江苏省南通市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

南通市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用

0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算1.2,结果正确的是（）

A.3B.1D—3

2.据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次.将

1370000用科学记数法表示为（）

A-0.137X107B.137X10，C0.137X106D.137x106

3.下列计算正确的是（）

A・a2+a3=a6a3-a3=a6C-（a2）3=a5D-（ab）3=ab3

4.以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.调查某批次汽车的抗撞击能力

C.调查春节联欢晚会的收视率D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

5.如图，根据三视图，这个立体图形名称是（）

V

俯视图

A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥

6.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（)

A.24B.20C.10D.5

7.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一

尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩

余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（）

A.=y+4.5B.fy-x+4.5C.仔=y+4.5D.任=%+4.5

=y+1gy=x+i=y-1=x-l

8.若关于x的不等式组1,恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

Ix-a<0

A-7<a<8B-7<a<8c-7<a<8D-7<a<8

9-如图，^^ABCD^,AB//DC,DELAB,CFLAB'垂足分别为E，F,且必=EF=FB=5cnf

DE=12cm，动点尸，。均以Icm/s速度同时从点A出发，其中点尸沿折线AD_DC.CB运动到点停

止，点Q沿AB运动到点8停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为），（cm?），则y与，对应关系的图象大

10.平面直角坐标系X0中，直线v=2”与双曲线相交于A,B两点，其中点A在第一象限.设

*'y=/（k>2）

2）为双曲线上上一点，直线A",BM分别交丫轴于0，。两点，贝！I0C.0D的值为（）

'y=（k>2）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题（本大题共8小题，第n~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分.不

需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

2

11-分解因式：x2_9y=_____________

12.正五边形每个内角的度数是.

13.圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为icm，则该圆锥的侧面积为_________cm2.

14.下表中记录了一次试验中时间和温度数据.

时间/分钟0510152025

温度/℃102540557085

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃.

15.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后,

到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的B处，此时B处与灯塔尸的距离为海里（结果保留根号）.

16.若孙〃是一元二次方程炉+3%―1=0的两个实数根，叫1s的值为

3m-l

17.平面直角坐标系#0y中，已知点p（m,3/_9），且实数如〃满足m—n2+4=（r则点P到原点。的

距离的最小值为.

18.如图，在△ABC中，AC=BC'LACB=90D,以点A为圆心，43长为半径囱弧，父从。延长线于点。，

过点C作CE“AB，交于点连接BE,则工,的值为-

BE

三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

19・（1）化简求值：（2%一1尸+（%+6）（%一2y其中％=—75；

(2)解方程

---=0

X-3X

20.如图，利用标杆。后测量楼高，点A，D,B在同一直线上，DE’AUBCLAC'垂足分别为况C.若

测得4E=lm，DE=L5m，CE=5m，楼高BC是多少？

21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查.在相同条件下,

随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出

两种西瓜得分的统计图表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号1234567

甲种西瓜（分）75858688909696

乙种西瓜（分）80838790909294

甲、乙两种西瓜得分折线统计图

平均数中位数众数

甲种西瓜88a96

乙种西瓜8890h

（1）Ua—____________.bu_-____________;

（2）从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或"乙”）；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写

出他们的理由.

22.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为:

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的和等于5的概率.

23.如图，AB为00的直径，C为00上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为。，

乙CAD=35°,连接8C，

（1）求乙B的度数;

（2）若AB=2,求花的长・

24.A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下:

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500—300）X0.7=410（元）；

去8超市的购物金额为：100+（500-100）x0.8=420（元）•

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

25.如图，正方形［BCD中，点E在边AD上（不与端点4。重合），点A关于直线BE对称点为点F，连

接CF'设=

（1）求/"F的大小（用含&的式子表不）；

（2）过点C作CGJ.AF，垂足为G,连接DG-判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

（3）将&ABE绕点8顺时针旋转9。"导到△CBH,点E的对应点为点连接BF，f/f-当ABFH为等腰三

角形时，求sina的值.

26.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点

（L1）是函数】】的图象的“等值点”.

、，Jy=-%+-

,22

（1）分别判断函数V_、•+2V_返_Y的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标;

如果不存在，说明理由；

(2)设函数的图象的“等值点”分别为点A,B,过点8作BC±%轴，垂足为C.当

y=*>o),y=-x+b

△ABC的面积为3时，求〃的值；

（3）若函数y=产_2（不＞■m）的图象记为名，将其沿直线％=m翻折后的图象记为当［队两部分组

成的图象上恰有2个“等值点''时，直接写出机的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算1.2,结果正确的是（）

A.3B.1C._］D._3

【答案】C

【解析】

【分析】原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果.

【详解】解：］_2=_（2-1）=-1）

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键.

2.据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次.将

1370000用科学记数法表示为（）

A-0.137X107B.1.37x107C.Q.137X106D-1.37xlO6

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“xlO”的形式，其中1W间＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37x106.

故选：D.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl"的形式，其中仁同＜10,〃为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

3.下列计算正确的是（）

A,a3+a3=a6B,a3-a3=a6c-（a2）3=a5D-（ab）3=ab3

【答案】B

【解析】

【分析】根据合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可.

【详解】解：A.M+M=2胪，选项计算错误，不符合题意；

B.a3.a3=a6,选项计算正确，符合题意；

C.（a2）3=a6,选项计算错误，不符合题意；

D.（aby=a3b3,选项计算错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数塞的乘法、塞的乘方、积的乘方的

运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.调查某批次汽车的抗撞击能力

C.调查春节联欢晚会的收视率D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

【答案】A

【解析】

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果

比较近似进行判断.

【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；

B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；

C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；

D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵

活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，

对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

5.如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）

主视图左视图

V

俯视图

A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥

【答案】A

【解析】

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是

三棱柱.

故选:A.

【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空

间想象能力和综合能力.

6.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解.

【详解】解：如图所示：

:四边形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,

AC±BD,0A=0C=3,OD=OB=4,

RtAAOD中，AD=\0A2+0D2=5,

菱形ABCD的周长为：4X5=20,

故选B.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

7.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一

尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩

余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长了尺，可列方程组为（）

A仔=y+4.5B.fy=%+4.5C.pc=y+4.5D.仅=%+4・5

（|x=y+l=%+l=y-1=x-l

【答案】D

【解析】

【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长二绳长+1,据此可列方程组求解.

2

详解】解：设木长X尺，绳长y尺，

依题意得,y=x+4.5，

故选：D.

【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解.

8.若关于x的不等式组“丫*R、1）恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

Ix-a<0

A-7<a<8B-7<a<8c-7<a<8D-7<a<8

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案.

【详解】解：解不等式"+3>12,得：1

x

解不等式x_awO,得：x=a，

•••不等式组只有3个整数解，即5,6,7,

,,7<a<8"

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据

不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组.

9.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,DE_LAB,CFJ.AB，垂足分别为E，F,且四=EF=FB=5cm，

DE=12cm-动点尸，Q均以icm/s的速度同时从点A出发，其中点尸沿折线_DC.CB运动到点〃停

止，点。沿AB运动到点8停止，设运动时间为t(s)，AAPQ的面积为y(cm2)，则〉与，对应关系的图象大

【答案】D

【解析】

【分析】分四段考虑，①点尸在上运动，②点P在。C上运动，且点。还未到端点B,③点P在3c上

运动，且点Q到达端点B,④点尸在上运动，分别求出y与，的函数表达式，继而可得出函数图象.

【详解】解：在Rt/XADE中A£)=、，NE2+DE，=13(°机)，

在Rt/\CFB中,BC=7BF?+CF2=]3(cm)，

AB=AE+EF+FB=15(cm),

①点尸在4。上运动，AP=t,AQ=t,即0<£v]3，

如图，过点尸作PGLA3于点G,

),

此时产1A以尸6=6/°<t<13图象是一段经过原点且开口向上的抛物线;

——L

213

②点P在。C上运动，且点。还未到端点8,即13Vt<15，

此时y=AQxDE=6t(\3<t<山，图象是一段线段；

2

③点P在。C上运动，且点Q到达端点B,即15gtM18,

此时)=/BXOE=90(15Vt<18)，图象是一段平行于x轴的水平线段;

④点P在BC上运动，PB=3\-t,即18<t=3”

如图，过点P作PHLA8于点H,

,则PH=

sinB=^=^玄31—t)

此时产A3P”=(18<t<31),图象是一段线段;

工人90,,1170、。士力

---------E十---

21313

综上，只有D选项符合题意,

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与/的函数关系式,

10.平面直角坐标系xOv中，直线v=2x与双曲线a相交于A，8两点，其中点A在第一象限.设

'yy=£(k>2)

M(m,2)为双曲线;女上一点，直线AM，BM分别交>轴于。，。两点，则0c_0D的值为(

y=；(fc>2)

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线v_"与双曲线„相交于A,B两点，其中点A在第一象限求得.

12ay=：(k>2)月(季伍)

/_、，再根据2)为双曲线,上一点求得,、；根据点A与点M的坐标求得

B[-^,-yf2k),y=/(k>2)M(^2)

直线AM解析式为_,»可，进而求得r,r，根据点B与点时的坐标求得直线3M

2依yS-/0c=2反-k⑸

'V2k-kV2k-kVzk-k

解析式为_r进而求得_最后计算0C0D即可.

）、言+文%V2k+kVzk+k

【详解】解：・・,直线与双曲线L相交于48两点，

y—2%y=:（k>2）

联立可得：（y=2x,

-

必=y/2k.(y2=V2k-

•・,点A在第一象限，

M竽低）'B（一亨，一辰）

为双曲线上一点,

y=£(k>2)

2=m-

解得：，

m=-

Mg2)

设直线AM的解析式为y=%x+瓦，

将点E、与点„、代入解析式可得：（

“字®呜2）修=七普+匕

、2=七彳+3

解得：（

_27言-4

-V2k-k*

2^2k-lc/2k

囱=

V2k-k-

•••直线AM的解析式为=+,+•

=2标42Hg

'y/2k-k^2k-k

・.,直线AM与y轴交于C点,

・"c=O'

2^2k-4,2V2k-kV2k2vr2k-k\r2k

y=-n=—n0H------；=------

JcrV2k-kV2k-kV2k-k-

“C2V2fc-kv2kY

LVU，v^-k/

vk>2'

At_12V2k-fcV*2kI_项.

IVzfc-kIV2k-k

设直线BM的解析式为y=k、x+b~

将点,俄L\与点仆、代入解析式可得:

-(一亨)+

8（T，f国M&2）f-V2k=k2b2.

I2=424+%，

解得:

•・・直线BM的解析式为2加+,

y=^r"+Vik+k

•.•直线与y轴交于。点,

F=0・

=屈+-0+2皿反2^2k-k^2k^

“DV2k+kV2k+k质+k-

:k>2'

_IZvZk-fcVTfcI_k>f2k-2v2k

~IV2k+kI-V2k+k

O八Cc-U八Dc—-2V2=k-k-V-2-k--k-V2=k-2-V-2k

v2fc-kv2k+k

(2V2fc-kV2k)(V2k+k)(kv^-2V2k)(V2k-k)

(V2k-Jc)(V2k+k)(V2k+k)(V2k-k)

4k-2k2+2k>f2k-k2yf2k2k2-4k-k2y/2k+2ky/2k

=2k-kz2k-k2

_8k-4k2

=2k-k2

_4(2k-k2)

2k-k2

=4.

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程

组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键.

二、填空题(本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分.不

需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

2

H.分解因式：x2_9y=_____________

【答案】(x-3y)(x+3y)-

【解析】

【分析】根据平方差公式分解即可.

【详解】解：*2_gy2=(x-3y)(x+3y>

故答案为(x-3y)(x+3y)-

【点睛】本题考查了多项式因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.

12.正五边形每个内角的度数是.

【答案】108°

【解析】

【分析】先求出正〃边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数.

【详解】解：•.•正多边形的内角和为(n_2)xl80”

**•正五边形的内角和是(5-2)X180°=540”

则每个内角的度数是540。+5=108°*

故答案为：108,

【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识.

13.圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为icm，则该圆锥的侧面积为cm?.

【答案】2n

【解析】

【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2,直接利用圆锥的侧面积公式求出即可.

【详解】解：依题意知母线长=2,底面半径尸1,

则由圆锥的侧面积公式得5=仃/=%xlx2=2;r.

故答案为：2万.

【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键.

14.下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.

时间/分钟0510152025

温度/℃102540557085

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃.

【答案】52

【解析】

【分析】根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间f的式子表示此时的温度T,利用一

次函数的性质即可解决.

【详解】解：设时间为f分钟，此时的温度为T,

由表格中的数据可得，

每5分钟，升高15℃,故规律是每过1分钟，温度升高3℃,

函数关系式是T=3f+10；

则第14分钟时，即广14时，T=3X14+1O=52*C,

故答案为：52.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

15.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，

到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的8处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

【答案】25历

【解析】

【分析】先作PCLA8于点C,然后利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：如图，作PC_L于点C,

在放△APC中，AP=50海里，NAPC=90°-60°=30°,

PCV，52_252

AC_25海里'=°=25W海里,

在aaPCB中，PC=25O海里，NBPC=90°-45°=45°,

••・gc=25V3海里，

/.I-----------------海里，

PB=1(25V3)2+(25V3)2=25V6

故答案为：25、6

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定

理解决问题，解决的方法就是作高线.

16.若/«,〃是一元二次方程％2+34_1=0的两个实数根，贝13+7„。的值为--

3m—1

【答案】3

【解析】

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到*+3%1=0,则3%1:他根据根与系数的关系得出巾+〃=_3,

再将其代入整理后的代数式计算即可.

【详解】解：••加是一元二次方程f+3x・l=0的根，

/n2+3/n-l=0,

V/Ws〃是一元二次方程％2+31-1=0的两个根，

/./n+/?=-3,

••吧帖=吧竽m+7i)=3'

3m-l-m2'

故答案为：3.

【点睛】本题考查了根与系数关系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=o(aHo)的两根时，

,.也考查了一元二次方程的解.

bXX=c

靠1+算2=-:12"

17.平面直角坐标系式0y中，已知点p(m,3n2.9)，且实数〃?，w满足m_M+4=0,则点。到原点。的

距离的最小值为.

【答案】「

sVTo

【解析】

【分析】由已知得到点P的坐标为(巾，3m+3)，求得产气/而+(3m+3-=，10血2+18m+9,利用二

次函数的性质求解即可.

【详解】解：砂+4=0，

''n2=m+4'则3n2-9=3m+3'

点尸的坐标为(巾，3m+3)，

P0=y/m2+(3m+3)2=VlOm2+18m+9)

V10>0-

・“07712+18布+9当189时，有最小值，

m=---2-0=----1-0

且最小值为q9，

10

・・・P。的最小值为

叵_WTo'

q10-10

故答案为：一

【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键.

18.如图，在AABC中，AC-BC'Z-ACB-90°,以点A为圆心，月8长为半径回弧，父月。延长线于点。,

过点C作CE〃AB，交55于点连接BE，则口,的值为-

BE

【解析】

（分析］连接4E,过作A48,延长EC交4产于点F,过E作EGLBC于点G,设AC=BC=“，求出4尸=。尸=「，

一

2a

由勾股定理求出CE,再由勾股定理求出3E的长即可得到结论.

【详解】解：连接AE,过作AFL4B,延长EC交AF于点F,过E作EGLBC于点G,如图,

设AC=BC=a,

：LACB=90°

：,AB=\AC2+BC2=V2a'乙CAB=z.CBA=45°

：-AE=y[2a'""=45。

'-"CE//AB

'-^ECB=LCBA=45°

•・ZCB=90。

・・・UCF=45

AZ^FC=90°

AF=CF=^AC=^a

22

CE=x,则EE,

%+x

2

在用△AFE中，AF2+EF?=AE2

-*(^a)2+(^a+x)2=(V2a)2

解得，「L，lL(不符合题意，舍去)

Vfi-7^2-76-V2

%!=------ax=--------a

12222

CE=---2---a

・・・z£CB=45°,%GC=90°

:ZCEG=45°

"CG=GE=^CE=^x^=^a=—a

2222

BG=BC-CG=a--2a=­2a

在RtABGE中,BG?+GE2=BE2

BE=J("aj+(^。尸=(V3-l)a

.♦・If工厂

CE_~~^~a_V2

BE-(V3-l)a-2

故答案为：

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助

线构造直角三角形是解答此题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤)

19，(1)化简求值：(2x-iy+(x+6)(x-2)，其中*=一73；

(2)解方程.

_3=0

X-3X

【答案】(1)原式=4；(2)%=9.

【解析】

【分析】(D先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为5/_ip再将已知条件代入即可；

(2)根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可.

【详解】解：(1)(2X-1)2+(X+6)(X-2)

=4x2—4%+1+%2+4%-12

=5x2-11

当％=—V5时，原式=5婷-11=5x(「/J)?-11=4；

(2),

=0

X-3X

去分母得：2x_3(x_3)=(T

解得：x=9,

经检验，％=9是原方程的解.

则原方程的解为：x=9.

【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意

分式方程要检验.

20.如图，利用标杆。石测量楼高，点A,D,B在同一直线上，DE_LAUBCLAC'垂足分别为E，C.若

测得AE=Im，DE=1.5m，CE=5m，楼高BC是多少？

B

【答案】楼高BC是9米.

【解析】

【分析】先求出AC的长度，由DE〃BC，得到女DE'即可求出BC的长度.

AC-BC

【详解】解：.ZE=1m>CE=5m）

：'AC=6如

'：DELAC'BCLAC

：，DE〃BC

，△AOES”BC,

•竺_竺‘

AC—BC

"DE=1.5m'

"1_1.5'

6~BC

=9；

，楼高BC是9米.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查.在相同条件下,

随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出

两种西瓜得分的统计图表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号1234567

甲种西瓜（分）75858688909696

乙种西瓜（分）80838790909294

甲、乙两种西瓜得分折线统计图

平均数中位数众数

甲种西瓜88a96

乙种西瓜8890b

（］）a=-----------，b=-----------；

（2）从方差的角度看，一种西瓜的得分较稳定（填“甲”或"乙”）；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写

出他们的理由.

【答案】（1）a=88,b=90；（2）乙；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；

（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；

（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案.

【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88,所以中位数是88,即a=88,

将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90,即6=90,

故答案为：。=88,b=90；

（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得甲2,

故答案为：乙；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质

较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高.

【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确

解答的前提.

22.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为:

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的和等于5的概率.

【答案】（1）［；（2）工.

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的情况，再

利用概率公式求解即可求得答案；

【详解】解：（1）•••一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1,2,3,4,

随机摸取一个小球，”摸出的小球标号是奇数”的概率为：；

故答案为:

（2）画树状图得:

共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种;

两次取出小球标号的和等于5的概率为：

4

【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，A8为00的直径，C为00上一点，弦从石的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为

乙CAD=35°'连接BU

D

（1）求的度数;

（2）若48_2，求沃•的长.

【答案】（1）55°；（2）.

77r

18

【解析】

【分析】（1）连接。C,如图，利用切线的性质得到。C，。，则判断OC〃AE,所以ND4C=NOC4,然

后利用/0C4=/0AC得到NO48的度数，即可求解；

（2）利用（1）的结论先求得NAEO=/E4O=70。，再平行线的性质求得/COE=70。，然后利用弧长公式求

解即可.

【详解】解：（1）连接。C,如图，

：8是。。的切线，

OCVCD,

'：AE±CD,

：.OC//AE,

：.ZDAC=ZOCA,

'：OA=OC,ZCAD=35°,

：.ZOAC^ZOCA=ZCAD=35°,

为。。的直径,

・・・ZACB=90°,

・・・NB=900-NO4c=55。；

(2)连接OE,03如图,

由（1）得NE4O=NQ4C+NCA£>=70。，

•：OA=OE,

：.NAEO=NE4O=70。，

OC//AE,

：.ZCOE=ZAEO=70°f

：.AB=2f则OC=OE=1,

的长为F-.

dn?Zr—70?r_7?I

180—180-19

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

24.A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下:

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

8超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500—300）X0.7=410（元）；

去8超市的购物金额为：100+（500-100）x0.8=420（元）•

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出），关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：ro,9x（O<x<300）58商场y关于x的函数解析式：

），4=（60+0.7x（x>300）

(x(0<x<100);

)s=(20+0.8%(x>100)

(2)当2004V400时，去B超市更省钱；当〜钝。时，去人、8超市一样省钱；当*>400时，去A超市

更省钱.

【解析】

【分析】(1)利用促销方式，分别写出A、8两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数；

(2)小刚一次购物的商品原价超过200元，则可以确定8的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较

两函数值即可，注意分段讨论.

【详解】解：(1)A商场y关于x的函数解析式：f0.9%(0<%<300)，即：

以=(0.9X300+0.7(X-300)(x>300)

_ro.9x(o<x<300)；

)，4=[60+0.7x(x>300)

B商场y关于x的函数解析式：(x(0<x<100)，即：(x(0<x<100)：

=(100+0.8(%-100)(x>100)w=(20+0.8%(x>100)

(2)•..小刚一次购物的商品原价超过200元

工当20044300时'yA-yB=0.9x-(20-0.8x)=O.lx-20-

令X*一%=O'x=200'

所以，当200VxM300时，即以一去8超市更省钱；

当x>300时，yA-yB=(60+0.7x)-(20+0.8%)=40-0.1x)

令XA~VB=°'x=400,

所以，当二=400时，即以_)，g=0,此时去A、8超市一样省钱；

当300QCV400时，即以一)方>0，去B超市更省钱；

当x>400时，即以-为<0'去A超市更省钱；

综上所述，当2004V400时，去8超市更省钱；当*=400时，去斗、8超市一样省钱；当4>400时，去A

超市更省钱.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B

商场根据商品原价的取值范围分情况讨论.

25.如图，正方形ABCD中，点后在边AO上(不与端点A,。重合)，点4关于直线的对称点为点尸，连

接CF设乙4BE=a-

（备用图）

（1）求乙BCF的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CGj_月广垂足为G,连接DG。判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

（3）将&ABE绕点8顺时针旋转90。得到ACBH，点后的对应点为点”，连接BF，HF-当ABF//为等腰三

角形时，求sina的值•

【答案】⑴45°+a-

3DGHCF.理由见解析.

⑶仃,

T

【解析】

【分析】⑴作辅助线",用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等.再用三角形内角和为180。算出乙8CF•

（2）作辅助线8尸、AC,先导角证明&CFG是等腰直角三角形、AADC是等腰直角三角形.再证明

^ADM^AGC'^DGC^AFC最后用内错角相等，两直线平行，证得OG//CE

⑶ABFH为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,根据题目具体条件，舍掉了

②、③利第①种用正弦函数定义求出比值即可.

【详解】⑴解：连接BF,设A尸和BE相交于点N.

..点A关于直线BE的对称点为点F

.BE是4尸的垂直平分线

BELAF'AB=BF

・•・zJAF=LBFA

•・,^ABE=a

・•,LBAF=90a=^.BFA

/.zEBF=180o-90o-(900-a)=a

...四边形ABC。是正方形

:AB=BC,^BC=90°

・•・dBC=900・2a