【数学】2024届高三下学期开学摸底考（新高考七省地区专用）02（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考（新高考七省地区专用）02数学一、单项选择题1．过点且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，所以，过点且与直线垂直的直线方程是，即.故选：C.2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由题意该组数据共7个数，,故第60百分位数为从小到大第5个数，又众数为4，故，故该组数据的平均数为，故选：B3．设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差数列片段和性质知：是等差数列.由，可设，则，于是依次为，所以，所以.故选：B.4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．【答案】D【解析】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为，则，所以，则水的体积为；设倒置后液面面积为，则，则水的体积为，解得.故选：D.5．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则由，得到，整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，故选：D.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A．240种 B．188种 C．156种 D．120种【答案】D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，因为，则，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；当时，．又因为2，因此的取值范围是．故选：C．8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C.二、多项选择题9．设z，，是复数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【解析】若，设，所以，则不一定为，故A错误；若，设，所以，则不一定为，故B正确；若，设，，则，，故C正确；若，设，，，，所以，即，不一定为，故D错误；故选：BC.10．已知，则（

）A．，使得B．若，则C．若，则D．若，，则的最大值为【答案】BD【解析】对于A中，若，可得因为，可得，解得，又因为时，，所以方程无解，所以A错误；对于B中，因为，可得，所以，又因为，所以，则，所以B正确；对于C中，由，则，所以C错误；对于D中，因为，可得，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以D正确.故选：BD.11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．【答案】ACD【解析】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；对于C，因为的定义域为，且,，所以为奇函数，且在上为减函数，不等式等价于即，等价于，解得，故C正确；对于D，因为且，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12．已知集合，，则.【答案】【解析】由题意，，又又由于，又，故故答案为：13．已知向量的夹角为，，则，．【答案】2【解析】由向量的夹角为，且，得，所以．因为，，所以．故答案为：2，.14．若存在正实数满足，则的最大值为．【答案】【解析】存在正实数满足，不等式两边同除以得，令，则，即，令，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极大值，也是最大值，故，即，综上，，解得，故，，故，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值，也是最大值，最大值为.故答案为：.四、解答题15．设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求；(2)证明：.(1)解：函数的定义域为.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，解得.(2)证明：由(1)知，从而等价于.设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，从而在上的最大值为.故，即.16．如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.(1)证明：一方面：因为为正三角形且为的中点，所以（三线合一），又因为平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性质可知平面，又因为平面，所以由线面垂直的性质可知；另一方面：由题意不妨设，则，因为为正三角形且为的中点，所以，，所以，且，注意到与均为锐角，所以，不妨设，

因为，所以，即.综合以上两方面有且，注意到，平面，平面，所有由线面垂直的判定有平面，又因为平面，所以平面平面.(2)解：由(1)可知平面，则点到平面的距离即为的长度，一方面梯形的面积为，，所以有四棱锥的体积为，另一方面由题可知四棱锥的体积为，结合以上两方面有，解得，因为，所以，由（1）可知，所以，所以，所以.17．已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．解：(1)三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，当即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；所以，则，同理知：新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为，所以三人均被分至同一队的概率为.(2)解：由题设，可能取值为，为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则，为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则，，，，所以，为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则，所以.18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.(1)求的标准方程；(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.解：(1)双曲线的渐近线方程为，即，依题意，，所以的标准方程为.(2)由(1)知，，设，显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；设直线，由消去得，有，则，于是，由三点共线得直线的斜率满足，同理，由三点共线得，消去，得，即，整理得，即，则，因此或，若，又，得，结合，从而，即，不成立，即，因此，满足，则直线恒过点，点在以为直径的圆上，当与重合时，最大，此时轴，，所以当最大时，点的纵坐标为.19．已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当，时，写出的所有可能值；(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.(1)解：由，，若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即；若，则，即，此