辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将〖答案〗书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗表示焦点在轴上的椭圆，，所以短轴长为.故选：B.2.的展开式中含的项是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．故选：C.3.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（）A. B. C.10 D.13〖答案〗B〖解析〗因为，且三点共线，所以存在实数，使得，解得．故选：B.4.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A. B.27 C. D.6〖答案〗A〖解析〗分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色.故选：A5.若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（）A.4 B.10 C.2或10 D.4或12〖答案〗D〖解析〗由双曲线的方程可得,所以,可得.设右焦点为,左焦点为,当点在左支上时,则,所以；当点在右支上时,．故选:D.6.已知(均为有理数),则的值为（）A.90 B.91 C.98 D.99〖答案〗D〖解析〗因为的展开式的通项公式为，所以.故选：D7.已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，圆的圆心为，半径，且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为．设，则．因为，则，可得．设直线的方程为，显然，且直线与抛物线必相交，由得，易知，所以，解得．故选：A.8.将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A.90种 B.120种 C.160种 D.190种〖答案〗B〖解析〗先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中，不同放法共有（种）.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线，则（）A.是直线的法向量B.直线的倾斜角为C.直线与直线平行的充要条件是D.直线在两坐标轴上的截距相等〖答案〗BD〖解析〗A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误；B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确；C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误；D：分别令，得，，则直线在轴上的截距分别是，D正确．故选：BD．10.在空间直角坐标系中，已知点，则（）A.B.C.异面直线与所成角的余弦值为D.在上的投影的数量为〖答案〗AC〖解析〗A：，所以，A正确；B：，所以，B错误；C：，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确；D：，所以在上的投影的数量为，D错误．故选：AC．11.设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗的展开式的通项为，所以，故选项A正确；又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；令，得，令，得，两式相减得，所以，故选项C正确；令得，故选项D正确；故选：ACD.12.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A.长轴长为4，短轴长为 B.C.轴，且 D.四边形的内切圆过焦点，〖答案〗BD〖解析〗对于A项，若长轴长为4，短轴长为，可知此时，即A错误；对于B项，若，此时，即，符合定义，即B正确；对于C项，若轴，且，易得，且，则，即C错误；对于D项，若四边形的内切圆过焦点，，则O到直线的距离为，此时，解之得，又，符合定义，即D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.圆和圆的位置关系是______．〖答案〗外切〖解析〗根据两圆的方程可知，，所以，所以两圆外切．故〖答案〗为：外切14.6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．〖答案〗216．〖解析〗（1）当最左端排甲的时，排法的种数为；（2）当最左端排乙的时，排法种数为．∴不同的排法的种数为．故〖答案〗为：21615.如图，在正六边形中，则以,为焦点，且经过点的双曲线的离心率_________．〖答案〗〖解析〗令正六边形的半径为，连接，如图，于是，，而，则，依题意，双曲线实轴长，焦距，所以该双曲线的离心率.故〖答案〗为：16.如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为______；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______．〖答案〗①②〖解析〗过点作平面，交于点，于点,易得，,所以．由图可知当点在点或点的位置时，直线与平面所成的角最大．易得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．当平面时，直线与平面所成角的正弦值最小为0，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．故〖答案〗为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）已知，计算：；（2）解方程：．解：（1）因为，则，解得，经验证符合题意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解为.18.如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若.（1）以为基底表示；（2）若，求的值.解：（1）（2），所以.19.圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.（1）当为弦中点时，求直线的方程；（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度.解：（1）因为为弦中点，由垂径定理得⊥，因为，所以，故直线的方程为，即；（2）与相减得，，即直线的方程为，圆心到直线的距离为，由垂径定理得的长度为.20.已知的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．解：（1）由题意可得，解得，所以该二项式为，则通项公式为：．令，解得，所以该二项式的展开式中的常数项为．（2）设第项的系数最大，则，解得，且，则，所以展开式中系数最大的项为．21.如图，且且且平面．（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．解：（1）由平面，，得直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，又，则，显然，，设平面的法向量为，则，令，得，，则，即，又直线平面，所以平面．（2），设平面的法向量为，则令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，显然为锐角，则二面角的平面角的余弦值为，所以二面角的平面角的正弦值为.（3）设，其中，则，平面的一个法向量为，由直线与平面所成的角为，则，解得，则，由（1）知平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．22.已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.（1）求，的方程；（2）设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点