2024年高考数学优等生培优第37讲 等比数列的前n项和与第38讲 数列通项公式题型全归纳-解析版90

第37讲等比数列的前n项和等比数列的前项和公式推导过程：利用等比数列性质由等比数列定义，有.根据等比性质，有，所以当时，或.错位相减法等比数列的前项和.①当时，，；②当时，由得，，所以，所以或，即.要点诠释：错位相减法是一种非常常见和重要的舒蕾求和方法，适用于一个等差舒蕾和等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.在求等比数列前项和时，要注意区分和.当时，等比数列的两个求和公式涉及，，，，五个量，已知其中任意三个变量，通过解方程组，便可求出其余两个量.结论一、等比数列前项和（当时）变形公式（系数互为相反数）；（一次线性关系）.【例1】已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（）.A.4 B.2 C.-2 D.-4【答案】C【解析】解法一：根据题意，当时，；当时，.因为数列是等比数列，则，故，解得.故选C.解法二：由得结合等比数列前项结构特征（系数互为相反数），得，解得.故选C.【变式】设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（）. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：，，代入选项验证.故选D.解法二：根据等比数列前项和结构特征，，.故选D.结论二、项数相同的和构造等比数列等比数列的前项和为，则也成等比数列，且公比.评注：（1）第一个项和，第二个项和，……，即每项和为一段.当且为偶数时，不是等比数列.【例】2已知等比数列的前项和为，若，，则.【答案】140【解析】解法一：由，，易得公比，根据等比数列的性质，可得，即，解得，又，所以，.解法二：根据等比数列前项和的性质，可得，即，解得，所以.解法三：根据等比数列前项和的性质，可知成等比数列，则，即，解得.【变式】设等比数列前项和为，若，，则（）.A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】，，，所以成等比数列，即成等比数列可得，解得.故选C.结论三、等比数列前项和关系特征等比数列前项和为，则.【例3】设等比数列前项和为，则.，则公比.【答案】【解析】根据等比数列求和公式得，代入得，所以，化简整理得解得.【变式】等比数列前项和为，已知成等比数列，则等比数列的公比为.【答案】【解析】设等比数列公比为，易知.由题意可得，所以①；又根据等比数列分段求和公式得②；由4②-①得.又，所以，解得.结论四、等比数列奇数项和与偶数项和性质在等比数列中，当项数为偶数2时，；当项数为奇数时，或，.【例4】一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，求此数列的公比和项数.【解析】由题意知，.因为，所以.【变式】等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项的值为（）.【答案】C【解析】设等比数列共有项，则，则，，代入，解得.故选C.结论五、等比数列前项积的运算技巧设等比数列前项积，则，……，成等比数列.当为奇数时，；当为偶数时，.【例5】已知等比数列满足，且，则当时，（）. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，原式.故选C.【变式】设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项积，且，，则下列结论错误的是（）. B. C. D.与均为的最大值【答案】C【解析】设等比数列，是其前项积，所以，由，，，所以，所以B选项正确；因为所以，所以，所以A正确；，可知，又，所以单调递减，在或时取最小值，所以在或时取最大值，所以D选项正确.故选C.第38讲数列通项公式题型全归纳通关一、“叠加法”求通项在求等差数列通项公式时，由这个式子叠加得，当时也成立.由此可得形如的递推式均可采用“叠加法”求得.上式中“”通常是可以化简的，即数列“可求和”.通关二、“叠乘法”求通项在求等比数列通项公式时，由这个式子叠乘得，当时也成立.由此可得形如的递推式均可采用“叠乘法”求得.上式中“”通常是可以化简的，即数列“可求积”.题型一：可以转化为.从而数列为等比数列，故可由等比数列通项公式求解.题型二：，两边同除以“”可以转化为.当时，数列为等差数列，故可由等差数列通项公式求解.当时，数列符合题型一，故可由题型一中的方法求解.通关三、“倒数法”求通项形如，两边同除以转化为①当时，“倒数数列”为等差数列，由等差数列通项公式求解.当时，“倒数数列”符合方法二中的题型一，故可转化为等比数列求解.(2)形如，取倒数得.当时，“倒数数列”为等差数列，由等差数列通项公式求解.当时，“倒数数列”符合方法二中得题型一，故可转化为等比数列求解.通关四、“待定系数法”求通项，令，则，整理得.令，则.此时，，即数列为等比数列，故可由等比数列通项公式求解，从而也可求解.【结论第讲】结论一、把原递推公式转化为，再利用叠加法(逐差相加法)求解.【例1】已知数列中，，，则_____.【答案】【解析】已知，所以.……累加后，得.故.【变式】数列满足：，且，求.【答案】【解析】，，…，，叠加可得，所以.结论二、把原递推公式转化为，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.【例2】数列中，，，则_____.【答案】【解析】因为在数列中，，所以，所以，，，…，，所以.【变式】已知数列满足，且，则_____；_____.【答案】【解析】由得，又，所以.由得，所以，，，…，，所以.结论三、（其中均为常数，）先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.【例3】已知数列满足，且，则_____.【答案】【解析】已知，且，构造，即.因为，所以.由得，令，，，是以为首项，以为公比的等比数列，所以.又因为，所以.【变式】已知数列中，，，则_____.【答案】【解析】解法一：设，解得，即原式化为.设，则数列为等比数列，且，所以.解法二：因为，，由-得：.设，则数列为等比数列，所以，所以，所以.解法三：，，，…，，所以.结论四、（其中均为常数，）1.一般地，要先将递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再用待定系数法解决；2.也可以将原递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再利用叠加法（逐差相加法）求解.【例4】已知数列中，，，则_____.【答案】【解析】解法一：将两边分别乘以，得.令，则，根据待定系数法，得.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即.于是.解法二：将两边分别乘以，得.令，则，所以，，…，.将以上各式叠加，得.又，所以，即.故.【变式】已知数列满足，，则_____.【答案】【解析】由题意知，两边同乘以得，即数列为等差数列，所以.所以，当时也成立.所以.结论五、（）这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令，然后与已知递推公式比较，解出，从而得到是公比为的等比数列.【例】设数列满足，，则_____.【答案】【解析】设递推公式可以转化为，化简后与原递推式比较，得，解得.令（*），则，又，故，代入（*）得.【变式】已知数列满足，，则_____.【答案】【解析】由题意知.令，则，整理得.令，则.此时，，即数列为等比数列，所以.所以，时也成立.所以.结论六、（）这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为型，再利用待定系数法求解.【例6】已知数列中，，，则_____.【答案】【解析】将两边取对数，得.令，则.由此得，记，则.所以数列是首项，公比为的等比数列.所以.所以，即，所以.【变式】已知在数列中，，且，则数列的通项_____.【答案】【解析】由题意知，因为，所以将两边取以为底的对数，得，故是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.结论七、（且）这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理.若，则有，此时为等差数列.若，则有，此时可转化为结论三来处理.【例7】在数列中，已知，，则_____.【答案】【解析】将等式两边取倒数得到，，是公差为的等差数列，.根据等差数列的通项公式的求法得到，故.【变式】已知数列满足，，则_____.【答案】【解析】因为，所以，即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故.结论八、将原递推公式改写成，两式相减即得，然后将分奇数、偶数分类讨论即可.【例8】已知数列中，，.则_____.【答案】【解析】因为，所以，故，即数列的奇数项与偶数项都是公差为的等差数列.当为偶数时，，故；当为奇数时，因为，（为偶数），故.综上，.【变式】在数列中，，，则_____.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，即数列的奇数项与偶数项都是公差为的等差数列.当为偶数时，，所以.当为奇数时，因为，所以（是偶数），所以.综上，.结论九、将原递推公式改写成，两式作商可得，然后将分奇数、偶数分类讨论即可.【例9】已知数列中，，，则_____.【答案】【解析】因为，所以，故，即数列的奇数项与偶数项都是公比