新教材2023版高中数学课时作业十七两条直线平行与垂直的判定湘教版选择性必修第一册

课时作业(十七)两条直线平行与垂直的判定[练基础]1．与直线eq\r(3)x－y＋1＝0垂直的直线的倾斜角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)2．已知直线l1：ax＋y＋3＝0，l2：x－y＋1＝0，若l1∥l2，则a的值为()A．1B．－1C．－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)3．直线ax＋y－3＝0与直线y＝eq\f(1,2)x－1垂直，则a＝()A．2B．－2C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对5．“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．[2022·广东广州高二期中](多选)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，下列命题中正确的有()A．当m＝3时，l1与l2重合B．若l1∥l2，则m＝0C．当m≠3时，l1与l2相交D．若l1⊥l2，则m＝eq\f(1,2)7．经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程是________．8．[2022·湖南嘉禾一中月考]已知直线l1：x－ay＋1＝0，直线l2：ax－y－1＝0，若l1∥l2，则实数a的值为________．9．已知平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，C(eq\f(1,2)，m)，D(0，－3).(1)若点C在直线AB上，求m的值；(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值．[提能力]10．[2022·湖南沅陵一中高二期中](多选)已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论正确的是()A．AB∥CDB．AB⊥CDC．AC∥BDD．AC⊥BD11．(多选)直线3x＋2y＋6＝0，2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，则m的值可为()A．0B．1C．－1D．－eq\f(4,9)12．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，若四边形ABCD为直角梯形，则m＋n＝________．14．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．[培优生]15．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2021，2022)与点(m，n)重合，则m＋n＝()A．1B．2023C．4043D．4046课时作业(十七)两条直线平行与垂直的判定1．解析：由eq\r(3)x－y＋1＝0⇒y＝eq\r(3)x＋1，所以该直线的斜率为eq\r(3)，设与它垂直的直线的斜率为k，所以有eq\r(3)·k＝－1⇒k＝－eq\f(\r(3),3)，设与直线eq\r(3)x－y＋1＝0垂直的直线的倾斜角为α，α∈[0，π)，则有tanα＝－eq\f(\r(3),3)，所以α＝eq\f(5π,6).答案：D2．解析：由于l1∥l2，所以a×(－1)＝1×1⇒a＝－1，此时两直线不重合，所以a的值为－1.答案：B3．解析：因为已知两直线垂直，所以－a×eq\f(1,2)＝－1，a＝2.答案：A4．解析：kAB＝eq\f(3－5,－4－2)＝eq\f(1,3)＝kCD＝eq\f(3－0,6－（－3）)，kAD＝eq\f(3－0,－4＋3)＝－3，kCB＝eq\f(5－3,2－6)＝－eq\f(1,2)，则kAD≠kCB，所以AB∥CD，AD与BC不平行，kAD·kAB＝－1.因此AD⊥AB，故构成的图形为直角梯形．答案：B5．解析：∵两直线平行，∴1×2－(a－1)a＝0，解得a＝2或a＝－1，当a＝2时，两直线重合，舍去；当a＝－1时，两直线平行．所以“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的充要条件．答案：C6．解析：对于A，当m＝3时，直线l1为x＋3y＋6＝0，直线l2为x＋3y＋6＝0，即两线重合，故A正确；对于B，l1∥l2时，有m(m－2)＝3，解得m＝－1或m＝3(重合舍去)，故B错误；对于C，由B知，当m≠3，m＝－1时，l1∥l2，故C错误；对于D，l1⊥l2时，m－2＋3m＝0，即m＝eq\f(1,2)，故D正确．答案：AD7．解析：由题意，直线与2x＋y－5＝0垂直，直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，故所求直线的斜率为eq\f(1,2)，且经过点A(2，1)，故所求直线的方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.答案：x－2y＝08．解析：因为l1∥l2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×（－1）＝－a·a,1×（－1）≠1·a))，解得a＝1.答案：19．解析：(1)因为点C在直线AB上，所以kAB＝kAC，即eq\f(3＋2,－2－3)＝eq\f(3－m,－2－\f(1,2))，解得m＝eq\f(1,2).(2)因为直线AC与直线BD平行，所以kAC＝kBD，所以eq\f(3－m,－2－\f(1,2))＝eq\f(－2－（－3）,3－0)，解得m＝eq\f(23,6)，经检验两直线不重合，所以m＝eq\f(23,6).(3)因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，所以eq\f(3－m,－2－\f(1,2))·eq\f(－2－m,3－\f(1,2))＝－1，解得m＝eq\f(1±5\r(2),2).10．解析：因为kAB＝eq\f(－4－2,6－（－4）)＝－eq\f(3,5)，kCD＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kAC＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4)≠－eq\f(3,5)即C不在直线AB上，所以AB∥CD，故A正确，B错误；又kAC＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4)，kBD＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，故D正确，C错误．答案：AD11．解析：由题意，若3x＋2y＋6＝0和2x－3m2y＋18＝0垂直可得：3×2＋2×(－3m2)＝0，解得m＝±1，经验证当m＝1时，后面两条直线平行，构不成三角形，故m＝－1；同理，若3x＋2y＋6＝0和2mx－3y＋12＝0垂直可得：6m－6＝0，解得m＝1，应舍去；若2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0垂直可得：4m＋9m2＝0，解得m＝0或m＝－eq\f(4,9)，经验证均符合题意，故m的值为0，－1，－eq\f(4,9).答案：ACD12．解析：两直线垂直，则两直线的斜率之积为－1，根据韦达定理得到：k1＋k2＝2，k1·k2＝eq\f(m,2)＝－1⇒m＝－2，两直线平行，则两直线的斜率相等，故得到k2＝k1＝1，m＝2.答案：－2213．解析：如图1，当∠A＝∠D＝90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AB∥DC，且AD⊥AB.图1因为kDC＝0，所以m＝2，n＝－1.所以m＋n＝1.如图2，当∠A＝∠B＝90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AD∥BC，且AB⊥BC，图2所以kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－2)＝\f(2－（－1）,4－5)，,\f(n＋1,m－5)·\f(2－（－1）,4－5)＝－1，))解得m＝eq\f(16,5)，n＝－eq\f(8,5)，所以m＋n＝eq\f(8,5)，综上所述，m＋n＝1或eq\f(8,5).答案：1或eq\f(8,5)14．解析：四边形OPQR是矩形．证明如下：OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝eq\f(2＋t－2,1－2t－（－2t）)＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－eq\f(1,t)，PQ边所在直线的斜率kPQ＝eq\f(2＋t－t,1－2t－1)＝－eq\f(1,t)，所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，所以四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)))＝－1，所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形．又kOQ＝eq\f(2＋t,1－2t)，kPR＝eq\f(t－2,1＋2t)，令kOQ·kPR＝－1，即eq\f