动能定理与机械能守恒律

第二讲质点组动力学

质点组的单粒子运动和集体运动

基本概念动量定理与动量守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律动能定理与机械能守恒定律两体问题质心坐标系与实验坐标系变质量物体的运动第二讲质点组力学一、质点组的质心质点组{m1,m2,m3,…….,mN}：对质点组内各质点求和，得：（II－1）（II－2）定义：质心：（II－3）动量定理与动量守恒律（II－4）质心运动方程：质心的运动宛如质点组的全部质量集中于质心上，而全部外力都作用于质心。这是一种带权重的平均值，是权重。分量式是连续性物体质心要用重积分定义为常数的物体，质心就是几何中心。总动量也就是质心动量质心运动定理此方程表示质心组质心的运动，就像一个单个质点的运动，这个质点的质量相当于质点组的总质量，而作用于这个质点的力等于作用在质点组的总外力，这样虽然不能求出每个质点的运动，但是质心运动是能知道的。动量定理个质点组成的质点组的合力为牛顿第二定律，对质点

这样的方程共有个，由于内力通常未知，这个方程组无法解。由于牛顿第二定律，得但是，把这个方程加起来得到是质点组的动量矢量和，所以

分量式是注意这不是讲没有外力，而是指外力之和为零。对质点组，由于外力作用在不同质点上，使外力之和为零，同时每个质点也可能有加速度，即使这样也不影响结果。这意味①质点组总动量守恒，②质点组质心作惯性运动——质点组的动量守恒律同样如作用在质点组的诸外力之和不为零，但它们在某一轴的投影之和为零。这样我们有结论：内力虽然可以使质点组中个别质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量之和，也不能改变质心的速度。如，沿水平方向发射的大炮，炮弹和炮身构成质点组，火药爆炸是内力，发射前总动量分量发射后，也必为零，故炮弹向前，要求炮身反冲，来平衡内力改变炮弹

炮身的动量，但总动量不变。

常数恒矢量动量守恒定律如果质点组只在内力作用下运动，则动量定理与动量守恒律动量矩定理与动量矩守恒律动能定理与机械能守恒律二、质点组运动的分解质心坐标系：当质心静止或作匀速直线运动时，以质心为坐标原点的坐标系为惯性系，称为质心坐标系。在地面坐标系的质心的位矢为，质点i的位矢为在质心坐标系中，质点i的位矢为,则有质点组平移运动动能：在没有外势的情形下，质点组的总能量是系统的总能量，定义为：（II－5）O质心i（II－6）1.克尼希定理(Königtheorem)动能定理与机械能守恒律质心相对于O-xyz平动1.克尼希定理(Königtheorem)克尼希定理表明，质点系对惯性系的动能等于质点系对质心系的动能与质心对惯性系的动能之和。（II－7）动能由两项组成：①质点组全部质量集中在质心上时，运动的动能——质心的动能。②在质心系中各质点的动能——相对质心系的动能。这就是柯尼希定理。注意此定理只对质心系成立，对别的点就不成立了。单个质点在力场中运动，合力作的元功为：质点从位置1

位置2，合力作的总功一质点在力场中运动，各质点所受合力的元功的总和即为质点系作的元功，为：积分得：微分形式的动能定理（II－8）积分形式的动能定理:有限路程中质系动能的改变量等于作用在质系上所有力在该路程上的有限功之和

（II－9）无限小位移中动能的微分等于作用在质系上所有力的元功之和

2.质点组的动能定理注意在动量定理，内力的作用能相互抵消，但在动能定理中，内力是不能消去的，这是由于一切内力做功和不为零。变化，内力就做功，的方向永远与方向共线，故能使质点组不受外力，但动能并不守恒，这是因为内力做功不为零。若外力为保守力，故：积分后得：内力的功为：（II－10）（II－11）（II－12）如果质点组所受得内力、外力都是保守力，则质点组动能、内势能和外势能得总和在运动中保持不变——机械能守恒一般而言，内势能不为零，且随时间变化，即：质点组运动时，内力的总功并不为零。3.机械能守恒4.对质心系的动能定理由运动方程出发，非惯性系给出对第个质点质点组在质心系中，总动能的变化等于作用在质点组的外、内力做的元功之和。质心系动能定理形式上与惯性系相同，惯性力不起作用，可把质心系当成惯性系来用。三.质点组转动质点组的总角动量：为各质点角动量之和：（II－13）（II－14）质心绕地面参照系坐标原点O转动时的角动量质点组相对质心的总角动量质点组对定点O的角动量可被分解为质心的角动量和相对于质心运动的角动量两部分动量矩定理与动量矩守恒律由(II-13)式两边对时间求一阶导数：质点组总角动量的改变总是由外力矩引起的，与将运动分解成质心部分及相对质心运动部分无关。（II－15）对固定点的动量矩定理这就是质点组的动量矩定理。分量表示常数动量矩守恒定律如所有的作用在质点组上的外力对某一固定点O的力矩为零，则恒矢量同样，虽力矩之和不为零，但对通过质点O的某一坐标轴的力矩为零有两个坐标系：随C而平动。系中讲质点的方程，非惯性系(但是特殊的)对质心的动量矩定理在内力矩互相抵消是质心到质点的位矢

系看质心相对C的位矢这样或是诸外力对质心的力矩之和。这是质点组对质心的动量矩定理，跟固定点的动量矩定理的形式一样，惯性力不起作用，也就是对系是非惯性系，动量矩定理也成立。但是必须注意，这只是对质心而言才对，不是对任何质点。都对但对质心，可以放心用动量矩定理。质点组对质心动量矩作业1：在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为r。两个质量分别为m的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面。假设滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多久时间，两人可以同时到达？四、二体系统在中心力的作用下，可将二体系统问题化为等效的单体问题，即两个质点的运动形式上等同于一个等效质量的质点在中心力场中的运动。设两质点m1,m2间的相互作用仅依赖于两质点的相对位置坐标zxym1m2O运动方程：为约化质量一般说来,r的运动并不是与Rc

无关。如果二质点不受外力，或所受外力为万有引力等，有：则：与质量为m的质点在力心处于r＝0的力场中的运动方程一致，成为有心力场中的单质点运动。如果为有心力：耦合摆——由弹簧连接两个单摆的装置假定摆只作水平的简谐振动y1－第一个摆在水平方向偏离平衡位置的位移y2－第二个摆在水平方向偏离平衡位置的位移则：令：K=mg/l,则:二振子耦合系统可按(II-18a)方式作集体振动，以w作同频振动或按(II-18b)方式作集体振动，以作异步振动耦合振子三弹簧耦合振子系统，外侧两弹簧弹性系数为K，中间弹簧弹性系数为k运动方程：（II－17a）（II－17b）解得：（II－18a）（II－18b）振子的通解为两种集体振动模式的叠加：五、一维质点组固体中原子振动的模型——一维原子链模型：

N>>1的原子构成一维链，原子间隙为a，原子间相互作用以一个弹性系数为k的弹簧代替采用循环边界条件：链端的原子连接成一个一维闭合环第n个原子相对于其平衡位置的位移为作用于其上的力包括：左边弹簧产生的向左的拉(或斥)力右边弹簧产生的向右压缩(或拉伸)的力运动方程：M为原子质量设其解：代入(II-16)式，得：一维单原子链中原子的最高振动频率的关系称为色散关系一维原子链中所有的原子都参与频率为w的振动－集体振动或简正振动，每个原子不是独立的谐振子根据循环边界条件，有：要求：P为正整数λ为波长，在原子链中，要求波长故P只有N种取值范围，简正振动的独立模式正好等于原子的数目N作业2：

一长为2a，质量可以忽略的轻杆，两端各有一个质量为m的小球，O为一固定轴，杆的中点O与固定轴相连，并可绕该轴以匀角速度w旋转，杆与轴相交为q角，试求以两小球组成的质点组相对于固定点O的角动量，所受的力矩以及可能的守恒量。（忽略重力作用）作业3：一半径R的水平圆盘M可绕