苏科版七年级数学下册尖子生培优 专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！/今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•盱眙县期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．2．（2022秋•镇江期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．（1）你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；（2）小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b，小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，两位同学写的算式结果一样吗？为什么？（3）如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：①请根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；②已知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．3．（2022春•玄武区校级期中）如图①，有边长为a与边长为b的两种正方形纸片．（1）将两种正方形纸片各一张如图②放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图②中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图③），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．①用含a，b的代数式分别表示S1＝，S2＝．②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值；（2）将两种正方形纸片各一张按图④的方式放置在一个边长为m的正方形桌面上（a+b＞m），若两个正方形叠合部分（阴影）的面积为S3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（点状阴影）的面积为S4，求S3﹣S4（结果用含a，b，m的代数式表示）．4．（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．5．（2022春•常州期中）如图，将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：（1）分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；（2）若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．6．（2022春•钟楼区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．（1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请设计一个图形说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（画出示意图，并标上字母）（2）如图2，两个直角边长分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）（3）根据（2）中的结论回答，当a＝4，b＝3时，c的值为．7．（2022春•相城区校级期中）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．8．（2022春•惠山区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．9．（2022春•海州区校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为；【类比探究】已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝；【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．10．（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．11．（2022春•东海县期末）完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．如：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解题思路：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，可设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（1）请仿照上面的方法求解下面问题：①若x满足（6﹣x）（x﹣2）＝2，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值；②若x满足（6+x）（2+x）＝5，求（6+x）2+（2+x）2的值；（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分的面积．12．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．13．（2022春•南京期中）如图①是由边长为a的大正方形纸片减去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把该纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②），验证了公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．请你通过对纸片的剪拼，在图③、图④上画出两种不同拼法的示意图．要求：①与以上方法不能相同；②拼成的图形是四边形；③在图上画剪切线（用虚线表示）；④在拼出的图形上标出已知的边长．拼法一：拼法二：14．（2022春•大丰区校级月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的选项）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你选的等式进行简便计算：1012﹣2×992+972；（3）用你选的等式进行简便计算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．15．（2023春•滨湖区期中）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．（1）设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝，S2＝；（2）请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：；（3）请你利用（2）中的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．16．（2022春•亭湖区校级月考）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．17．（2022春•亭湖区校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．18．（2022春•大丰区校级月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．19．（2022春•高新区月考）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．20．（2023春•射阳县校级月考）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．21．（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方法②；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．22．（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．23．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．24．（2022秋•晋安区校级月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x满足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．25．（2022秋•芙蓉区校级月考）利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请你解答下面的问题：（1）填空：（2a+3）2＝4a2+ka+9，则k＝；（5x+m）2＝25x2+10x+n，则m＝，n＝；（2）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：；（3）利用上述拼图的方法计算：（2a+b）（a+3b）＝．26．（2023秋•南宁期末）【阅读理解】若x满足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值．解：设45﹣x＝a，x﹣15＝b，则（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200，a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30，（45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（20﹣x）（x﹣5）＝50，则（20﹣x）2+（x﹣5）2＝；（2）若x满足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，点E，F是BC，CD上的点，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为60cm2，求图中阴影部分的面积和．27．（2022春•金水区校级期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，且a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，所以（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝2000，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC：CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．28．（2022春•天桥区校级期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．29．（2022春•章丘区期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．30．（2022春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：．（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：（2+1）（22﹣1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝．（请你将以上过程补充完整．）（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！/今后的某一天，你会感谢曾经努力的自己！

专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•盱眙县期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【分析】（1）由图形可知应该是完全平方公式；（2）由完全平方公式即可求解；（3）由完全平方公式求出（8﹣x）和（x﹣2）的乘积即可．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝19；（3）∵（8﹣x）+（x﹣2）＝6，∴[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝36，∴（8﹣x）2+（x﹣2）2+2（8﹣x）（x﹣2）＝36，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，∴长方形的面积是8．2．（2022秋•镇江期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．（1）你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；（2）小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b，小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，两位同学写的算式结果一样吗？为什么？（3）如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：①请根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；②已知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．【分析】（1）根据3张卡片的不同拼图即可；（2）将小明、小红的写法计算出结果即可；（3）①根据（2）的方法进行计算即可；②由图形可知ab＝12，a+b＝7，求c2的值，再求出c的值即可．【解答】解：（1）能，图形如下：（2）一样，理由：小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b＝2a+4b；小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b＝2a+4b；所以小明、小红的写法是一样的；（3）①大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2＝a2+b2+2ab，大正方形的面积由4个两条直角边为a、b的直角三角形和1个边长为c的正方形部分组成的，因此有ab×4+c2＝2ab+c2，所以有a2+b2+2ab＝2ab+c2，即a2+b2＝c2；②由题意可得，ab＝6，a+b＝7，即ab＝12，a+b＝7，∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25，∴c＝＝5，即中间正方形的边长为5．3．（2022春•玄武区校级期中）如图①，有边长为a与边长为b的两种正方形纸片．（1）将两种正方形纸片各一张如图②放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图②中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图③），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．①用含a，b的代数式分别表示S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab．②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值；（2）将两种正方形纸片各一张按图④的方式放置在一个边长为m的正方形桌面上（a+b＞m），若两个正方形叠合部分（阴影）的面积为S3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（点状阴影）的面积为S4，求S3﹣S4（结果用含a，b，m的代数式表示）．【分析】（1）根据矩形的面积公式计算；（2）先利用矩形的面积公式分别求出S1，S2，再代入计算．【解答】解：（1）①S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab，故答案为：a2﹣b2，2b2﹣ab；②S1+S2＝（a2﹣b2）+（2b2﹣ab）＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣45＝55；（2）S3＝（a+b﹣m）2＝a2+b2+m2+2ab﹣2am﹣2bm，S4＝（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣am﹣bm+ab，S3﹣S4＝（a2+b2+m2+2ab﹣2am﹣2bm）﹣（m2﹣am﹣bm+ab）＝a2+b2+m2+2ab﹣2am﹣2bm﹣m2+am+bm﹣ab＝a2+b2+ab﹣am﹣bm．4．（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是7；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．【分析】（1）一方面中间部分是边长为a﹣b的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面中间部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积，最后由两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据（1）中的等式，并将已知等式代入可解答；（3）大长方形的面积等于它的长乘以它的宽．同时，它的面积还等于3个小正方形与1个大正方形和4个小长方形的面积之和．这样就可以得出所求的等式；（4）根据已知可得：x+y＝8，x﹣y＝2，解方程组可得x和y的值，最后根据三角形的面积和可得结论．【解答】解：（1）方法一：中间部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，方法二：中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab；∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣4×＝7，故答案为：7；（3）分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，∴x﹣y＝2①，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴34﹣2xy＝4，∴xy＝15，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，∴x+y＝8②，①+②得：x＝5，∴y＝3，图中阴影部分面积和＝S△DFC+S△BEF＝•x（x﹣y）+•y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．5．（2022春•常州期中）如图，将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：（1）分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；（2）若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．【分析】（1）根据题意可求长方形的宽为3，长为2a+3，再由长方形的周长和面积公式求解；（2）先求出所得的长方形的长为2a﹣1，宽为7，再由题意列出方程14a﹣7＝6a+9，求出a的值即可．【解答】解：（1）∵大正方形的边长为a+3，小正方形的边长为a，∴长方形的宽为3，长为a+3+a＝2a+3，∴长方形的周长为2（3+2a+3）＝12+4a，长方形的面积为3（2a+3）＝6a+9；（2）∵将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，∴所得的长方形的长为2a+3﹣4＝2a﹣1，宽为3+4＝7，∴新长方形的面积＝7（2a﹣1）＝14a﹣7，∵所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，∴14a﹣7＝6a+9，解得a＝2．6．（2022春•钟楼区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．（1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请设计一个图形说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（画出示意图，并标上字母）（2）如图2，两个直角边长分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）（3）根据（2）中的结论回答，当a＝4，b＝3时，c的值为5．【分析】（1）根据正方形的面积画图；（2）根据梯形的面积的两种计算方法得出等式，再化简；（3）代入（2）中的等式计算．【解答】解：（1）图形如下：（2）梯形的面积为：（a+b）2＝（2+2ab+b2）＝a2+ab+b2，梯形的面积也可以表示为：ab+c2，∴a2+ab+b2＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；（3）由（2）得：c＝＝5，故答案为：5．7．（2022春•相城区校级期中）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．【分析】（1）设x+2＝a，x﹣7＝b，从而可得ab＝6，a﹣b＝9，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式得（x﹣1）（x﹣3）＝35，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积等于阴影部分的面积，再仿照（1）的思路、结合平方差公式求解即可．【解答】解：（1）设x+2＝a，x﹣7＝b，则a﹣b＝（x+2）﹣（x﹣7）＝9，∵（x+2）（x﹣7）＝6，∴ab＝6，∴（x+2）2+（x﹣7）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝92+2×6＝93．（2）根据题意得：MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则MF＝DE＝m，DF＝n，m﹣n＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴长方形EMFD的面积＝DE⋅DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝35，∵（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×35＝144，∴m+n＝12或m+n＝﹣12＜0（不符题意，舍去），阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形DFGH的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝m2﹣n2＝（m+n）•（m﹣n）＝12×2＝24．∴阴影部分的面积为24．8．（2022春•惠山区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝10；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．【分析】（1）用两种方法分别表示图形中阴影部分的面积，可得答案；（2）设5﹣x＝m，x﹣1＝n，则m+n＝4，mn＝（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求出m2+n2即可；（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝10，p2+q2＝S1+S2＝72，根据（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，求出pq即可．【解答】解：（1）图1是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，图1也可以看作是四个部分的面积和，即a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2中阴影部分是边长为（a﹣b）正方形，所以面积为（a﹣b）2，图2阴影部分的面积也可以看作从大正方形面积减去空白部分的面积，即a2﹣2ab+b2，因此（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3左图阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），右图阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）设5﹣x＝m，x﹣1＝n，则m+n＝4，mn＝（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，所以（5﹣x）2+（x﹣1）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝16﹣6＝10，故答案为：10；（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝10，p2+q2＝S1+S2＝72，∵（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，即100﹣2pq＝72，∴2pq＝100﹣72＝28，∴pq＝7，即阴影部分的面积为7．9．（2022春•海州区校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝5；【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．【分析】【问题发现】根据正方形面积的不同算法求解；【类比探究】先把完全个平方公式变形，再整体代入求解；【拓展延伸】利用完全平方公式变形，再整体代入求解．【解答】解：【问题发现】根据面积的不同算法得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】令a＝11﹣x，b＝x﹣8，∴a+b＝3，ab＝2，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5，故答案为：5；【拓展延伸】由题意得：AC+CG＝7，AC2+CG2＝25，则2AC•BC＝2AC•CG＝（AC+CG）2﹣（AC2+CG2）＝49﹣25＝24，∴阴影部分的面积为：AC•BC＝6．10．（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解；（2）利用完全平方公式的变形，结合引入新参数简化计算；（3）理解题意，转化问题，再利用完全平方公式的变形求解．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，∴xy＝12．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以阴影部分的面积和为500平方米．11．（2022春•东海县期末）完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．如：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解题思路：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，可设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（1）请仿照上面的方法求解下面问题：①若x满足（6﹣x）（x﹣2）＝2，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值；②若x满足（6+x）（2+x）＝5，求（6+x）2+（2+x）2的值；（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）仿照题中方法，依据完全平方公式进行变式，再整体代入求解；（2）理解题意，把题中问题转化为（1）中的模式求解．【解答】解：（1）①设a＝6﹣x，b＝x﹣2，则（6﹣x）+（x﹣2）＝a+b＝4，∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12；②设a＝6+x，b＝2+x，则（6+x）﹣（2+x）＝a﹣b＝4，∴（6+x）2+（2+x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝16+10＝26；（2）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝8，∴m+n＝8，又∵S1+S2＝34，∴m2+n2＝34，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴82＝34+2mn，∴mn＝15，∴S阴影部分＝0.5mn＝0.5×25＝7.5，所以阴影部分的面积为7.5．12．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：a2﹣b2；图②阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b）；（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．【分析】（1）由正方形、长方形面积的计算方法以及拼图中面积之间的关系得出答案；（2）由图①、图②阴影部分的面积相等可得答案；（3）利用（2）中的结论进行计算即可．【解答】解：（1）图①的阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②的长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图①、图②阴影部分的面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）由（2）得，542.72﹣457.32＝（542.7+457.3）×（542.7﹣457.3）＝1000×85.4＝85400．13．（2022春•南京期中）如图①是由边长为a的大正方形纸片减去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把该纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②），验证了公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．请你通过对纸片的剪拼，在图③、图④上画出两种不同拼法的示意图．要求：①与以上方法不能相同；②拼成的图形是四边形；③在图上画剪切线（用虚线表示）；④在拼出的图形上标出已知的边长．拼法一：拼法二：【分析】拼法一：得到等腰梯形；拼法二：得到平行四边形．【解答】解：拼法一：如图所示，拼法二：如图所示，14．（2022春•大丰区校级月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是A；（请选择正确的选项）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你选的等式进行简便计算：1012﹣2×992+972；（3）用你选的等式进行简便计算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．【分析】（1）利用拼图前后面积之间的关系，用代数式表示各个部分的面积即可；（2）将原式化为（1012﹣992）+（972﹣992），再利用平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积为这两个正方形的面积差，即a2﹣b2，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，将剩余部分拼成长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：A；（2）原式＝1012﹣992﹣992+972＝（1012﹣992）+（972﹣992）＝（101+99）（101﹣99）+（97+99）（97﹣99）＝400﹣392＝8；（3）原式＝（20222﹣20212）+（20202﹣20192）+（20182﹣20172）+…+（19522﹣19512）+（19502﹣19492）＝（2022+2021）（2022﹣2021）+（2020+2019）（2020﹣2019）+（2018+2017）（2018﹣2017）+…+（1950+1949）（1950﹣1949）＝2022+2021+2020+2019+2018+2017+…+1950+1949＝146927．15．（2023春•滨湖区期中）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．（1）设图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，请直接用含有a、b的代数式表示，则S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）请你利用（2）中的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．【分析】（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，图2阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，由面积公式得出答案；（2）由（1）中两个图形中阴影部分面积相等可得答案；（3）配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式即可．【解答】解：（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图2阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中两个图形中阴影部分面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（28+1）（28+1）（216+1）+1＝（216﹣1）（216+1）+1＝232﹣1+1＝232．16．（2022春•亭湖区校级月考）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用字母表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为6；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；（2）由图1、图2阴影部分的面积相等得出答案；【应用】根据平方差公式计算即可；【拓展】①配上因式（2﹣1），利用平方差公式求出结果，再根据2n的个位数字出现的规律进行判断即可；②利用加法的交换律和平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即：a2﹣b2，图2的长是a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；【应用】（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2；【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……而64÷4＝16，∴264的个位数字为6，故答案为：6；【拓展】原式＝（2002﹣1992）+（1982﹣1972）+…+（42﹣32）（22﹣12）＝（200+199）+（198+197）+…+（4+3）（2+1）＝200+199+198+197+…+4+3+2+1＝＝20100．17．（2022春•亭湖区校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）①利用平方差公式，将4a2﹣b2＝24，写成（2a+b）（2a﹣b）＝24，再整体代入计算即可；②根据平方差公式将原式化为，也就是××××××…××即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．18．（2022春•大丰区校级月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；如图2，阴影部分的面积是a2﹣b2；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【分析】（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，进而得出答案；（2）①将103写成（100+3），将97写成（100﹣3），利用平方差公式进行计算即可；②将y﹣3看成一个整体，利用平方差公式得出答案．【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．19．（2022春•高新区月考）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是A；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．（2）利用（1）中得到的平方差公式计算．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选A．（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．∴6（2a﹣b）＝24，∴2a﹣b＝24÷6＝4．故答案为：4．②＝＝＝＝．20．（2023春•射阳县校级月考）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为3．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；【应用】（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．21．（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）根据拼图中各个部分之间的关系可得答案；（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，可根据正方形的面积公式得出答案，再根据阴影部分与拼图中各个部分之间的关系得出答案；（3）由（2）可得关系式；（4）根据（3）中的结论，进行计算即可．【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n，故答案为：m﹣n；（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）∵a+b＝8，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣20＝44．22．（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝12；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为216平方单位．【分析】（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，由已知可得（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，则a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，即2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可得出答案；（2）设x﹣2022＝a，x﹣2018＝b，由已知可得（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝202，即a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2018）＝﹣4，即（x﹣2022）（x﹣2018）＝ab，由完全平方公式的变式可得﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]，带入计算即可得出答案；（3）根据题意可得CF＝CD﹣DF＝16﹣x，CE＝BC﹣BE＝12﹣x，由长方形CEPF的面积为100平方单位（16﹣x）（12﹣x）＝100，可设16﹣x＝a，12﹣x＝b，则（16﹣x）（12﹣x）＝ab＝100，a﹣b＝（16﹣x）﹣（12﹣x）＝4，阴影部分面积等于两个正方形的面积和可得S阴＝（16﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b²，根据完全平方公式的变式可得（a﹣b）2+2ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案为：12；（2）设x﹣2022＝a，x﹣2018＝b，则（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝202，a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2018）＝﹣4，（x﹣2022）（x﹣2018）＝ab＝﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝[（﹣4）2﹣202]＝93；（3）根据题意可得，CF＝CD﹣DF＝16﹣x，CE＝BC﹣BE＝12﹣x，（16﹣x）（12﹣x）＝100，设16﹣x＝a，12﹣x＝b，则（16﹣x）（12﹣x）＝ab＝100，a﹣b＝（16﹣x）﹣（12﹣x）＝4，S阴＝（16﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×100＝216．图中阴影部分的面积和为216平方单位．故答案为：216．23．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．【分析】（1）根据题意可得，阴影部分的正方形的边长为a﹣b，计算即可得出答案；（2）根据题意可得，边长为a+b的正方形面积等于4个长为a宽为b的长方形面积加上边长为a﹣b的正方形面积，计算即可得出答案；（3）设AC＝a，BC＝b，则a+b＝8，a²+b²＝24，根据题意可得，阴影部分的面积S阴＝ab即可得出[（a+b）²﹣（a²+b²，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，阴影部分的正方形的周长为4（a﹣b）；（2）根据题意可得，（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；（3）设AC＝a，BC＝b，则a+b＝8，a²+b²＝24，根据题意可得，S阴＝ab＝[（a+b）²﹣（a²+b²）]＝×（82﹣24）＝10．24．（2022秋•晋安区校级月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96；（2）若x满足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80平方单位，则图中阴影部分的面积和为176平方单位．【分析】（1）根据题意可设30﹣x＝a，x﹣40＝b，则可得（50﹣x）（x﹣40）＝ab＝2，即可得出a+b＝30﹣x+x﹣40＝﹣10，由（50﹣x）2+（x﹣40）2＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab代入计算即可得出答案；（2）根据题意可设x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，则可得（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝a²+b²＝2000，即可得出a﹣b＝（x﹣2021）﹣（x﹣2018）＝﹣3；由（x﹣2021）（x﹣2018）＝ab＝﹣[（a﹣b）²﹣（a²+b²）]代入计算即可得出答案；（3）根据题意，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝10﹣x，则长方形CEPF的面积为80平方单位（6﹣x）（10﹣x）＝80，设10﹣x＝a，6﹣x＝b，即可得出（6﹣x）（10﹣x）＝ab＝80，a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4，根据阴影部分的面积为边长为10﹣x和边长为6﹣x的正方形面积和，即S阴＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）设30﹣x＝a，x﹣40＝b，则（50﹣x）（x﹣40）＝ab＝2，a+b＝30﹣x+x﹣40＝﹣10，∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝（﹣10）²﹣2×2＝96；故答案为：96；（2）设x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，则（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝a²+b²＝2000，a﹣b＝（x﹣2021）﹣（x﹣2018）＝﹣3；∴（x﹣2021）（x﹣2018）＝ab＝﹣[（a﹣b）²﹣（a²+b²）]＝﹣[（﹣3）²﹣2000]＝；（3）根据题意可得，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝10﹣x，根据（6﹣x）（10﹣x）＝80，设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则（6﹣x）（10﹣x）＝ab＝80，a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4，即S阴＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×80＝176．故答案为：176．25．（2022秋•芙蓉区校级月考）利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请你解答下面的问题：（1）填空：（2a+3）2＝4a2+ka+9，则k＝12；（5x+m）2＝25x2+10x+n，则m＝1，n＝1；（2）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：（a+b）（2a+b）＝2a²+3ab+b²；（3）利用上述拼图的方法计算：（2a+b）（a+3b）＝2a²+7ab+3b²．【分析】（1）根据两个代数式相等，则对应项的系数相等求解；（2）根据矩形的面积的不同算法得出结论；（3）根据矩形的一边长是（2a+b），另一边是（a+3b）画图求解．【解答】解：∵（2a+3）²＝4a²+12a+9＝4a²+ka+9，∴k＝12，∵（5x+m）²＝25x²+10xm+m²＝25x²+10x+n，∴10m＝10，n＝m²，解得：m＝n＝1；故答案为：12；1，1；（2）（a+b）（2a+b）＝2a²+3ab+b²，故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a²+3ab+b²；（3）如图得：（2a+b）（a+3b）＝2a²+7ab+3b²，故答案为：2a²+7ab+3b²．26．（2023秋•南宁期末）【阅读理解】若x满足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值．解：设45﹣x＝a，x﹣15＝b，则（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200，a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30，（45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（20﹣x）（x﹣5）＝50，则（20﹣x）2+（x﹣5）2＝125；（2）若x满足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，点E，F是BC，CD上的点，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为60cm2，求图中阴影部分的面积和．【分析】（1）根据阅读材料的方法，设20﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝50，而a+b＝15，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；（2）设2022﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝244，而a+b＝22，最后根据完全平方公式，即可求解；（3）设CF＝a，BC＝b，根据长方形CBQF的面积为60cm2，列方程同理可得结论．【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设20﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝50，而a+