新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.5圆的方程2.5.2圆的一般方程学生用书湘教版选择性必修第一册

2．5.2圆的一般方程最新课程标准(1)正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由圆的一般方程求圆心和半径．(2)会在不同条件下求圆的方程．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当____________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程❶.2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为________，半径长为________．批注❶圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．()(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x02+y02＋Dx0＋Ey02．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为()A．(－1，0)与3B．(1，0)与3C．(1，0)与2D．(－1，0)与23．下列方程表示圆的是()A．x2＋y2＋xy－1＝0B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝04．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝()A．1B．2C．3D．45．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1圆的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A．(－4，4)B．(－3，3)C．(－∞，－4)∪D．(－∞，－3)∪方法归纳判定二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种方法巩固训练1方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为________．题型2根据圆的一般方程求圆心和半径例2求下列各圆的圆心坐标和半径：(1)x2＋y2－6x＝0；(2)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；(3)x2＋y2－2ax－23ay＋3a2＝0.方法归纳根据圆的一般方程求圆的圆心和半径的两种方法巩固训练2求下列各圆的圆心坐标和半径：(1)x2＋y2－4x＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0.题型3求圆的一般方程例3已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．方法归纳待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.巩固训练3已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，则△ABC的外接圆的一般方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0C．x2＋y2－2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0题型4与圆有关的最值问题(数学探究)例4已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)yx(2)y－x的最小值和最大值；(3)x2＋y2的最小值和最大值．方法归纳与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y-bx-a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和((2)形如z＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋z(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．易错辨析忽视圆的条件致错例5已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．解析：由题意知a解得a＞2，a＜94答案：(2，94【易错警示】出错原因纠错心得忽视了二元二次方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，从而得到错误答案：a＞2.对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F＞0.2．5.2圆的一般方程新知初探·课前预习[教材要点]要点1．D2＋E2－4F>02．(－D2，－E2)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2.答案：C3．解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆；对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，该方程不表示圆；对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋52y＋12＝因为22＋522－4×1答案：D4．解析：由已知圆心坐标为(－12，－12所以－12a－12＋1＝0，解得a答案：A5．解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为(－a2，－b2)＝(3，4)⇒a＝－6，b＝－8，所以圆的半径为a答案：5题型探究·课堂解透例1解析：因为方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.答案：C巩固训练1解析：由x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0得x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2＋a2－a＝0，即(x－a)2＋(y－2a)2＝a－a2，因为方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，所以a>02a>0a答案：0<a<1例2解析：(1)方程x2＋y2－6x＝0⇒(x－3)2＋y2＝9，所以圆心为(3，0)，半径为3.(2)将2x2＋2y2＋4ax－2＝0两边同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.故圆心坐标为(－a，0)，半径为1+a(3)方程x2＋y2－2ax－23ay＋3a2＝0⇒(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，所以圆心为(a，3a)，半径为|a|.巩固训练2解析：(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2，0)，半径r＝2.(2)由圆的一般方程可知a≠0，原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆．例3解析：方法一设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴1+16+D+4E+F=0，4+9∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二∵kAB＝4-31+2＝13，kAC＝∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.巩固训练3解析：设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可得：22+0即△ABC的外接圆的方程为：x2＋y2－2x－4y＝0.答案：C例4解析：(1)如图所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx由2k-0k2+1＝3，解得∴kmax＝3，kmin＝－3.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝3，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°.)(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的