新版高中数学北师大版必修4习题第二章平面向量2.3.1

§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量课时过关·能力提升1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反 B.|λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=|λ|a解析:选项A错误,因为λ取负数时,a与λa的方向是相同的;选项B错误,因为当|λ|<1时,该式不成立;选项D错误,等号左边的结果是一个数,而等号右边的结果是一个向量,两者不可能相等;选项C正确,因为λ2(λ≠0)一定是正数,所以a与λ2a的方向相同.故选C.答案:C2.设a0为单位向量,有下列命题:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.答案:D3.已知|a|=1,|b|=2,a=λb,则|ab|=()A.1 B.3 C.1或3 D.|λ|解析:因为a,b是平行向量,所以反向时|ab|=|a|+|b|=3;同向时|ab|=|b||a|=1.答案:C4.已知不共线向量a,b,且AB=a+2b,BC=5a+6b,CD=7aA.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D解析:∵=(a+2b)+(5a+6b)+(7a2b)=3a+6b=3AB答案:A5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与(b3a)共线,则λ等于()A.解析:由题意知a+λb=k[(b3a)],所以答案:D★6.已知O为△ABC内一点,且OA+OC+2OB=0,则△AOCA.1∶2 B.1∶3C.2∶3 D.1∶1解析:设AC的中点为D,连接OD,则OA+∴OD=-OB,即点B,O,D在同一条直线上,且点O答案:A7.如图,C是△ABD的边BD的中点,若用解析:在△ABC中又C是BD的中点,所以BD=2答案:28.设向量e1,e2不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2e1,CD=2e1+e2.给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,解析:由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB答案:④9.在△ABC中,M为边AB的中点,若OP∥解析:∵M为AB的中点,∴又OP∥OM∴∴x=y=答案:110.如图,在▱ABCD中,AD=b,AB=a,M为AB的中点,N为BD上靠近B的三等分点.求证:M,N证明在△ABD中∵AB=a,AD=b,∵N是BD的三等分点,∴BN=13∵BC=∴CN=BN-BC∵M为AB的中点,∴∴=-12a-由①②,可得由向量共线的判定定理,知∵CM与CN有公共点C,∴M,N★11.已知向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e19e2,则是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?若存在,求出λ,μ满足的条件;若不存在,请说明理由.解由题意,得d=λa+μb=λ(2e13e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ3λ)e2.假设d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即2(λ+μ)e1+3(μλ)e2=2ke19ke2.由此得方程组解得μ=k,λ=2k,即λ=2μ.故存在这样的实数λ,μ,当满足λ=2μ时,d与c共线.★12.如图,L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且BLBC=l,CM证明