第一章高等数学（十九）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第二节可降阶微分方程1.形如的微分方程这种方程求解异常容易，只要对方程右端的函数积分次则可【例题9-10】微分方程的通解是：（为随意常数）(A)(B)(C)(D)解：对两边积分两次，可得，故应选(B).2.形如的二阶微分方程，该方程中不显含变量求解主意是：先做变量替换，从而，将原二阶方程化为变量和的一阶微分方程，解这个一阶方程得到通解。再将代入，又是一个变量和一阶微分方程，解这个方程，就可得原方程的通解。【例题9-11】微分方程的通解是：（为随意常数）(A)(B)(C)(D)解：这是不显含的可降阶微分方程，令，则代入原方程，得，用分离变量法求解得，，两边积分，可得,故应选(D).第三节二阶线性微分方程形如的方程叫做二阶线性方程。当时，叫做二阶齐次线性方程；当时，叫做二阶非齐次线性方程。1.二阶线性微分方程解的性质（1）若、为齐次方程的随意两个解，则（、为随意常数）也是齐次方程的解。（2)若、为非齐次方程的随意两个解，则是对应齐次方程的解。（3）若、为非齐次方程的解，则当时，也是非齐次方程的解。2.二阶线性微分方程解的结构（1）二阶齐次线性方程通解结构：若、是齐次方程的两个线性无关特解，则齐次线性方程的通解为（为随意常数）（2）二阶非齐次线性方程的通解结构：若是非齐次方程的一个特解，是对应齐次方程的通解，则非齐次线性方程的通解为3.二阶常系数齐次线性方程解的求法二阶常系数齐次线性方程（为随意常数）的特征方程为求解特征方程得两个根、。1）若特征方程有两个不相等实根、，则微分方程通解为2）若特征方程有两个相等实根=，则微分方程通解为3）特征方程有共轭复根，则微分方程通解为【例题9-12】微分方程的两个线性无关的特解是：A.B.C.D.解析：所给微分方程的特征方程为，特征根为，所以两个线性无关的特解是。答案：D【例题9-13】微分方程的通解是：(A)(B)(C)(D)解：这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为，故应选(D)。【例题9-14】若，则它们满意的微分方程为（A）（B）（C）（D）解:由是微分方程的解知，是特征方程的二重根，特征方程为,准确答案是D。4.二阶常系数非齐次线性方程解的求法因为非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次的一个特解，故求非齐次通解的关键是能否求出他的一个特解。对于方程右端的不同的函数，求特解的主意是不同的，这里重点推荐当（是次多项式）时，非齐次方程特解的求法。第一步：求特征方程的根，得、第二步：写出特解的形式。倘若不是特征方程的根，则（是系数待定的次多项式）；倘若是特征方程的单根，则；倘若是特征方程的重根，则。第三步：将的形式代入方程，要求两边相等，决定的系数，从而得到特解。【例题9-15】微分方程的待定特解的形式是：(A)(B)(C)(D)解：特征方程为，解得特征根为和。因为方程右端中是特征方程的单根，而是一次多项式，故所给微分方程的待定特解的形式应为，应选A。课后练习：微分方程满意初始条件的特解是：(A)(B)(C)