2.3.1当F点移动到A点位置时可拼成为三角形即1.1的情况.

2.3.2当F点移动到图11位置时可拼成为直角梯形.

2.3.3当F点移动到图12位置时可拼成为等腰梯形.

2.3.4如图13,另外以点E为AB的中点，G为BC上一动点，G在BC上运动（不包

括B、C两点），原理同上也可以剪拼梯形.因为G在BC上运动，所以有无数种剪拼成梯

形的方法.特别的当G运动到图13位置时，能剪拼成直角梯形.

FB

图10

图12

2.4平行四边形剪拼成任意四边形.

如图14,在平行四边形ABCD的AC边上任取一点E（或者说点E是AC上一动点），

过E点作AB的平行线，交BD于点F.在线段EF上任取两点G、H（或者说点G、H是线

段EF上两个动点，不能到点E、点F的位置）.分别过G、H作AC的平行线，交CD于

K,交AB于L,作H点关于AB的反射点H',作G点关于CD的反射点G',易证图中的相

关三角形全等，从而得以剪拼成功.（因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法.）

图14

3.任意四边形剪拼成平行四边形的方法.

将2.4的过程反过来则就成了将任意四边形剪拼成平行四边形的方法了.

4.任意四边形剪拼成长方形的方法.

只需要图14中，GG'±EF,HH'_LEF剪拼的结果就是矩形.

5.梯形的剪拼.

5.1梯形剪拼成平行四边形.

如图15,点H是BC上的中点，过点H作AD的平行线交AB的延长线于E,交DC于

G,易证4HEB四△HGC,将aHGC绕H旋转180°到AHEB的位置，就剪拼成了平行四边

形.同理可以像图16那样剪拼.

图15

5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法.

如图17,作梯形中位线的中垂线，沿中垂线将梯形对折（作点D关于中垂线的对称点

G）H为腰BC的中点，射线GH交AB的延长线于E点，易证aBEH丝Z\CGH,AD=EG从

而可以剪拼成功.

同理，图18那样也可以.

5.3梯形变长方形.

可以先将梯形剪拼成平行四边形，再将平行四边形剪拼成长方形.或者用前面（4.任

意四边形剪拼成长方形的方法.）讲的方法.

5.4特殊梯形的特殊变化.

例如：底角都是60°的等腰梯形变等边三角形.这要有特殊的方法，有兴趣大家可以

研究一下.

图24

如图：从图19到图24是剪拼的过程，供大家研究.

6.两个正方形剪拼成一个正方形.

这个问题简称“两方拼一方”，人教版八年级课本上有这样一个阅读.方法不止一种,

下面我写几种供大家欣赏.

图25中，边长分别为a、b两个正方形连成一体，你能否在上面划两条直线，沿线把图

形分成几块，然后拼成一个正方形而无剩余.

6.1方法一:

用剪拼后“面积不变”的方法，可知剪拼后的正方形边长为JL+，,那么只需要在

图中找到两条这样的线剪开就可以了.如图26到图32是剪拼过程示意图.

以D点为圆心小正方形的边长b为半径作圆，交DC于H,如图27,则AH=FH=7<22+^2,

易证图28中甲、乙两个三角形和图29中甲、乙两个三角形全等.将图28中的甲、乙放到

图29的位置即完成了剪拼,图31是完成剪拼后的图形.（不做过多论述，看图.）

图26图27图28

图29图30

6.2方法二:

如图32,易证DGMAG1寿,易证图33中的甲、乙、丙、丁分别和图34中的甲、乙、

丙、丁全等.将图33中的甲、乙、丙、丁分别放到图34的位置即完成了剪拼，图35是完

成剪拼后的图形.（不做过多论述，看图.）

6.3方法三：请大家看图36,不做详细介绍.

图36

十字相乘：

同学们都知道，x2+(p+g)x+pq型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多

项式该如何分解呢？

观察(X+PXx+q)=x2+3+[)x+pg,可知x2+(p+g”+pg=(x+M(x+g)。

这就是说，对于二次三项式V+ax+小，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有

p+q=a,那么乂+“+8=*+切炽+/。这就是分解因式的十字相乘法。

下面举例具体说明怎样进行分解因式。

例1、因式分解/一X一56。

XX\

分析：因为^------上

7x+(-8x)=-x

解：原式=(x+7)(x-8)

例2、因式分解/-10工+16。

:X：

分析：因为§一二

-2x+(-8x)=-10x

解：原式二(x-2)(x-8)

例3、因式分解6/+1*+15°

分析：该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。

2y*3

因为“5

9y+10y=19y

解：原式二(2y+3)(3y+5)

例4、因式分解14-+3工一27。

2彳Y3

7彳八一9

分析：因为二-----1

21x+(-18x)=3x

解：原式二(2x+3)(7x-9)

例5、因式分解10(X+2)2-29(X+2)+10。

分析：该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。

2(x+2)*-5

因为5(x+2)/-2

-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)

解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]

=(2x-l)(5x+8)

例6、因式分解(1-。尸-14(1-4)+24。

分析：该题可以先将(a?-4)看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次

十字相乘。

-2(。-△)+[-12(。-a)]=-14(。一。)a+(-2a)=-a3a+(-4a)=-a

解：原式二[(/一以)-2][(/一以)-12]

=(a+l)(a-2)(a+3)(a-4)

从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定

要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如x'-2x+5在实

数范围内就不能再进一步因式分解了

两线合一必等腰：

学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”

的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了

它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：

①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.（线段垂直平分线的性质）

②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就

能证明它是等腰三角形.

为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。

本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解

决问题。

一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：

证明①：已知：如图1,ZiABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。

A

BDC

图1

求证：AABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC,

所以aABC是等腰三角形。具体证明过程略。

证明②：已知:如图1,4ABC中，AD是NBAC的角平分线，AD是BC边上的高。

求证：AABC是等腰三角形。

分析：利用ASA的方法来证明△ABD^^ACD,由此推出AB=AC得出AABC是等腰三角形。

具体证明过程略。

证明③：已知：如图2,△ABC中，AD是NBAC的角平分线，AD是BC边上的中线。

求证：aABC是等腰三角形。

方法一：

分析：要证aABC是等腰三角形就是要证AB=AC,直接通过证明这两条线段所在的三角

形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方

法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问

题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD,由此问题就解决了。

证明：如图2,延长AD到E点，使DE=AD,连接BE

I在4ADCffiAEDB中

AD=DE

ZADC=ZEDB

CD=BD

.-.△ADC^AEDB

AAC=BE,NCAD=/BED

TAD是NBAC的角平分线

・•・NBAD二NCAD

・・・ZBED=ZBAD

AAB=BE

又TAOBE

AAB=AC

•••△ABC是等腰三角形。

方法二：

分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可

以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利

用面积公式开辟出新思维。具体做法是：如图2,

过点D作DFLAB,DE_LAC垂足分别为F、E。又因AD是NBAC的角平分线，所以DF=DE。

因为BD=DC,利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以=再根据“等

—ACDE

积三角形高相等则底也相等”，因为$皿=5=S.CD=5，又因DF=DE,

所以AB=AC,可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。

图3

当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证明

两组直角三角形分别全等，从而证明/B=/C,所以AB=AC,此法明显较麻烦些，但是思路

要给予肯定。

需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题

不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方

法。

二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题

1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）

例1人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4,D、E分别是AB、AC的

中点，CDLAB于D,BE_LAC于E,求证：AC=AB0

经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接A0（图略），

证明△AOC丝ZSAOB或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，

证明OA=OB=OC,方法相当地麻烦。

分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句，所以学

生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起.如果学生有“两线合

必等腰”的思维，很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上

的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。

简单证明：连结BC,CD±AB,AD=BD

AC=BC（注：利用线段垂直平分线的性质）

同理可得：AB=BC

,AC=AB

由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。

2、逆命题②的应用

例2已知：如图5,在△ABC中，AD平分/BAC,CD，AD,D为垂足，AB〉AC。

求证：Z2=Z1+ZB

分析：由“AD平分NBAC,CD1AD"可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高

和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。

简单证明：延长CD交AB于点E,由题目提供的条件，可证4AED丝z^ACD,Z2-ZAEC,

又/AEC=/1+NB,所以结论得证。

例3在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6,在AABC中，ZBAC=90°,

AB=AC,BE平分NABC,且CD_LBE交BE的延长线于点D,

求证：CD=2BE

分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA,交于

点F,补全等腰三角形。

简单证明：由所添辅助线可证△BFDg^BCD,可知4BCF是等腰三角形

:.CD=DF=2CF

再证△ABEg^ACF

,BE=CF

:.CD=2BE

可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，

添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。

笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。

例4逆命题②还可以与中位线综合应用：

已知：如图7,在△ABC中，AD平分NBAC,交BC于点D,过点C作AD的垂线，交AD

的延长线于点E,F为BC的中点，连结EF。

求证：EF〃AB,EF=2(AC-AB)

分析：由已知可知，线段AE既是/BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合

一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于

点G。

简单证明：由所添辅助线可证AAGE丝AACE,得出AAGC是等腰三角形，AG=AC

；.EG=CE

又•.,点F是BC的中点

AEF是△BGC的中位线

11

，EF〃AB,EF=2BG=2(AG-AB)=2(AC-AB)

3、逆命题③应用：

例5已知：如图8,aABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE〃AC、DF〃AB分别

与AB、AC相交于点E,F。求证：DE=DF

分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E,F分别是AB、AC的中点（初中阶段不

能用三角形的中位线的逆定理），又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的性质可知,

21

DE=2AC,DF=2AB,可见只要证明AC=AB,题目所求证的结论就可得证。因为AD既是/BAC

的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”，所以AABC是等腰三角形可证，方法

见逆命题③的证明。

证明：过程略。

还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过

作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。

AD=CD+AB

例7

分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平

分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、

AE相交于点F,易证AABE丝Z\FCE,所以AB=CF,AE=EF,可见只要证明AD=FD,题目所求

证的结论就可得证。可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是NADC的角平分线，又是

AF边上的中线，4DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。可见，学生如果有“两线

合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。只是此法用于这个题目较

为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。

由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。

三、请读者小试牛刀

学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合

一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②

或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三

线合一”性质搞混淆。

请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示）

1、已知，如图10,ZXABC中，NBAC=90°,AD_LBC于D,/ABC的平分线交AD于E,

交AC于P,ZCAD的平分线交BP于Q。求证：AQAD是等腰三角形。（提示：可证NAQB=90°,

延长AQ。此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用）

2、如图（图略，读者自己画），在△ABC中（ABWAC）,M为BC的中点，AD平分/BAC

交BC于点D,BE_LAD于E,CF_LAD于F.求证：ME=MF.（提示：延长BE、CF.）

3、如图（图略），BE、CF是AABC的角平分线，AMLCF于M,ANLBE于N.求证：MN〃BC.（画

图时，注意ABWAC）

4、如图（图略），已知梯形ABCD中，AB//CD,NC的平分线CE_LAD于E,且DE=2AE,

CE把梯形ABCD分成两部分，求这两部分面积之比.（画图时，注意AB为上底，CD为下底，

E点在线段AD上）

5、BD、CE是4ABC的两个外角的平分线，AD±BD于D,AE±CE于E.求证：（DDE/7BC.（2）DE

等于AABC的周长的一半.（画图时，注意BD,CE在直线BC的同侧）

等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通

过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。

巧用韦达定理：

韦达定理揭示了一元二次方程的两根之和、之积与系数的关系，然而在学习中，我们经常还

会遇到两根之差、之比、平方和等问题，如果能将它们与系数建立起来关系，直接用这种关

系来解题，岂不妙哉？下面是韦达定理的三个推论，它会给大家带来惊喜.

推论一设xi、X2是一元二次方程ax'+bx+c=0（aW0）的两个实根，则

2

推论二设XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（acW0）的两个实根，令叼，则

（1+k）2_廿

kac。

b2-2ac

彳？+x?=

推论三设XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的两个实根，则1

利用上述推论来解题，显得简捷、明快、直观，对提高同学们的解题能力很有帮助，下面举

例说明它们的应用.

一、求值

例1已知山、X2为方程2x2+2x-l=0的二根，则|xi—X21的值为____

.2—4x2x(—l)—拒

解：由推论一，得：|xi—X21=2

例2设Xi、X2是方程x?+6x+q=0的两根，且3xi+2x・2=0,则q=.

_62

k=^-=-~二一q

解：由3XI+2X2=0,得为23。由推论二，得：3；.q=-216.

例3已知关于x的方程xZ—(k+l)x+k+2=0的两实根的平方和等于6,求k的值.

解设方程X.—(k+l)x+k+2=0的两根为Xi、X2,

二X；+君=(用+1尸一2(上+2)=上一3,由题意知1<2—3=6,二1<2=9,k=±3.

由于当k=3时，原方程无实根，，k=3应舍去.故k的值为-3.

二、求系数间的关系

例4如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍,那么p,q所满足的关系式是一.

(1+2)]储2

解：因为左=2,由推论二得20,即272=9，。

例5方程x2+px+q=0的两根之差与x2+qx+p=0的两根之差相等，则p,q的关系

式是____.(A)p=q；(B)p+q=—4；(C)p=q或p+q=—4；(D)无关.

解设方程x2+px+q=0的两根为a,B,方程x2+qx+p=O的两根为a',B,则

即户|=加-乜口叫=扬-4乙由题意得物-4[=&2_4乙

即(p—q)(p+q+4)=0..,.p=q或p+q=-4.故选即).

三、求最值

例7已知xi、也是方程十一(1?一2及+(1?+31:+5)=0的两个实数根(其中卜为实数),

则+的最大值是一

解：•.•*；+君=(左_2)2_2(上2+3上+5)=_(上+5)2+]9

又,；△=(k-2)2—4(k?+3k+5)20,

4

-4二上4-

即3kz+16k+16W0,二解得3

22

当k=-4时,刘+用的最大值是18。

梯形常用辅助线作法：

梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合”。可以通过适当地添

加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问

题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。

一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。

例1如图，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,ACJ_BD,梯形的高CF为10,求梯形ABCD的

面积。

分析：由于等腰梯形ABCD的对角线ACLBD且AC=BD,所以我们可以平移一对角线构造

一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角

形的面积即可。

解：过点C作CE〃DB交AB的延长线于点E.

VDC/7AE；四边形CDBE为平行边形；，DB=CE,DC=BE

•.•梯形ABCD为等腰梯形；.,.AD=BC,AC=BD；；.AC=CE

AADC^ACBE即SAADC=SACBE：；.S梯形ABCD=SAACE

VAC±BD,CE〃DB；AACICE；ZXACE为等腰直角三角形

：CF为高，；.CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线

VCF=10,AAE=20

梯形ABCD=SAACE=2AEXCF=2X20X10=100

二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者

同时移动两腰使它们交于一点。

例2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移DC到AE,AE

交BC于E。可知BE=BC-AD=AB.又AB=DC=AE.故AB=BE=AE,AABE是等边三角形。所以N

B=60°.故选B»

例3如图，在梯形ABCD中，AD/7BC.AD<BC,E、F分另4为AD、BC的中点，且EF_LBC。

解析：要证NB=NC,可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性侦加以

证明。

过点E作EH〃AB,EG〃DC,分别交BC于H、G。

•••AD〃BC,...四边形ABIIE和四边形EGCD都是平行四边形。

.\AE=BH,ED=GC,又E、F分别为AD、BC的中点,所以AE=ED,BF=FC

.*.BII=GC,BF-BH=FC-GC,从而FH=FG.又EF_LBC,所以EH=EG,故NEHF=/EGF,得NB=

ZCo

三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。

例4在梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=ZBCD=60°,AD+BC=30,BD平分NABC,求梯形

的周长。

解析：延长两腰相交于点E,如图，因为NABC=NBCD=60°,故NE=60°,4BCE为等

1

边三角形。又BD平分NABC,所以BD垂直平分CE,所以CD=5BC。又AD〃BC,故△ADE为

等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10o

匕

，梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。

四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。

例5已知等腰梯形的一个内角为60。，它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是

解析：如图，梯形ABCD中，ZB=ZC=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,过点A、D分别作

1

AE±BC,DF_LBC,垂足分另ij为E、F贝ij有NBAE=NCDF=30°，BE=FC=2AB=2cm。

，BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀

的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在

现；延长两腰交一点，''△"中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中

线，莫忘作出中位线”。

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难

一下子解决的.下面来一起学习一下.

命题1如图1,点D是AABC两个内角平分线的交点，则ND=90°+2ZA.

证明：如图1：

VZ1-Z11,Z2-Z21,

.•.2/l+2/2+NA=180。①

Z1+Z2+ZD=I8O°②

①一②得：

Z1+Z2+ZA=ZD(3)

由②得：

Zl+Z2=1800-ZD®

把③代入④得：

.•.180°-ZD+ZA=ZD

J

ZD=90°+2ZA.

点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°,不难证明.

1

命题2如图2,点D是AABC两个内角平分线的交点，则ND=90°-2ZA.

图2

证明：如图2：

VDB和DC是4ABC的两条外角平分线,

，ND=180°-Z1-Z2

J

=180°-2(ZDBE+ZDCF)

J

=180°-2(ZA+Z4+ZA+Z3)

!_

=180°-2(ZA+180°)

!_

=180°-2ZA-90°

1

=90°—2NA；

点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形

的内角和等于180°,可以证明.

J

命题3如图3,点E是AABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则/E=5/

A.

证明：如图3：

VZ1=Z2,/3=/4,

ZA+2Z1=2Z4®

/l+/E=/4②

J

①x5代入②得：

1

ZE=2ZA.

点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证

H

命题4如图4,点E是aABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证

明:AE是aABC的外角平分线.

证明：如图3：

：BE是/ABC的平分线,可得：EH=EF

CE是/ACD的平分线，可得：EG=EF

•••过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.

即EF=EG=EH

VEG=EH

.,AE是4ABC的外角平分线.

点评利用角平分线的性质和判定能够证明.

应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看.

例1如图5,PB和PC是4ABC的两条外角平分线.

①已知NA=60°,请直接写出NP的度数.

②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

解析：①由命题2的结论直接得：ZP=90°-2ZA=90°-2X60°=60°

图5

J

②根据命题2的结论/P=90°-2NA,知三角形的三条外角平分线所在的直线形成

的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形.

点评此题直接运用命题2的结论很简单.同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直

角三角形和钝角三角形.

例2如图6,在aABC中，延长BC到D,/ABC与NACD的角平分线相较于4点,

/&BC与/&CD的平分线交与4点，以此类推，…，若NA=96°,则/&=_度.

解析：由命题③的结论不难发现规律NZA.

可以直接得：/4=32x96°=3°.

点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识.

例3(2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题3分)如图7,4ABC的

外角/ACD的平分线CP的内角NABC平分线BP交于点P,若/BPC=40°,则N

CAP=.

解析：此题直接运用命题4的结论可以知道AP是4ABC的一个外角平分线，结合命

题3的结论知道NBAC=2/BPC,CAP=2(180°-ZBAC)=2(180°-2ZBPC)=50°.

点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一

定做的出来的题目.

例4(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在RtZSABC中，

ZACB=90°,ZBAC=30°,NACB的平分线与NABC的外角平分线交与E点，连接AE,

则/AEB=度.

E

A

解析：有题目和命题4的结论可以知道AE是4ABC的一个外角平分线，结合命题2的

结论知道/AEB=NACB-5ZACB=90°-2X9O°=45°

点评从上面的做题过程来看题目中给出的“/A=30°”这个条件是可以不用的.

一个有关长方形的结论的妙用；

一类有关反比例函数的题目，要用到一个有关长方形的结论来解显得极其容易，若对这个结

论没掌握好要解这类题目是不容易的，下面我们来一起学习一下.

结论1:如图1,长方形ABCD的对角线把长方形分成面积相等的两部分.

利用三角形全等容易证明'三粘废幽=S=树8.

AB

....、

DC

图1

结论2::如图2,AC是长方形ABCD的对角线，点E是对角线AC上一动点，过点E分别

做AB、AD的平行线段IF、HG,点I、F分别在AD、BC上，点H、G分别在AB、DC上.则图

中阴影部分的面积相等即5=$2.

证明：如图2,在长方形ABCD中，由结论1知$三角四屿=$三角出函①.

DGC

图2

同理在长方形AHEI中，由结论1知3三用用如=5三免用AS出②.

同理在长方形EFGC中，由结论1知,N角感MG=S三角族1cF③.

①一②一③得：工=$2.

例1（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）如图3,矩形ABCD的对角

k

y——

线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数x的图象上.若

点A的坐标为（-2,-2）,则k的值为（）

图3

A.-2B.2C.3D.4

点评由结论2,易知k=4,答案：D

例2（2011甘肃兰州，15,4分）如图4,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形

/+2上+1

y二----------

的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数x的图象上.若点A的坐标为（一

2,-2）,则k的值为（）

A.1B.-3C.4D.1或一3

点评由结论2,易知K'+2K+1=4,解得：k=l或一3答案：D

动点最值问题解法探析

一、问题原型：

（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1,要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向4、

B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题

二、基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），

确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：

FA+产8之（产在线段工归上时取等号）（如图1-2）

»B

A•

图1-1

线段和最小，常见有三种类型：

（一）“I定动1+1定动I”型：两定点到一动点的距离和最小

通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当

动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最

小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3,作一定点工关于动点C所在直线，的对称点入，，线段幺石（3是另一定点）

与/的交点即为距离和最小时动点C位置，最小距离和=A'B.

例1（2006年河南省中考题）如图2,正方形N8C。的边长为2,£是8c的中点，P

是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是

图2

解析：B与Z）关于直线4C对称，连结D尸，则如=尸8。

CE=-BC=1

连结在及A3CS1中，DC=2,2，则

DE=YDC'+EC"=722+12=君

PB+PE=PD+PE>DE=y/5故尸B+%的最小值为J5

例2(2009年济南市中考题)如图3,已知：抛物线丁=a/+—+c(aw0)的对

称轴为x=-1,与x轴交于上、B两点，与轴V交于点C,其中j(一3,0),C(0-2)o

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)已知在对称轴上存在一点尸，使得△尸3C的周长最小，请求出点尸的坐标。

解析：(1)对称轴为x=-l,A-X0),由对称性可知：8(1,0)。根据力、B、C

22),

y=-x+一二一2

三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：33

(2)5与B关于对称轴x=-l对称，连结HC,工C与对称轴交点即为所求产点。

设直线工C解析式为：丁=以+占。把工(一3,0)、C(0,—2)代入得，,一.

244

当x=-l时，33,则'3，

2.两个定点+两个动点。

两动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点间的距离保持不

变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

例3如图4,河岸两侧有上、5两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥,

桥修在何处才能两村村民来往路程最短？

B

图4

解析：设桥端两动点为反、N,那么N■点随“点而动，■等于河宽，且加H垂

直于河岸。

将3向上平移河宽长到夕，线段工夕与河北岸线的交点即为桥端M点位置。四边形

8*儿W为平行四边形，B'M=BN,此时力舷+即=工舷+8'河=力8'值最小。那么

来往力、B两村最短路程为：AM+MN+NB=AB'+MNa

例4（2010年天津市中考）在平面角坐标系中，矩形Q43c的顶点。在坐标原点，顶

点4、8分别在x轴、丁轴的正半轴上，04=3,03=4,Z）为边03的中点。

（1）若£为边。力上的一个动点，当AC%的周长最小时，求点£的坐标；

（2）若尸为边。工上的两个动点，且防=2,当四边形COEF的周长最小时，

求点下，尸的坐标。

r）D

0D'=0D=—=2、

Dn”0

解析：作点Z）关于x轴的对称点£），，则2,（0-2）o

（1）连接CO交x轴于点5，连接,此时ACD内的周长最小。由LD'