甘肃省玉门一中高三第一次模拟考试文科数学试题

甘肃玉门一中2020年高三模拟考试文科数学试卷I第Ⅰ卷一.选择题：本大共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可得.【详解】因为，故，故选：C.【点睛】本题考查集合的交以及一元二次不等式的解集，考查学生的运算求解的能力，本题属于基础题.2.复数（是虚数单位），则A. B. C. D.2【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，故应选．考点：1、复数的基本运算；2、复数的基本概念；3.函数在处导数存在，若p:是的极值点，则（）A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C【解析】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判定．4.已知向量，则的值为A.1 B.7 C.13 D.11【答案】B【解析】试题分析：因为，所以应选．考点：1、平面向量的数量积；5.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将原式转化为，即可得到答案.【详解】.故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数的商数关系，属于简单题.6.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为9080+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．7.已知，则a,b,c的大小关系为（）A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可得三者之间的大小关系．【详解】因为为上的增函数，而，所以，所以．因为为上的增函数，而，所以，故．故选：B．【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，通过利用函数的单调性和中间数来比较大小，本题属于基础题．8.如图，是的边的中点，则向量等于()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量运算的三角形法则计算得到答案.【详解】是的边的中点，则向量.故选：【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除，故选B．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除10.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：分析可知球心在的中点．因为，，所以．所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．考点：三棱锥的外接球．11.若直线l与曲线相切于点O(0,0),并且直线l和曲线也相切，则a的值是（）A.1 B.-1 C.2【答案】A【解析】【分析】先求出直线的方程，再将该方程与方程联立，利用判别式为零可求a的值.【详解】，故，故切线的方程为即，由可得，因为直线和曲线也相切，故，故.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及抛物线的切线的求法，注意函数在某点横坐标处的导数就是函数图象在该点处切线的斜率，而直线和抛物线相切可利用判别式来处理，关注两者的区别，本题属于基础题.12.已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x－4)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2020)＝（）A.1 B.－1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的周期，再利用周期可求的值.【详解】因为，故即.故，故的周期为8，所以，故选：B.【点睛】本题考查函数周期性，一般地，定义在上的函数满足对任意的恒成立，则的一个周期为，本题属于基础题.第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则函数最小正周期为_______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式可得，从而可求其最小正周期．【详解】因为，故，所以的最小正周期为，故答案为：．【点睛】本题考查正弦型函数的周期，注意形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据公式可求周期．本题属于基础题．14.已知等差数列的前n项和为，且，则______.【答案】44【解析】【分析】根据题设条件可求得的值，从而可得的值.【详解】因为且为等差数列，故即，所以，故答案为：44.【点睛】本题考查等差数列的性质，一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.15.已知、、分别是的三个内角、、的对边，且，则_____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，由题意得到，推出，化简整理，求出，即可得出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，，则，则，即，则，所以，则，因为为三角形内角，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，属于基础题型.16.众所周知，0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的，黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使“大段/全段=小段/大段”，这样的分割叫做黄金分割，这样的比值叫做黄金比，这一数值也可以表示为，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出，代入所求式子，根据诱导公式，以及二倍角公式，直接化简，即可得出结果.【详解】因为，，则，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记公式即可，属于基础题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）当时，.当时，.【解析】【分析】设的公差为d，的公比为q，（1）由条件可得和，解方程得，进而可得通项公式；（2）由条件得，解得，分类讨论即可得解.【详解】设的公差为d，的公比为q，则，.由得.①（1）由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式为.（2）由得.解得.当时，由①得，则.当时，由①得，则.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18.四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有，所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆离心率为，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由的面积及椭圆C的离心率得、即可求椭圆方程参数，进而得到椭圆方程；（2）结合（1）以及不与、重合，分类讨论在椭圆最左侧、最下侧易得，其它位置时设：，：联立椭圆方程可用、表示点横坐标且，进而得到、的关系即可证；【详解】（1）由题意，的面积为1，有：，又椭圆C的离心率为，即，∴解之得：，故：；（2）由（1）知：，，令，不与、重合，即、的斜率不可能为；当在椭圆最左侧时，如下图示：则M与C点重合，N与点重合，即，，∴；当在椭圆最下侧时，如下图示：则M与点重合，N与C点重合，即，，∴；当在椭圆其它位置时，设直线：，直线：，∴，，故，，联立直线与椭圆：，可得，即，联立直线与椭圆：，可得，即，∴，整理的，；而；∴综上，有：为定值，得证；【点睛】本题考查了椭圆方程，根据三角形面积及离心率求椭圆方程，以及证明椭圆上一动点与上顶点、右顶点所成直线分别与x轴、y轴交点，交点与同轴上顶点的线段长度之积为定值；21.已知函数.（1）判断函数的单调性;（2）若,若函数存在零点,求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力、转化能力、计算能力．第一问，对求导，对a进行讨论，分和两种情况，利用和进行判断；第二问，将已知代入到中，转化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，可以画出函数的简图，令与函数图象相交，找出a的取值范围.试题解析：（1），，当时，，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增．（2）令，则，令，当无限靠近于0时，趋近于.，令可得，可知时，单调递减，时，单调递增．因此的值域为，即为，因此函数存在零点时，实数的取值范围是.考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【答案】见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．【详解】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y）2＝4，圆的圆心坐标为（2，），半径为2，直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），方程为y（x﹣2）（x﹣2），即x+3y﹣20．圆心到直线的距离为：2，所以，直线l与圆C相交．【点睛】本题考