河北省张家口市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省张家口市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于集合A，，故，对于集合B，，即，故，所以.故选：C.2.命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题，，为，.故选：C.3.已知，则的零点所处的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，且是上的减函数，由，，根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故为偶函数，图象关于y轴对称，观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似.故选：D.5.，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，故最小，由，，故，即.故选：B.6.已知，，则ab的最大值为（）A. B. C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗，由不等式的性质，，所以，所以，所以，当且仅当时，且已知，解得，即的最大值为.故选：A.7.函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗在上单调递增等价于函数满足：①在上单调递增，②，即，解得，结合选项可知是的充分不必要条件.故选：D.8.已知正数a，b满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，易知在上单调递增，原式可整理为，由，则，即，因为在上单调递增，所以，所以，则，所以当时，；当时，，故ABC都错误，仅D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式最小值为2的是（）A. B.（且）C. D.为第一象限角）〖答案〗AC〖解析〗对于A，，当且仅当时取得最小值2，故A正确；对于B，当，此时，故B错误；对于C，，当且仅当，时取得最小值2，故C正确；对于D，由于为第一象限角，所以，所以，当且仅当时，等号成立，显然不等式等号取不到，即，故D错误.故选：AC.10.已知，则在直角坐标系中角的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗BD〖解析〗由，得，故，所以角可能在第二或第四象限.故选：BD.11.下列说法正确的是（）A.若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点B.函数有且只有1个零点C.函数有2个零点D.若，则函数有3个零点〖答案〗BCD〖解析〗对于A，在上连续，且，但，故A错误；对于B，方法一：因在上单调递增，则在上单调递增，当时，，当时，，由零点存在定理可知函数有且只有1个零点，方法二：，作出两函数，则两个函数图象显然有一个交点，故B正确；对于C，可转化为，函数，图象有两个交点，故C正确；对于D，令，则由解得或，若，即，，方程有两个不等正根，若，即，解得，综上共3个零点，故D正确.故选：BCD.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称 B.C. D.方程有5个不等的实数根〖答案〗ABD〖解析〗对于A，令，，则，可知函数满足当时，，即函数的图象关于直线对称，故A正确；对于BC，利用函数图象既关于原点对称又关于直线对称，且当时，，可以将图象拓展如图所示：由图象规律可知B正确；，故C错误；对于D，的解的个数问题可转化为：曲线与图象的交点个数问题，如图所示：所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.终边落在第一象限的角的集合表示为_________________.〖答案〗〖解析〗终边落在第一象限的角的集合表示为.故〖答案〗为：.14.扇形的圆心角为弧度，周长为7米，则扇形的面积为___________平方米.〖答案〗〖解析〗设扇形半径为r，由扇形弧长公式可知弧长为，周长为，故，，故面积.故〖答案〗为：.15.已知，则的最小值为___________.〖答案〗32〖解析〗由，所以，可得，，又因为，所以，以上不等式等号的取得条件都是.故〖答案〗为：32.16.在函数①，②，③，④，⑤中，满足对于定义域内任意的，且，都有的是___________.〖答案〗②⑤〖解析〗设函数定义域为I，由且，可得，即，令，由题意对于任意的，当时，都有，即在定义域I上单调递减，对于①，是单调递增，所以不单调，故①不满足；对于②，为减函数，也为定义域内的减函数，故为上的减函数，满足题意；对于③，是单调递增，所以不单调，故③不满足；对于④，在和上都单调递减，但是在定义域上不是单调递减函数，故④不满足；对于⑤，是单调递减，也为定义域内的减函数，则在定义域为减函数，故⑤满足.故〖答案〗为：②⑤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为角终边上一点.（1）求和值；（2）求的值.解：（1）由三角函数的定义可得，.（2）利用诱导公式化简：.18.设不等式的解集为，.（1）求集合A；（2）若，求实数m的取值范围.解：（1），即，，解得，即，所以.（2）因为，①当时，即，解得，满足题意；②当时，需满足，解得，综上，满足的m的取值范围为.19.近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系：.（1）欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求的取值范围；（2）当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量（精确到0.1）.解：（1）电动自行车流量不少于10千辆/小时，即，化简可得，解得，又因为最高设计时速为25千米/小时，故，所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则.（2），由基本不等式可得，当且仅当“”即“”时取到最小值，此时电动车流量有最大值，最大值为，故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时.20.已知函数满足以下几个条件：①，；②当时，；③.（1）求证：为奇函数；（2）解不等式：.解：（1）因为，，令，可得，故，令，，所以，即，，所以为奇函数.（2）取，且，由①可得，即，因为，所以，由②知，故，所以在上单调递增；由③可知，，故，即为，因为在上单调递增，所以且，即，，所以或，解得或，故解集为.21.已知函数，且.（1）求实数的值；（2）若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，即，解得或，因，所以.（2）由（1）知，所以，因为的图象与直线有且只有一个交点，等价于方程有且只有一个实数根，即时，，所以，所以当时，有且只有一个根，令，当时，得，则，令，则函数的对称轴为，又在只有一个根，可得或，解得，当时，得，则，令，则函数的对称轴为，又在只有一个根，可得，解得，综