数学-专项05 根式中的规律性探究与证明（原版）

专题05根式中的规律性探究与证明【例题讲解】探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：，；故答案为：，（2）通过上述探究你能猜测出，验证如下：.故答案为：；

【综合解答】1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（

）A． B． C． D．2．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（

）A． B． C． D．3．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(

)A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共0分)4．通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．5．观察下列等式：，，…请将你发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：_____．7．观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是__________.8．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则______．9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为________．

10．观察下列各式：当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．11．设，求不超过的最大整数______．12．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．三、解答题(共0分)13．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：①=_________，=_________．②=_________，=_________．③=_________，=_________．（2）根据上述规律写出与的关系是_________；（3）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；

，（是的面积）；，（是的面积）；…(1)请你直接写出______，______；(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；15．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：

(1)求__________；(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：16．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：＝_____．(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．(3)应用运算规律：①化简：＝____；②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____．

17．观察下列各等式及验证过程：，验证；，验证；，验证．针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．18．观察下列等式，解答后面的问题．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：第4个等式：……(1)请直接写出第5个等式．(2)根据上述规律猜想第n个等式（，且n为正整数），并给予证明．19．【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式．(2)请根据上面式子的规律填空：＝．(3)利用（2）中结论计算：．20．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；

第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式：______，并证明．21．观察下列各式：①，②，③，④，…．利用你观察到的规律(1)写出，；(2)计算的值为．22．探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：