新教材2023版高中数学课时作业十五空间向量运算的坐标表示湘教版选择性必修第二册

课时作业(十五)空间向量运算的坐标表示练基础1.若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|2a＋b|＝()A．eq\r(7)B．3C．eq\r(10)D．3eq\r(2)2．(多选)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是()A．a＋b＝(7，－5，0)B．a－b＝(5，－1，4)C．a·b＝8D．|a|＝eq\r(5)3．在空间直角坐标系中，已知A(－1，2，－3)，B(2，－4，6)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，则C点坐标为________．4．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq\f(5,4))，求证：△ABC是直角三角形．提能力5.已知两个向量a＝(1，2，1)，b＝(2，m，2)，若a⊥b，则m的值为()A．－4B．－2C．2D．86．已知向量a＝(1，0，m)，b＝(2，0，－2)，若a∥b，则|a|＝()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．27．已知向量a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－eq\f(2,5))，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．8．在空间直角坐标系O­xyz中，O为原点，已知点A(2，1，0)，B(3，2，2)，C(－1，1，4)，设向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若a与a－kb互相垂直，求实数k的值．9．已知四边形ABCD是空间直角坐标系O­xyz中的一个平行四边形，且A(0，1，2)，B(－2，0，5)，C(1，－2，4).(1)求点D的坐标；(2)求平行四边形ABCD的面积S.培优生10.如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．1D．eq\r(2)11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq\r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．课时作业(十五)空间向量运算的坐标表示1．解析：由于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝eq\r(42＋（－1）2＋12)＝eq\r(18)＝3eq\r(2).答案：D2．解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；|a|＝eq\r(1＋4＋4)＝3，故D不正确．答案：AC3．解析：设C点坐标为(x，y，z)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z＋3)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2－x，－4－y，6－z)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2（2－x）,y－2＝2（－4－y）,z＋3＝2（6－z）))，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2,z＝3))，故C点坐标为(1，－2，3).答案：(1，－2，3)4．证明：∵在空间直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq\f(5,4))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，1，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－1，－eq\f(7,4))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－5，－2，eq\f(9,4))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6－1＋7＝0，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．5．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即2＋2m＋2＝0，解得m＝－2.答案：B6．解析：由a∥b，则a＝λb，即1＝2λ，m＝－2λ，则λ＝eq\f(1,2)，m＝－2×eq\f(1,2)＝－1，所以a＝(1，0，－1)，则|a|＝eq\r(12＋02＋（－1）2)＝eq\r(2).答案：B7．解析：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－eq\f(2,5))＝3t－eq\f(52,5).因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5，3，1)＝λ(－2，t，－eq\f(2,5))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))所以λ＝－eq\f(5,2)，t＝－eq\f(6,5).故实数t的取值范围是(－∞，－eq\f(6,5))∪(－eq\f(6,5)，eq\f(52,15)).答案：(－∞，－eq\f(6,5))∪(－eq\f(6,5)，eq\f(52,15))8．解析：(1)由题，a＝(1，1，2)，b＝(－3，0，4)，故a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，|a|＝eq\r(6)，|b|＝5，所以cos〈a，b〉＝eq\f(5,\r(6)×5)＝eq\f(\r(6),6)，故a与b夹角余弦值为eq\f(\r(6),6).(2)由a与a－kb互相垂直知，a·(a－kb)＝a2－ka·b＝0，|a|2＝6，a·b＝5，即k＝eq\f(a2,a·b)＝eq\f(|a|2,a·b)＝eq\f(6,5).9．解析：(1)由题设，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，令D(x，y，z)，则(－2，－1，3)＝(1－x，－2－y，4－z)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＝－2,－2－y＝－1，,4－z＝3))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1,z＝1))，故D(3，－1，1).(2)由(1)知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，则cos∠DAB＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AD,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，又∠DAB∈(0，π)，则sin∠DAB＝eq\f(\r(3),2)，∴平行四边形ABCD的面积S＝2×eq\f(1,2)×|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|sin∠DAB＝7eq\r(3).10．解析：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，1，0)，B′(0，0，2)，C′(2，0，2)，eq\o(DC′,\s\up6(→))＝(2，－1，2)，eq\o(BB′,\s\up6(→))＝(0，0，2)，设eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC′,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，则E(2λ，1－λ，2λ)，设F(0，0，z)，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，z－2λ)，线段EF长最短，必满足EF⊥BB′，则有eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BB′,\s\up6(→))＝0，解得z＝2λ，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，0)，因此，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(（2λ）2＋（1－λ）2)＝eq\r(5λ2－2λ＋1)＝eq\r(5（λ－\f(1,5)）2＋\f(4,5))≥eq\f(2\r(5),5)，当且仅当λ＝eq\f(1,5)时取“＝”，所以线段EF长的最小值为eq\f(2\r(5),5).答案：B11．解析：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(eq\r(3)，0，0)，C(eq\r(3)，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，eq\f(1,2)，1)，从而eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，－2).设eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2\r(7))＝eq\f(3\r(7),14).∴AC与PB所成角的余弦值为eq\f(3\r(7),14).(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则eq\o(NE,\s\up6(→))＝(－x，eq\f(1,2)，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(NE,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→))＝0，,\o(NE,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(