湖北省春晖教育集团2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省春晖教育集团2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）1.函数的值域是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数开口向上，对称轴为，则在内单调递增，且当时，则，可知函数的最小值为3，所以值域为，即值域为.故选：D.2.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：，结合交集定义可得：.故选：B.3.设，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.4.设，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗A选项，取时，不等式不成立；B选项，不等式两边加上同一个数，不等号方向不发生改变，故错误；C选项，根据幂函数在R上为增函数知，故正确；D选项，取，不等式不成立，故错误.故选：C.5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.6.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm〖答案〗B〖解析〗头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于＝110，即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105＝170cm，即人的身高大于170cm小于178cm.故选：B．7.已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，故，所以．故选：A．8.若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”，已知函数，则的“和谐点对”有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗根据题意，“和谐点对”定义可知，只需作出函数的图象关于原点对称的图象，即，看它与函数交点个数即可，如图：观察图象可得，它们交点个数是2，即的“和谐点对”有2个.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求.）9.下列各组函数中表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AB〖解析〗A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．故选：AB．10.若不等式的解集是，则下列说法正确的是（）A.且B.C.D.不等式的解集是〖答案〗ACD〖解析〗不等式的解集是，则对应的方程的两根为和，，且，故，且，故，故A正确；，故B错误；，故C正确；，，即的解集是，故D正确.故选：ACD.11.已知实数a满足，下列选项中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，，，故选项A正确；，，故选项B错误；，，故选项C正确；，且，，，，故选项D正确.故选：ACD.12.已知函数，则（）A.的定义域是B.是偶函数C.是单调增函数D.若，则，或〖答案〗AC〖解析〗函数的定义域满足，解得，则的定义域是，故A正确；所以，且，故是非奇非偶函数，故B不正确；由于函数，由复合函数单调性可得在上为单调增函数，又函数，由复合函数单调性可得在上为单调增函数，所以是单调增函数，故C正确；由是上的单调增函数，且，所以可得：，所以，解得或，故D不正确.故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，共20分.）13.设函数，则______.〖答案〗12〖解析〗函数，则，，.故〖答案〗为：12.14.若幂函数在（0，）上单调递减，则___________.〖答案〗〖解析〗，解得或，当时，，在（0，）上单调递增，与已知不符，所以舍去，当时，，在（0，）上单调递减，与已知相符，故〖答案〗为：.15.若，为正实数且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因为，为正实数且，所以，当且仅当，即，时取等号．故〖答案〗为：．16.对任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围是__________.（其中是自然对数的底数）〖答案〗〖解析〗函数和的图象如图所示：由图可知，，则，对任意的，不等式恒成立，只需对任意的，不等式恒成立，即对任意的，不等式恒成立，又，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以，则，整理得，即，解得或，又，所以正实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知集合.（1）分别求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.解：（1）因为集合，即，，即，所以，又，以.（2）因为，所以，①当时，，此时；②当时，由得，即，综上，的取值范围为.19.已知函数定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的〖解析〗式；（2）解关于的不等式.解：（1）设，则，因为当时，，所以，因为是奇函数，所以，所以，所以.（2）因为，则有，或，即：，或，解得：或，所以原不等式的解集为.20.已知函数为偶函数.（1）求a的值，并证明在（0，）上单调递增；（2）求满足的x的取值范围.解：（1）由题意得，，∴对任意恒成立，∴，经检验，时为偶函数，任取，则，∴，∴在（0，）上单调递增.（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，∴满足的x的取值范围.21.流感是由流感病毒引起的一种急性呼吸道传染病，冬天空气干燥、寒冷，大多数人喜欢待在较为密闭的空间里，而这样的空间空气流通性不强，有利于流感病毒的传播.为了预防流感，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）与时间（单位：小时）成正比例；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示：（1）求从药物释放开始，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）与时间（单位：小时）的函数关系式；（2）实验表明，当室内每立方米空气中药物含量不超过毫克时对人体无害，求从药物释放开始，同学们至少要经过多少分钟方可进入教室.解：（1）当时，设，则，解得，所以，把点代入得，解得，所以，，所以.（2）由题意显然在药物释放的时候学生不能进入教室，则令，即，即，解得（小时），即（分），所以同学们至少要经过分钟方可进入教