江西省吉安市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江西省吉安市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，故，∴．故选：B.2.命题p：“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”〖答案〗D〖解析〗对命题p改写量词，否定结论，有：，.故选：D.3.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增，则函数在上单调递减，且在上恒成立，则有，解得，所以a的取值范围是.故选：C.4.已知事件A，B是互斥事件，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故选：C.5.下列区间内存在方程的根的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，显然函数在R上连续，因，故在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点，因，，即，所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，由选项可知只有C项符合题意.故选：C.6.某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年〖答案〗A〖解析〗由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为，∴，故，∴，故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交．故选：A.7.已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知：，不妨设，则，，且，所以，所以的取值范围是．故C正确.故选：C.8.设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍；当时，，故，则，；当时，，故，则，；当时，，故，则，，如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得：．故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗根据图中阴影可知，符合题意，又，∴也符合题意．故选：AC.10.某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（）A.与相互独立 B.与相互独立C.与不相互独立 D.与不相互独立〖答案〗ACD〖解析〗由题意知，，，，对A：∵，∴与相互独立，故A正确；对B：∵，∴与不相互独立，故B错误；对C：∵，∴与不相互独立，故C正确；对D：∵，∴与不相互独立，故D正确．故选：ACD.11.设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是（）A.函数是偶函数B.当时，函数的值域是C.若方程只有一个实数根，则D.若方程有两个不相等的实数根，则〖答案〗BC〖解析〗画出的图象如下图：函数的图象不关于y轴对称，A选项错误；当时，函数，∵，∴，故，即函数的值域是，B选项正确；由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，C选项正确；若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D选项错误．故选：BC.12.设，，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当时取等号，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是______.〖答案〗〖解析〗由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人.故〖答案〗为：.14.已知甲组样本数据（，2，…，6），如下表所示：233466若乙组样本数据，则乙组样本数据的平均数_________，乙组样本数据的方差__________．〖答案〗5〖解析〗由题意，乙组样本数据如下表所示：133599则乙组样本数据的平均数，乙组样本数据的方差：.故〖答案〗为：5.15.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，，解得，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________．〖答案〗64〖解析〗令，则，由可化为，∵，∴，即必有两个不同的根，，且，故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下：由图可知，即有唯一解，即有两个解，，且，故.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.按要求完成下列题目．（1）若，求；（2）计算：．解：（1）∵，∴，则．（2）．18.已知集合，，若是的真子集，求实数m的取值范围．解：∵集合，∴，又为的真子集，当时，，解得或．当时，（等号不同时成立），解得，综上所述，实数m的取值范围是．19.为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同字，得到如下的样本数据的频率分布直方图．（1）求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；（2）用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．解：（1）∵，∴，估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）．（2）由题意知，平均时长为：（min）．（3）∵，．∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在之间，设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，则，解得，∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．20.狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数〖解析〗式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；（2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？解：（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，，当时，，故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数〖解析〗式为．（2）当时，，当时，取得最大值，当时，，当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值，∵50＜54，∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元.21.已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，．（1）求，并用定义法判断在区间上的单调性；（2）是否存在实数k，使得关于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）令，则，即，令，，且，则，，又当时，，∴，∴，故在区间上单调递增．（2）不存在，理由如下：∵在区间上单调递增，且关于x的不等式恒成立，∴，即在区间上恒成立，当时，二次函数的图象的对称轴，∴当时，，又，即，解得：，∴，故当时，无满足题意的实数k，当时，∵二次函数的图象的对称轴，∴只需，解得，无解，故当时，无满足题意的实数k，综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式恒成立．22.已知函数（，，）是偶函数，且，．（1）求的〖解析〗式；（2）若函数在区间（，，）上的值域是，求的取值范围．解：（