浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(三)（含答案）

浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(三)(时间:80分钟,满分:100分)一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∪B=()A.⌀ B.{5}C.{4,6} D.{3,4,5,6,7}2.复数z=3-2i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=ln(2-x)的定义域是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]4.已知a=20.2,b=2-1,c=1,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>b B.b>a>cC.c>a>b D.a>b>c5.已知向量a=(2,3),b=(m,6),且a⊥b,则m=()A.-4 B.4 C.-9 D.96.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则参加比赛的都是女生的概率为()A.110 B.310 C.12 7.在△ABC中,已知D是AB边上的中点,G是CD的中点,若AG=λAB+μAC,则实数λ+μ=()A.14 B.12 C.34 8.如果一个棱长为a的正方体的八个顶点都在同一个球面上,且这个球的表面积为π,则a=()A.1 B.12 C.22 D9.不等式|2x-1|-x2<1的解集是()A.xx<-2或x>12 B.{x|x<-2或x>0}C.x-2<x<12 D.{x|-2<x<0}10.已知函数f(x)的部分图象如右图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=ex·ln|x| B.f(x)=lnC.f(x)=ex+ln|x| D.f(x)=ex-ln|x|11.已知α∈(0,π),且满足cos2αsin(α-π4A.-34 B.-43 C.34 12.若正数x,y满足1x+2y=1,则4x2+y2-16A.-108 B.-100C.-99 D.-96二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)13.已知θ∈-π2,π2,且sinθ=12,则关于θA.θ=π6 B.cosθ=-C.tanθ=3 D.tanθ=314.如图,虚线是某印刷厂的收支差额y(单位:元)关于印刷量x的图象,现有一单位需印制一批证书,为此印刷厂员工给出了以下两种方案,方案一:收取制版费和印刷费,其中印刷费用按原价的八折收取;方案二:不收取制版费,印刷量达到一定数量后,超出部分按原价的六折收取,则符合两种方案描述的图象(实线部分)是()15.已知函数f(x)=ex,x≤0,2f(x-1),xA.1e B.C.e D.316.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E为棱C'D'的中点,过AE的截面与棱CC',A'D',BC分别交于点F,G,H,则下列说法正确的是()A.存在点H,使得AE⊥D'HB.线段D'G的长度的最大值是1C.当点F与点C重合时,多面体DAGEFH的体积为2D.点D到截面AEF的距离的最大值是2三、填空题(本大题共4小题,共15分)17.已知函数f(x)=x+1,x≥0,12x,x<0,则f(-1)=18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,a2+c2-ac=9,则角B=.

19.已知函数f(x)=1x,g(x)=x-1x2-x+10,直线x=m(m>0)与y=f(x),y=g(x)的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x2+y220.已知函数f(x)=e|x-1|+x2-2x,则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是.

四、解答题(本大题共3小题,共33分)21.(11分)为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神,某大学举办了亚运会知识竞赛,并从中随机抽取了100名学生的成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数;(2)试估计这100名学生成绩的第75百分位数;(3)若采用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生中共抽取6人参加志愿者活动.现从这6人中随机抽取2人分享活动经验,求抽取的2人成绩都在[80,100]的概率.22.(11分)如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知CB⊥平面ABB'A',AB=2,且AB⊥BB',A'C⊥AB'.(1)求AA'的长;(2)若D为线段AC的中点,求二面角A-B'C'-D的余弦值.23.(11分)已知函数f(x)=logax+ax+1x+1(x>0),其中a>(1)若a=2,求f14的值;(2)判断函数f(x)的零点个数,并说明理由;(3)设f(x0)=0,求证:12<f(x0)<参考答案1.D解析因为A={4,5,6},B={3,5,7},所以A∪B={3,4,5,6,7}.故选D.2.D解析因为复数z=3-2i在复平面内对应的点是(3,-2),所以复数z=3-2i在复平面内对应的点位于第四象限,故选D.3.C解析令2-x>0,解得x<2,所以函数f(x)=ln(2-x)的定义域是(-∞,2).故选C.4.A解析∵a=20.2>20=1,b=2-1=12<1,c=1,所以a>c>b,故选A5.C解析由题意,向量a=(2,3),b=(m,6),因为a⊥b,可得a·b=2×m+3×6=2m+18=0,解得m=-9.故选C.6.A解析依题意记三名男生分别为a,b,c,两名女生分别为A,B,从中任意选两名同学有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10种情况,其中都是女生的只有AB这1种情况,故参加比赛的都是女生的概率P=110.故选A7.C解析因为点D是AB边上的中点,G是CD的中点,所以AD=所以AG=AC+CG又因为AG=λAB+μAC,所以λ=14,μ=12,则λ+μ=34,8.D解析因为正方体的体对角线为其外接球的直径,且其棱长为a,所以2R=a2+a2+a2=3a,由题意可知正方体的外接球的表面积为π,则(3a)2π=(2R)2π=4πR2=π,所以9.B解析不等式|2x-1|-x2<1,即|2x-1|<1+x2,所以-1-x2<2x-1<1+x2,即-1-x2<2x-1,2x-1<1+10.C解析对于A,因为f(x)=ex·ln|x|,所以f(-1)=e-1·ln|-1|=0,f(-e)=e-e·ln|-e|=1ee,f(-e2)=e-e2·ln|-e2|=2ee2,显然-e2<-e<-1,f(-e2)<f(-e),所以f(x)在(-∞,对于B,因为f(x)=ln|x|ex,所以f(1)=ln|1|e1=0,f(e)=ln|e|ee=1ee,f(e2)=ln|e2|ee2=2ee2对于D,因为f(x)=ex-ln|x|,所以f(-1)=e-1-ln|-1|=1e,f(-e)=e-e-ln|-e|=1ee-1,显然-e<-1,f(-e)<f(-1),所以f(x)在(-∞,0)内并不单调递减,故对于C,因为f(x)=ex+ln|x|,当x>0时,f(x)=ex+lnx,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当x<0时,f(x)=ex+ln(-x),f(x)在(-∞,0)内单调递减,故C正确.故选C.11.A解析因为α∈(0,π),且cos2αsin(α-π4)=25,所以cos2α-sin2α22(sinα-cosα)=25,化简得sinα+cosα=-15,两边平方化简得2sinα·cosα=-2425<0,所以α∈π2,π,1-2sinα所以sinα=35,cosα=-45,所以tanα=-34,12.B解析由1x+2y=1可得2x+y=xy⇒xy≥22xy⇒xy≥8,当且仅当x=2,y=4时,等号成立,所以4x2+y2-16xy=(2x+y)2-20xy=(xy)2-20xy=(xy-10)2-100,所以当xy=10时,4x2+y2-16xy的最小值是13.AD解析因为θ∈-π2,π2,且sinθ=12,所以θ∈0,π2,则θ=π6,cosθ=32,tanθ=314.CD解析依题意,设每张证书印刷费为a元,每张证书印刷损耗为b元,其余固定损耗为c元,制版费为d元,显然a>0.8a>0.6a>b,则结合图象可知该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为y=ax-bx-c=(a-b)x-c,方案一:由于收取制版费和印刷费,印刷费按原价的八折收取,所以该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为y=0.8ax-bx-c+d=(0.8a-b)x-c+d,显然该直线斜率会比原来的小,截距会比原来的大,故C选项的图象满足;方案二:由于不收取制版费,印刷量达到一定数量后,超出部分按原价的六折收取,所以一开始的图象与原来的一样,当印刷量达到一定数量后,收入减少,故收支差额变小,所以D选项的图象满足.故选CD.15.BD解析①当x≤0时,f(x)=ex在(-∞,0]上单调递增,且f(0)=1,所以f(x)∈(0,1];②当x>0时,则f(x)=2kex-k,x∈(k-1,k],k∈N*,可知f(x)在(k-1,k],k∈N*上单调递增,且f(k-1)=2ke,f(k)=2所以f(x)∈2ke,2k,k∈N*,且2k+1e<2k<2k+2方程f(x)=a的根的个数可以转化为y=f(x)与y=a的交点个数,如图所示,可得当a≤0时,y=f(x)与y=a没有交点;当0<a≤2e时,y=f(x)与y=a有且仅有1个交点当2k+1e<a≤2k,k∈N时,y=f(x)与y=a有且仅有当2k<a≤2k+2e,k∈N时,y=f(x)与y=a有且仅有若关于x的方程f(x)=a有两解,即y=f(x)与y=a有且仅有2个交点,所以实数a的取值范围为2k+1e,2k,k∈N因为1∈2e,1,3∈8e,4,所以A,C错误,B,D正确.故选BD.16.BC解析以D为原点,DC为y轴,DA为x轴,DD'为z轴,建立空间直角坐标系如图,则有A(2,0,0),E(0,1,2),D(0,0,0),D'(0,0,2),设G(m,0,2),H(p,2,0).对于A,AE=(-2,1,2),D'H=(p,2,-2),AE·D'H=-2p+2-4=0,p=-1,即H对于B,∵平面ABCD∥平面A'B'C'D',GE,AH⊂平面AGEFH,平面AGEFH与平面ABCD,A'B'C'D'分别交于AH,GE,∴GE∥AH,GE=(-m,1,0),AH=(p-2,2,0),∴p-2=-2m,p=2(1-m),2≥p≥0,∴1≥m≥0,即|D'G|的最大值是1,正确;过点D作平面AGEFH的垂线,得垂足O(x,y,z),则有OD由p-2=-2m,解得y=mx,z=-m-22又因为AD与AG,AH共面,设AD=λAG+μAH,解得μ=y2,λ=z2,x=2-2m将①式代入得x=85m|DO|2=x2+y2+z2=x21+m2+(m-2)24=当点F与点C重合时,如图所示.此时m=1,x=85-4+8=89,|DO|=2x=43,|AG|=5,|GE|=2,|AF|=22,梯形AFEG的高=(5)2-(22)

2=32,梯形AFEG的面积由②③式可知,当m=42×5=25时,|DO|最大为217.23解析因为f(x)=x+1,x≥0,12x,x<0,所以f(-1)=12-1=2,所以18.π3解析因为b=3,a2+c2-ac=9,即a2+c2-ac=b2,所以cosB=a2+c2-b22ac=19.26解析由题意,x2+y2x1+y1=m+(m-1m)

2-m+10m+1m=(m+1m)

2+6m+1m=m+1m+6m20.0,23解析因为f(x)=e|x-1|+x2-2x=e|x-1|+(x-1)2-1,则f(x+1)=e|x|+x2-1,令g(x)=e|x|+x2-1,则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移1个单位得到,又因为g(-x)=e|-x|+(-x)2-1=e|x|+x2-1=g(x),即g(x)=e|x|+x2-1为偶函数,且当x≥0时g(x)=ex+x2-1,所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,则g(x)在(-∞,0)内单调递减,所以f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减,且图象关于x=1对称,所以当f(x)>f(2x)时,有|x-1|>|2x-1|,解得0<x<23.21.解(1)由频率分布直方图中数据可知(0.002+0.016)×10×100=18(人).(2)成绩小于或等于80的频率为10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.7,成绩在[80,90)的频率为10×0.020=0.2,因为0.7<0.75<0.9,所以这100名学生成绩的第75百分位数在[80,90)内,所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+10×0.75-0.(3)因为成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生人数所占比例为3∶2∶1,所以从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]所抽取人数分别为3,2,1.记抽取成绩在[70,80)内的3人为a,b,c,成绩在[80,100]上的3人为D,E,F.从这6人中随机抽取2人的所有可能为(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E),(b,F),(c,D),(c,E),(c,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种,抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E,F),共3种,抽取的2人成绩都在[80,100]的概率为31522.解(1)连接A'B,因为CB⊥平面ABB'A',AB'⊂平面ABB'A',则CB⊥AB',又因为A'C⊥AB',A'C∩CB=C,A'C,CB⊂平面A'BC,所以AB'⊥平面A'BC,且A'B⊂平面A'BC,可得AB'⊥A'B,因为四边形ABB'A'为平行四边形,且AB⊥BB',则四边形ABB'A'为矩形,所以四边形ABB'A'为正方形,可得AA'=AB=2.(2)根据题意将三棱柱转化为正四棱柱ABCE-A'B'C'E',取CE,AB的中点P,Q,连接PQ,C'P,B'Q,则P,D,Q三点共线,且PQ∥BC,因为B'C'∥BC,可得PQ∥B'C',所以平面B'C'D即为平面PQB'C',同理平面AB'C'即为平面AB'C'E,因为B'C'∥BC,CB⊥平面ABB'A',则B'C'⊥平面ABB'A',且AB',B'Q⊂平面ABB'A',则B'C'⊥AB',B'C'⊥B'Q,所以二面角A-B'C'-D的平面角为∠AB'Q,可得B'A=22,AQ=1,B'Q=5,在△