河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第2节.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗令，则，解得；令，则，解得；直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，，故选：D.2.一只蚂蚁从点出发，在Oxy和Oxz平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点的最短距离为（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，为点，将正方体的面展开，如图，所以这只蚂蚁爬到点的最短距离为展开图中,故选:C.3.已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，解得，，解得，故等差数列的公差为，故.故选：C4.如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由平行六面体的特征可得设，则，可得，又由四点共面可得存在实数，使所以，所以，解得.故选：B.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗如图，因为，所以，又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为，则,所以，因为点在抛物线上，所以，整理得，，解得或（舍），故选:B.6.已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，又，则点A到平面距离为.故选：D.7.如图，花篮的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所得到的曲面．已知该花篮的总高度为45cm，底面圆的直径为20cm，上口圆的直径为，最小横截面圆的直径为10cm，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗以最小横截面圆的直径为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则可设双曲线的方程为，则，，由于点在双曲线上，则，即，所以，结合得所以，所以.故选：B.8.观察下列数的规律：2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，则第100个数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗将数的规律按照下方形式写即为：第一行的数为，第二行的数为，第三行的数为，第四行的数为，则第行的数为，每一行的数的个数分别为，则到第行总的个数为，令，即，当时，，当时，所以第100个数在第行，即第100个数为.故选：B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（）A.直线l过定点 B.圆C的半径为3C.当时， D.圆心C到直线l的最大距离是2〖答案〗BCD〖解析〗对A，由可得，，所以直线l过定点，A错误；对B，圆C：的圆心为半径，B正确；对C，时，直线l：，圆心到直线的距离为2，所以，C正确；对D，设l过定点，则,当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确；故选:BCD.10.下列结论正确的是（）A.若向量，，，则共面B.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则C.若向量，，则在上的投影向量为D.已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则〖答案〗AD〖解析〗对A观察可知，，所以共面，A正确；对B，，所以或，B错误；对C，因为，，所以，所以在上的投影向量为，C错误；对D，因为，即共线，所以，D正确；故选:AD.11.已知，是椭圆C：的两个焦点，过点的直线与C交于A，B两点．若，，则（）A. B.椭圆C的离心率为C.为等边三角形 D.为直角三角形〖答案〗BD〖解析〗如图所示，设，则，故，，又因为，所以，所以，即，即为直角三角形，故C错误，D正确；因为，由余弦定理得，得，所以，即，故A错误；所以椭圆的离心率为，故B正确；故选：BD.12.数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（）A.若为等差数列，则的公差为1B.若为等差数列，则的首项为1C.D.〖答案〗ACD〖解析〗若为等差数列，则可设,所以，所以,解得,所以，所以的首项为0，公差为1，A正确，B错误；，C正确；，因为，即，D正确；故选:ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.抛物线的准线方程为______．〖答案〗〖解析〗抛物线可化为，所以，解得，所以准线方程为.故〖答案〗为:.14.已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为______．〖答案〗〖解析〗设圆M的一般式方程为：，因为圆M经过点，，，所以，解得，得圆M的一般式方程为：，故圆M的标准方程为：.故〖答案〗为：15.已知数列的前n项和为，且，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，，，，累加可得，化简可得，故〖答案〗为：16.已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点P作与l夹角为的直线，该直线交l于点A，是双曲线C的左焦点，则的最小值为______．〖答案〗.〖解析〗设右焦点为，如图：连接,过点做于点，结合题意：为直角三角形，且，所以，因为到渐近线的距离为，结合双曲线的定义可得：.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线过点．（1）若直线与第二、四象限的角平分线平行，求直线l的方程；（2）若，直线与圆M：相切于点A，求直线的方程．解：（1）若直线l与第二、四象限的角平分线平行，则直线的斜率为，又直线过点，故直线l的方程为，即；（2）由已知点在圆上，则，解得或（，舍去），所以圆的圆心为，则，即过点的切线斜率为，则直线的方程为，即.18.已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点．（1）求双曲线C的方程；（2）已知，P是C上的任意一点，求的最小值．解：（1）双曲线的焦点为，所以设双曲线C的方程为，所以，解得，所以双曲线C的方程为.（2）由可得，或，设，或，则，所以，所以当时，有最小值为.19.已知正三棱锥中的三条侧棱两两垂直．（1）证明：．（2）已知点E满足，求平面与平面夹角的大小．解：（1）由正三棱锥中的三条侧棱两两垂直,可建立如图所示的空间直角坐标系：且可设，所以,可得：,因为，所以，即.（2）由（1）问可知：,所以设平面的法向量为，因为所以令则，又因为正三棱锥中的三条侧棱两两垂直,且,且在平面内，所以面，所以为面的法向量.所以,结合图形可得平面与平面的二面角的平面角为锐角，所以，即,所以平面与平面夹角.20.已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．解：（1）由题意得：点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线，则，解得，所以抛物线的方程为：；（2）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，当时，，此时，不合题意，舍去；则直线l的斜率存在，设直线方程为，，与抛物线方程联立，消去得，因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，由韦达定理得，所以弦长：，解得，即，所以直线l的方程为：.21.已知数列满足．（1）求的通项公式．（2）记，数列前n项和为，是否存在实数m，使得数列为等差数列？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：（1）①中，令得，，解得，当时，②，①-②得，，故，当时，，满足要求，综上，的通项公式为（2），，，假设存在实数m，使得数列为等差数列，故当时，，只有当，即时，为常数，其他值均不合要求，故当时，是等差数列.22.已知，分别是椭圆：左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于