SD知识资料第16章知识资料变分法b

中南大学土木工程学院桥梁工程系主讲教师：韩建平石岩E-mail：syky86@163.com个人主页：兰州理工大学土木工程学院结构动力学DynamicsofStructures第16章运动方程的变分形式

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Chapter16VariationalFormulationoftheEquationsofMotion结构动力学本章提要§16-1广义坐标§16-2Hamilton原理§16-3Lagrange运动方程§16-4线性体系普遍运动方程的推导§16-5约束和Lagrange乘子3知识回顾：基本力学原理与运动方程的建立运动方程：描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。（有时也称为动力方程）运动方程是进行结构动力分析的基础运动方程的建立是结构动力学的重点和难点首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。4基本动力体系：

应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。质量；弹簧；阻尼器。单自由度体系：SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System

结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定

5基本动力体系两个典型的单自由度体系

(a)

单层框架结构

(b)弹簧―质点体系

物理元件：

质量集中质量m

阻尼器阻尼系数c

弹簧弹簧刚度k两个力学模型完全等效因为两个体系的运动方程相同

6基本力学原理与运动方程的建立（1）D’Alembert原理（直接动力平衡法）D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。

单质点体系的受力分析

7基本力学原理与运动方程的建立（1）D’Alembert原理

D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有D’Alembert原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。

D’Alembert原理的贡献：

建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。8运动方程的建立[可能位移；实位移；虚位移]

（2）虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移

u，则平衡力系在

u上做的总虚功为:

单质点体系的受力分析9基本力学原理与运动方程的建立（2）虚位移原理虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些

10Thesignificantadvantagesofdescribingtheresponseofdynamicsystemsbymeansofgeneralizedcoordinates,ratherthanbymerelyexpressingthedisplacementsofdiscretepointsonthestructure,havebeenemphasizedmanytimesinthistext,andvarioustypesofgeneralizedcoordinateshavebeenconsideredforthispurpose.Ithasalsobeenpointedoutthatdifferentapproachesmaybeusedtoadvantageinestablishingtheequationsofmotionforastructure,dependingonitsgeometricformandcomplexityaswellasthetypeofcoordinatesused.Uptothispoint,onlythedirectequilibrationandthevirtual­-workapproacheshavebeenemployed.ThepurposeofthischapteristodescribeanddemonstratebyexamplestheformulationoftheequationsofmotionforMDOFsystemsbythevariationalapproach.§16-1广义坐标11

阐述多自由度的变分方法时广泛地应用了广义坐标。N个自由度体系的广义坐标用任意一组N个独立的量来定义，这些量是完全独立的，所以广义坐标之间不得以任何方式通过体系上的几何约束相关联。GeneralizedcoordinatesforasystemwithNdegreesoffreedomaredefinedhereasanysetofNindependentquantitieswhichcompletelyspecifythepositionofeverypointwithinthesystem.Beingcompletelyindependent,generalizedcoordinatesmustnotberelatedinanywaythroughgeometricconstraintsimposedonthesystem.12

图16-1所示的古典双摆可以用坐标x1,y1,x2,y2给定两个质量m1和m2的位置。但这些坐标必须满足两个几何约束条件，即

(16-1)图16-1以铰连接的双摆由于这些约束条件，x1,y1,x2,和y2不是独立的，所以不能作为广义坐标。

另一方面，假定取和为坐标来确定m1和m2的位置，他们可以看成是完全独立的，而且是一组合适的广义坐标。13力学原理：不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基本最普遍的规律。力学原理分为两大类：不变分原理和变分原理；每一类可分为两种形式：微分形式、积分形式。不变分原理：

反映力学系统真实运动的普遍规律，如果原理本身只表明某一瞬时

状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理；如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机械能守恒原理即不变分的积分原理。基本力学原理与运动方程的建立（3）Hamilton原理14变分原理：

提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。如果准则是对某一瞬时

状态而言的，则该原理称为微分变分原理

。虚位移原理就是微分变分原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理，本章的哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理即积分原理。基本力学原理与运动方程的建立（3）Hamilton原理15基本力学原理与运动方程的建立（3）

Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)

Hamilton原理：在任意时间区段[t1,t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。T—体系的总动能；V—体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc—作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；δ—在指定时间段内所取的变分。对于静力问题:—最小势能原理。

16基本力学原理与运动方程的建立（3）Hamilton原理

Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量转动质量位能：拉伸弹簧转动弹簧多自由度体系：动能位能17基本力学原理与运动方程的建立用Hamilton原理建立体系的运动方程体系的动能：

位能(弹簧应变能)：因此能量的变分：非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：对上式中的第一项进行分部积分18基本力学原理与运动方程的建立（3）Hamilton原理19基本力学原理与运动方程的建立（3）Hamilton原理可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。变分法是求体系能量（功）的极值。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。20运动方程的建立(4)运动的Lagrange方程(微分形式的动力问题的变分原理)其中：

T——体系的动能；

V——体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；

Pncj——与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。21§16-3Lagrange运动方程基本力学原理与运动方程的建立Lagrange方程应用Lagrange方程方法建立体系运动方程的步骤：建立坐标系，确定广义坐标；建立广义坐标与物理坐标之间的关系；写出体系动能和势能的表达式；代入Lagrange方程写出体系的运动方程。22运动方程的建立(4)运动的Lagrange方程用Hamilton原理推导：Lagrange方程

23运动方程的建立(4)运动的Lagrange方程

用Lagrange方程方程建立体系的运动方程体系的动能：

位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到体系的运动方程：2425Lagrange方程是在特定条件下应用Hamilton变分原理的一个直接结果，条件就是能量和功能用广义坐标及它们对时间的导数和变分表示，如式（16-11）所示。因此Lagrange方程适用于满足这些限制的所有体系，而且它们可以是线性的，也可以是非线性。运动方程的建立(3)运动的Lagrange方程

2728运动方程的建立五种建立运动方程的方法的特点牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和接受D’Alembert原理。D’Alembert原理是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。更重要的是D’Alembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当结构具有分布质量和弹性时，直接应用D’Alembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是