上海市金山区2024届高三上学期质量监控数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市金山区2024届高三上学期质量监控数学试卷一、填空题1.已知集合，，则________．〖答案〗〖解析〗两集合的交集为两集合相同的元素构成的，所以2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数=________.〖答案〗〖解析〗由题意知，该复数为，则.故〖答案〗为：.3.不等式的解集为_________．〖答案〗或〖解析〗根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故〖答案〗为：或4.双曲线的离心率为____．〖答案〗〖解析〗由题意得：5.已知角，的终边关于原点O对称，则______．〖答案〗〖解析〗角，的终边关于原点O对称，，.故〖答案〗为：.6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．〖答案〗〖解析〗由茎叶图可知：乙组数据的中位数为，甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：.

故〖答案〗为：.7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该该圆台的高为_________.〖答案〗〖解析〗作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，梯形的高即为圆台的高，即高为，故〖答案〗为：8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．〖答案〗〖解析〗根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.故〖答案〗为：9.已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为________．〖答案〗或〖解析〗因为，则，函数()在区间上严格增函数，所以，即；又因为的图像关于点对称，则（），则（），所以（），解得（），结合，所以或.故〖答案〗为：或.10.若，则________．〖答案〗〖解析〗令，则，所以，故〖答案〗为：.11.若函数的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________．〖答案〗〖解析〗由函数，则函数的图形过点，因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点，可得，且，可得，又由，且，可得，联立方程组，解得，所以，因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则必为函数的一个零点，即，可得，解得，所以.故〖答案〗为：.12.已知平面向量、、满足，且，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗根据题意不妨设，为坐标原点，则，即点到的距离比到点的距离大2，根据双曲线的定义可知的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则，又，易知C点轨迹为，显然C点轨迹为点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设，则，由题意，当时，此时点横坐标最小，由点到直线的距离公式可知，而双曲线渐近线下方，则，与双曲线方程联立，即，则，联立，即，由双曲线的性质可知满足的点横坐标无上限，故的取值范围是.故〖答案〗为：.二、选择题13.对于实数，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B.14.已知事件A和B相互独立，且，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意可．故选：A.15.如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）A.若，，则B.若，，则平面平面C.若，，则面D.若，，则〖答案〗D〖解析〗如图所示，对于选项A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，易知，所以平面，因为平面，所以平面平面，显然平面即平面，故B正确；如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知，因为平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，显然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正确；对于D项，显然时，与不平行，故D不正确.故选：D16.设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于给定的,集合是集合的任意一个子集与的并，故有种不同的取法，又,所以任意一个非空子集，共有种取法，因此，满足的有序集合对的个数为，由于有序对有个，因此满足的有序集合对的个数为故选：B.三、解答题17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．（1）证明：//平面；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，又平面平面，//平面．（2）解：平面是的中点，到平面的距离，四边形是正方形，，三棱锥的体积．18.已知数列满足，且．（1）求的值；（2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．解：（1）由，得，故，即.又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，.所以.（2）设数列满足，因为数列为严格增数列，故对正整数恒成立，即对正整数恒成立，当时，取到最小值.所以.19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）解：（1）过A，D作水平线，作如图，当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离），故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长与直角走廊的边相交于、，则，，，又，则，．设，因为，所以，所以，则，再令，则，易知，在上单调递增，所以单调递减，故当，即，时，取得最小值.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．20.已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．（1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；（2）若，且，证明：直线过定点；（3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解：焦点，斜率，故直线的方程为．（2）证明：联立消去，整理，得．易，即，设、，则，.由，即，得，由于，所以，直线，故直线过定点.（3）解：当时，．由于，所以，设，则.由，得，即．①联立消去，整理，得.由，得．于是．由，，且，得，从而，即，化简，得．②①②相减，整理，得．而，即，故，即．又当时，比如取，，满足题意，故存在点满足题意．.21.设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．（1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，可得，解得或(舍).故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.（2）解：设为该函数的“均值点”，则，且，即关于的方程在区间上有解，整理得，①当时