振动理论与应用第3章-单自由度系统的受迫振动

返回总目录制作与设计贾启芬第3章单自由度系统的受迫振动振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications返回首页第3章单自由度系统的受迫振动目录TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.2周期激励作用下的受迫振动3.3任意激励作用下的受迫振动 3.4响应谱

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第3章单自由度系统的受迫振动3.1简谐激励作用下的受迫振动 返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.1振动微分方程3.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论3.1.3受迫振动系统力矢量的关系3.1.4受迫振动系统的能量关系3.1.5等效粘性阻尼3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

天津大学受迫振动激励形式－系统在外界激励下产生的振动。－外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.4.1振动微分方程简谐激振力F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励的响应－全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振动微分方程3.1简谐激励作用下的受迫振动 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振动微分方程3.1简谐激励作用下的受迫振动

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.4.1振动微分方程3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论则有若令返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论3.1简谐激励作用下的受迫振动 在低频区和高频区，当

<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论3.1简谐激励作用下的受迫振动 幅频特性与相频特性1、

＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，，

＝0，响应与激励同相；对于不同的

值，曲线密集，阻尼影响不大。返回首页2、

>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、

＝1的附近区域(共振区)，

急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将

＝1，即

＝pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，

＝1时，总有，

＝

/2,这也是共振的重要现象。TheoryofVibrationwithApplications3.4.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论3.1简谐激励作用下的受迫振动 例题例质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 根据达朗贝尔原理，有=h返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me

2与

2成正比。当

→0时，

≌0，B→0；当

>>1时，

→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频特性曲线和相频特性曲线返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.3受迫振动系统力矢量的关系（a）力多边形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞1返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为周期

1.激振力在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.4受迫振动系统的能量关系对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.4受迫振动系统的能量关系3.弹性力做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.5等效粘性阻尼在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内做的功粘性阻尼在一周期内消耗的能量相等等效粘性阻尼系数返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.5等效粘性阻尼利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动 3.1.5等效粘性阻尼库仑阻尼阻尼力表示为一周期内库仑阻尼消耗的能量为

等效粘性阻尼系数

得到稳态振动的振幅表达式求速度平方阻尼等效粘性阻尼系数

相等返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为图共振时的受迫振动通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动伴随激励而产生自由振动,称为自由伴随振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为过渡阶段的响应

此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为

全解为式中返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。

在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和

两个不同频率简谐振动的叠加。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.1简谐激励作用下的受迫振动3.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第3章单自由度系统的受迫振动3.2周期激励作用下的受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激励作用下的受迫振动

先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频返回首页TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激励作用下的受迫振动

由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications

3.2周期激励作用下的受迫振动

例3-3弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中)解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数将矩形波分解为固有频率

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3.2周期激励作用下的受迫振动

可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。

画出系统的响应频谱图奇数

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第3章单自由度系统的受迫振动3.3任意激励作用下的受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动 3.3.1系统对冲量的响应3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3.3单位脉冲响应函数的时-频变换3.3.4系统对任意激振力的响应3.3.5传递函数返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.1系统对冲量的响应物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1.用冲量描述瞬态作用返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.1系统对冲量的响应如果取为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果作用在的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.1系统对冲量的响应同理，如果在t=0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应如果作用在的时刻，则物块的响应为用

(t)函数表示作用在极短时间内冲击力返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3任意激励作用下的受迫振动表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。函数的定义是从积分式可见，如果时间以秒计，

(t)函数的单位是1/s。用单位脉冲(unitimpulse)函数

(t)表示冲击力冲量表示施加冲量的瞬时返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3任意激励作用下的受迫振动如果在t=0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力当，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲击力,

(t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3任意激励作用下的受迫振动单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定A和

。最后得其响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3任意激励作用下的受迫振动为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3.2系统对单位脉冲力的响应3.3任意激励作用下的受迫振动h(t)有以下特性不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲量的响应，其量纲为[位移/冲量]。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.3单位脉冲响应函数的时-频变换h(t)的傅里叶变换用H(

)来表示，称之为频域响应函数，它是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为得到系统的响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在时间区间内各个元冲量的总和，即得到系统的响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t＞t1即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以为初始条件的运动返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应例3-4无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。积分后得响应为代入在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离解：取开始加力的瞬时为t=0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且。也是弹簧产生的静变形。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应若阶跃力从t=a开始作用，则系统的响应为t＜a返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.4系统对任意激振力的响应解：在阶段，系统的响应显然与上例的相同，即例3-5无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力作用，试求其响应。当t＞t1时，F(t)=0，得返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动系统的响应为t＞t1实际上，在t＞t1阶段，物块是以t=t1的位移x1和速度为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。

将初始条件3.3.4系统对任意激振力的响应返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.5传递函数作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯(简称拉氏)变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程其中f(t)表示任意的激振力。并设t=0时，对式两端各项作拉氏变换返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.5传递函数对式两端各项作拉氏变换经整理得是系统的响应在拉氏域中的表达式

返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动3.3.5传递函数如不计运动的初始条件，即令，则写成传递函数

在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。返回首页TheoryofVibrationwithApplications例3-6具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力F(t)=F0的作用，且t=0时，，试用拉氏变换方法求系统的响应。解：系统的传递函数由式求出阶跃力的拉氏变换为响应的拉氏变换为引入记号上式写成例题3.3任意激励作用下的受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications其中系数可由部分分式方法确定最后得到对上式作拉氏逆变换，即得响应例题3.3任意激励作用下的受迫振动例题返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动系统基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为

系统的激振力为

可得响应为

其中例题返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.3任意激励作用下的受迫振动解：由上题可得系统的微分方程为基础有阶跃位移系统的激振力为可得响应为上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。例题