5.7三角函数的应用

§5.7三角函数的应用【类型一】三角函数在实际生活中的应用【例题】已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？答案解析：(1)x∈[4,16]，则eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4)∈[－eq\f(3π,4)，eq\f(3π,4)]．由函数图像易知，当eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝14时，函数取最大值即最高温度为30℃，当eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4)＝－eq\f(π,2)，即x＝6时，函数取最小值即最低温度为10℃，所以，最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＋20＝15，可得sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＝－eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以，x＝eq\f(26,3).令10sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＋20＝25，可得sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＝eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以，x＝eq\f(34,3).故该细菌的存活时间为eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)(小时)．规律感悟：1．现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本题中一天从4点到16点的气温，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述．2．建立三角函数模型解决实际问题的步骤是：(1)收集与角有关的信息，确定相应的三角模型；(2)建立三角函数关系式；(3)求解；(4)作答．★举十反一★1.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？2.已知电流I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))在一个周期内的图像如图(1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段eq\f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？3.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的图象如图所示，则当t＝eq\f(1,50)秒时，电流强度是________安。4.(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据．(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A.(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①eq\f(y,A)＝cos(eq\f(πx,6))；②eq\f(y－46,A)＝cos(eq\f(πx,6))；③eq\f(y－46,－A)＝cos(eq\f(πx,6));④eq\f(y－26,A)＝sin(eq\f(πx,6))．5.某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ)．求：(1)θ的取值范围；(2)f(θ)的解析式；(3)f(θ)的值域．7.如图所示，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m，风车圆周上一点A从最低点O开始运动，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h(t)的关系式；(2)画出函数h(t)的图像．8.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．9.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？10.某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线