高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.9点线间的对称关系-重难点题型精讲（学生版）

专题2.9点、线间的对称关系重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)【变式11】（2022·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为．【变式12】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式13】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是.【题型2直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【变式21】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（

）A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0【变式22】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9【变式23】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【题型3点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)【变式31】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（

）A．(1,−2) B．(2,1)C．(2,−1) D．(−1,2)【变式32】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（

）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【变式33】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【题型4直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为（

）A．x−3y+1=0 B．x−3y−1=0 C．x−2y−1=0 D．x−2y+1=0【变式41】（2022·江苏·高二专题练习）两直线l1:2x−y+1=0,l2:y=x，则直线lA．2x−y+1=0 B．x−3y+1=0 C．2x−3y+2=0 D．x−2y−1=0【变式42】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【变式43】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【题型5光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A1,0射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C−1,0，则点B的坐标为（A．−2,1 B．0,3 C．−1,2 D．−1,1【变式51】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x−y+4−23=0C．3x+y+4−23=0【变式52】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线y=x反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A．25 B．26 C．4 【变式53】（2022·山东淄博·高二期末）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．−∞,−14 B．−14【题型6将军饮马问题】【方法点拨】将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−1,−4，若将军从点A−1,2处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（A．13 B．17 C．217 D．【变式61】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−4,−4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（A．13 B．5 C．210 D．【变式62】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x+12+y−12≤1，若将军从点1,0A．12x+5y−12=0 B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0 D．11x+2y−11=0【变式63】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登