(1.18)-6.8 数字高通、带通和带阻滤波器的设计

6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计模拟低通滤波器的设计方法基于模拟滤波器的频率变换，模拟高通、带通和带阻滤波器的设计方法。对于数字高通、带通和带阻的设计，通用方法为双线性变换。可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器，例如高通数字滤波器等。具体设计步骤：（1）确定所需类型数字滤波器的技术指标。（2）将所需类型数字滤波器的边界频率转换成相应类型模拟滤波器的边界频率，双线性转换公式为（6.5.1）

（3）将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。（4）设计模拟低通滤波器。（5）通过频率变换将模拟低通转换成相应类型的过渡模拟滤波器。（6）采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。【例6.5.1】设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad，阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解：

（1）确定数字高通滤波器的技术指标：ωp=0.8πrad,

p=3dBωs=0.44πrad,

s=15dB（2）将高通数字滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的设计指标：（3）模拟低通滤波器的技术指标计算：对通带边界频率(本例中就是3dB截止频率Ωc）归一化，即λp=λc=1，

p=3dB将λp=1和－Ωsh代入（6.2.51）式，求出归一化低通滤波器的阻带截止频率令T=2s，双线性变换法得到模拟边界频率：

（4）设计归一化模拟滤波器G(p)。查表6.2.1，得到归一化模拟低通原型系统函数G(p)为取N=2（5）利用频率变换公式（6.2.50）式将G(p)转换成模拟高通滤波器HHP(s)：（6）用双线性变换法将模拟高通Ha(s)转换成数字高通H(z)：程序ep651.m：wpz=0.8;wsz=0.44;rp=3;rs=15;[N,wc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs);%调用buttord和butter直接设计数字滤波器[Bz,Az]=butter(N,wc,'high');fkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('频率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-100,5])程序运行结果：

N=2；Bz=［0.1326－0.26530.1326］;

Az=［1.00000.73940.2699］数字滤波器损耗函数曲线3dB15dB图6.5.1高通数字滤波器损耗函数

【例6.5.2】希望对输入模拟信号采样并进行数字带通滤波处理，系统采样频率Fs=8kHz，要求保留2025～2225Hz频段的频率成分，幅度失真小于1dB；滤除0～1500Hz和2700Hz以上频段的频率成分，衰减大于40dB。试设计数字带通滤波器实现上述要求。

解这是一个用数字滤波器对模拟信号进行带通滤波处理的应用实例（先对模拟信号进行A/D变换，再进行数字带通滤波处理）。首先确定数字滤波器技术指标：为了使滤波器阶数最低，选用椭圆滤波器。调用MATLAB信号处理工具箱函数（ellipord和ellip）直接设计数字带通滤波器的程序为ep652.m。程序：ep652.m

fpl=2025;fpu=2225;fsl=1500;fsu=2700;Fs=8000;wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];%滤波器边界频率（关于π归一化）rp=1;rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);%调用ellipord计算滤波器阶数N和通带截止频率wpo[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo);%调用ellip计算带通滤波器系统函数系数向量Bz和Azfkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('频率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-60,5])程序运行结果:N=3wpo=［0.50620.5563］;ws=［0.37500.6750］B=［0.00530.00200.00450.0000－0.0045－0.0020－0.0053］A=［1.00000.57302.93791.09172.79190.51720.8576］由系数向量B和A可知，系统函数分子分母是2N阶多项式:

式中

绘出6阶椭圆数字带通滤波器损耗函数曲线图6.5.2六阶椭圆数字带通滤波器损耗函数曲线

【例6.5.3】希望对输入模拟信号采样并进行数字带阻滤波处理，系统采样频率Fs=8kHz，要求滤除2025～2225Hz频段的频率成分，衰减大于40dB；保留0～1500Hz和2700Hz以上频段的频率成分，幅度失真小于1dB。试设计数字带阻滤波器实现上述要求。

解首先确定数字滤波器技术指标：选用椭圆滤波器，ellip中加入滤波器类型参数′stop′，带阻。程序：ep653.mfpl=2025;fpu=2225;fsl=1500;fsu=2700;Fs=8000;wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];%滤波器边界频率（关于π归一化）rp=1;rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);%调用ellipord计算滤波器阶数N和通带截止频率wpo[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo,'stop');%调用ellip计算带通滤波器系统函数系数向量Bz和Azfkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('频率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-60,5])程序运行结果:N=3，wpo=[

0.38110.6750]

B=[0.3600

0.2078

1.0749

0.4094

1.0749

0.2078

0.3600]

A=[1.0000

0.3982

1.1068

0.3508

0.7452

0.0761

0.0178]根据系统函数系数向量B和A画出6阶数字椭圆带阻滤波器损耗函数曲线。

图6.5.3六阶椭圆数字带阻滤波器损耗函数曲线以上仅介绍了用双线性变换法设计数字高通、数字带通和数字带阻滤波器的基本步骤。

这种方法基于模拟滤波器的频率变换，即先设计模拟低通滤波器，再利用频率变换将模拟低通滤波器转换成所需类型的模拟滤波器（例如模拟高通滤波器），最后采用双线性变换法将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

如果设计的是数字低通或者数字带通滤波器，则也可以采用脉冲响应不变法。但对于数字高通或者数字带阻滤波器,则只能采用双线性变换法进行转换。

按照以上步骤设计数字滤波器的计算繁杂，MATLAB提供的滤波器设计工具箱函数就是按照这种理论来实现各种类型滤波器的设计的。工程实际中，调用对应函数就可以直接设计所需要的各种滤波器。请注意，对于滤波器的频率变换，除了本节介绍的模拟域的频率变换以外，在数字域也可以进行频率变换。

利用数字域频率变换的设计过程是：先将模拟低通滤波器采用脉冲响应不变法或者双线性变换法转换成数字低通滤波器，再在数字域利用频率变换将低通滤波器转换成所需类型的数字滤波器（例如数字高通滤波器）。

最后要说明的是，前面所介绍的IIR数字滤波器的间接设计法是通过先设计模拟滤波器，再进行s

z平面转换，来达到设计数字滤波器的目的的。

这种设计方法使数字滤波器幅度特性受到所选模拟滤波器特性的限制。例如，巴特沃斯低通幅度特性是单调下降，而切比雪夫低通特性带内或带外有上、下波动等。

对于要求任意幅度特性的滤波器，则不适合采用这种方法。数字域直接设计IIR滤波器的方法和FIR数字滤波器的设计方法可以解决这种问题。

IIR滤波器的数字域直接设计方法有零极点累试法、频域幅度平方误差最小法和时域直接设计法［1,3,12］。后两种方法都属于优化设