2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）数列{an}满足an+1，a1＝3，则a2021＝（）A． B． C． D．32．（5分）直线xcosαy+2＝0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，]3．（5分）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（）A． B． C． D．4．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝14，，则a5＝（）A．2 B． C．4 D．5．（5分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝（）A． B．1 C． D．26．（5分）若M，N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45° B．60° C．90° D．120°7．（5分）在平面直角坐标系中，定义|x|+|y|称为点P（x，y）的“δ和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点P（x，y）的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P是直线2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则点P（x，y）的“δ和”的最小值为2；（3）设P是直线ax﹣y+b＝0上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是a＝1；（4）设P是椭圆x21上任意一点，则“δ和”的最大值为．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）8．（5分）若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，） B．[﹣2，） C．[﹣2，） D．[﹣1，）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）A． B． C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列 B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列 C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列 D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列（多选）11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆 C．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k（x+c）（k∈R）过左焦点F1与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（）A．若存在△ABF2，则△ABF2的周长为4a B．若AB的中点为M，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设点M在直线x+y﹣1＝0上，⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），则⊙M的半径为．14．（5分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{an}是“和差等比数列”，a1＝2，a2＝3，则使得不等式an＞10的n的最小值是．15．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为．16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直，当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的最小值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．18．（12分）甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个．现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：直径误差（mm）﹣0.3﹣0.2﹣0.10+0.1+0.2+0.3从甲加工的钢球中抽到的个数26820563从乙加工的钢球中抽到的个数14724662（1）估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为﹣0.2mm的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；（3）你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由．19．（12分）已知双曲线C的焦点F（2，0）和离心率e．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围．20．（12分）已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项积为n!．（n!＝1×2×3×…×n）（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn＝anbn，求数列的前n项和．21．（12分）图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且，如图2．（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；（2）在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段AB的中点为M，当△AOB面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使|GM|+|HM|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）数列{an}满足an+1，a1＝3，则a2021＝（）A． B． C． D．3【解答】解：由题意，可得an+1，则a2，a3，a43，•••∴数列{an}是以3为最小正周期的周期数列，∵2021÷3＝673••••••2，∴a2021＝a2．故选：A．2．（5分）直线xcosαy+2＝0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，]【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθcosα．又﹣1≤cosα≤1，∴tanθ．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：B．3．（5分）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（）A． B． C． D．【解答】解：双曲线，得，它的焦点（0，±），由短半轴长为，得b＝2，a，∴所求椭圆方程为：．故选：B．4．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝14，，则a5＝（）A．2 B． C．4 D．【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若S3＝14，，则q≠1，则有1+q3，解可得q，又由S3＝14，即S3＝a1+a2+a3a1＝14，解可得a1＝8，则a5＝a1q4＝8，故选：B．5．（5分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝（）A． B．1 C． D．2【解答】解：由题意知的方程为，代入C的方程，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则；因为，且|FA|⋅|FB|＝3，所以，整理得，所以，结合p＞0，解得．故选：C．6．（5分）若M，N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45° B．60° C．90° D．120°【解答】解：如图，PA，PB为两切线，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个点，所以∠MPN≤∠APB当PM，PN为两切线是取等号；又∠APB＝2∠APC，故只需求（sin∠APC）max，，又，，∴，∴．故选：B．7．（5分）在平面直角坐标系中，定义|x|+|y|称为点P（x，y）的“δ和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点P（x，y）的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P是直线2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则点P（x，y）的“δ和”的最小值为2；（3）设P是直线ax﹣y+b＝0上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是a＝1；（4）设P是椭圆x21上任意一点，则“δ和”的最大值为．其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【解答】解：（1）由“δ和”的定义得：|x|+|y|＝1，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于2，故（1）正确；（2）∵点P是直线：2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则y＝﹣2x﹣4，|x|+|y|＝|x|+|2x﹣4|，可知x≤0，0＜x＜2时递减，x≥2时递增，故|x|+|y|的最小值在x＝2时取得，（|x|+|y|）min＝2，故（2）正确；（3）同（2），|x|+|y|＝|x|+|ax+b|，可知当a＝±1时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故（3）错误；（4）可设椭圆参数方程为，|x|+|y|＝|cosθ|+|sinθ|，易知其最大值为，故（4）正确．故选：B．8．（5分）若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，） B．[﹣2，） C．[﹣2，） D．[﹣1，）【解答】解：∵an＜bn对任意n∈N*恒成立，∴当n为偶数时，可得a＜2，解得．当n为奇数时，可得﹣a＜2，解得．∴a≥﹣2．∴．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）A． B． C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，∴，，A正确，B正确；∵事件A与事件B可以同时发生，∴事件A与事件B不互斥，C错误；∵事件A的发生不影响事件B的发生，∴事件A与事件B相互独立，D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列 B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列 C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列 D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，若c≠0，则数列{an}从第二项起为等差数列，故A不正确；对于B，若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，可得a1＝4﹣2＝2，a2＝S2﹣S1＝8﹣2﹣2＝4，a3＝S3﹣S2＝16﹣2﹣6＝8，则a1，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B不正确；对于C，数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，即为a1+a2+…+an，an+1+…+a2n，a2n+1+…+a3n，…，即为S2n﹣Sn﹣Sn＝S3n﹣S2n﹣S2n﹣Sn＝n2d为常数，仍为等差数列，故C正确；对于D，数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，比如公比q＝﹣1，n为偶数，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，均为0，不为等比数列．故D不正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆 C．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线【解答】解：A中，记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，易知PQ∥DN，且PQDN，如图，若MN＝2，则DN，则PQ，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积S＝πR2，故A不正确；B中，若MN与平面ABCD所成的角为，是以MN为母线的圆锥，则N的轨迹为圆，故B正确；C中，点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；D中，过点N向AD作垂线，垂足为R，易知NR∥AB，所以∠RND1＝60°，所以D1N＝2NR，在平面ABCD中，以DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，则2|y|，整理得，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k（x+c）（k∈R）过左焦点F1与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（）A．若存在△ABF2，则△ABF2的周长为4a B．若AB的中点为M，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率【解答】解：A中，由题意可得△ABF2的周长为4a，所以A正确；B中，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得AB的中点M（，），A，B的坐标代入椭圆方程可得，作差可得，所以•，即kOM•kAB，所以B不正确；C中，设A（x1，y1），可得1，可得•（﹣c﹣x1，﹣y1）•（c﹣x1，﹣y1）＝x12﹣c2+y12＝x12+b2（1）+c2x12+a2﹣2c2∈[a2﹣2c2，a2﹣c2]，所以a2﹣2c2≤3c2≤a2﹣c2，可得e∈[，]，所以C正确；D中，|AB|的最小值为通径，由题意可得c，即2（a2﹣c2）﹣ac＝0，整理可得：a＝2c或ac（舍），可得椭圆的离心率为：e，所以D不正确；故选：AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设点M在直线x+y﹣1＝0上，⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），则⊙M的半径为5或1．【解答】解：由点M在直线x+y﹣1＝0上，设M（a，1﹣a）．又⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），∴半径，且a＜0．解得a＝﹣1或a＝﹣5．则⊙M的半径为1或5．故答案为：1或5．14．（5分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{an}是“和差等比数列”，a1＝2，a2＝3，则使得不等式an＞10的n的最小值是5．【解答】解：依题意，，，解得，，解得，，解得，所以使得不等式an＞10的n的最小值是5．故答案为：5．15．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为．【解答】解：因为（x﹣2）2+y2＝9与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），又圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，所以a＝1，c＝5，因为P为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，即|PF1|＝|PF2|+2，令t＝|PF2|∈[4，+∞），则，因为y在[4，+∞）上为增函数，所以，所以，所以，即．故答案为：．16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直，当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的最小值是．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：1是最大值．当P在C1点时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：1是最大值．当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图：此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE，AC，EF，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：是最小值．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设点A（x0，y0）、M（x，y），由题意可得，即，可得，因为点A在圆C上，所以，即（）2+（）2＝4，化简可得（x）2+（y﹣1）2，故点M的轨迹方程为（x）2+（y﹣1）2．（2）由（1）得点M的轨迹方程为（x）2+（y﹣1）2，此圆圆心坐标为（，1），半径为，由直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，可得，解之得k，则实数k的取值范围为k∈（﹣∞，）．18．（12分）甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个．现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：直径误差（mm）﹣0.3﹣0.2﹣0.10+0.1+0.2+0.3从甲加工的钢球中抽到的个数26820563从乙加工的钢球中抽到的个数14724662（1）估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为﹣0.2mm的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；（3）你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由．【解答】解：（1）由题意知，加工直径误差不超过±0.1mm的钢球中，甲：396个，乙：666个，所以这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球一共有396+666＝1062个；（2）甲、乙加工钢球的总数之比为600：900＝2：3，所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A，B，，乙占3个，记为a，b，c，从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10个，则全是乙加工的基本事件为：ab，ac，bc，共3个；所以所求概率为P；（3）乙加工的钢球更符合标准．理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，20＜24；甲生产的钢球中误差达到±0.3的个数较多．19．（12分）已知双曲线C的焦点F（2，0）和离心率e．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为：1，（a＞0，b＞0）由题意可得c＝2，e，可得a，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣3＝1，所以双曲线C的方程为：y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9＝0，显然，即k2＜1，且x1+x2，x1x2，y1y2＝（kx1）（kx2）＝k2x1x2k（x1+x2）+22，因为•x1x2+y1y22，整理可得：0，即k2＜3，而k2＜1，解得：﹣1＜k或k＜1，即k的取值范围为：（﹣1，）∪（，1）．20．（12分）已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项积为n!．（n!＝1×2×3×…×n）（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn＝anbn，求数列的前n项和．【解答】解：（1）∵Sn＝2an﹣2①，∴当n＝1时，S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，由①﹣②得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n；（2）由（1）得an＝2n，∵数列{bn}的前n项积为n!，记数列{bn}的前n项积为Tn，∴Tn＝n!，当n＝1时，b1＝T1＝