方程与不等式：一元一次方程（组）（答案版）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页2021全国中考真题分类汇编（方程与不等式）一次方程（组）一、挑选题1.(2021·安徽省)设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论准确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】举反例可判断A和B，将式子收拾可判断C和D．【详解】解：A．当，，时，，故A错误；B．当，，时，，故B错误；C．收拾可得，故C错误；D．收拾可得，故D准确；故选：D．2.（2021•甘肃省定西市）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，倘若每3人坐一辆车，那么有2辆空车；倘若每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】设共有x人，y辆车，按照“倘若每3人坐一辆车，那么有2辆空车；倘若每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设共有x人，y辆车，依题意得：．故选：C．3.（2021•湖北省武汉市）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价是y钱，则下列方程准确的是（）A．8（x﹣3）＝7（x+4） B．8x+3＝7x﹣4 C．＝ D．＝【分析】按照人数＝总钱数÷每人所出钱数，得出等式即可．【解答】解：设物价是y钱，按照题意可得：＝．故选：D．4.（2021•株洲市）方程解是（）A. B. C. D.【答案】D5.（2021•四川省成都市）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．倘若甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；倘若乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分离为x，y，则可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，按照题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得．【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，按照题意，得：，故选：A6（2021•四川省南充市）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，按照总价＝单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．故选：A．7.（2021•天津市）方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．【详解】，②-①得：，即，∴．将代入①得：，∴．故原二元一次方程组的解为．故选B．8.（2021•新疆）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则按照题意，下列方程组中准确的是（）A. B. C. D.【答案】D9.（2021•浙江省杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（）A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5 C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案．【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则25（1+x）＝60.8．故选：D．10.（2021•浙江省温州市）．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号准确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【分析】可以按照乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：按照乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣3x﹣2＝x，故选：D．11.（2021•江苏省无锡市）方程组的解是（）A． B． C． D．【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x的一元一次方程，从而解得x＝4，再将x＝4代入①解出y的值，即得答案．【解答】解：，①+②得：2x＝8，∴x＝4，把x＝4代入①得：4+y＝5，∴y＝1，∴方程组的解为．故选：C．12.（2021•黑龙江省龙东地区）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱所有用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买计划有（）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种【答案】A【解析】【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：，∴，∵，且x、y都为正整数，∴当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；∴购买计划有5种；故选A．13.（2021•齐齐哈尔市）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买计划共有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】B【解析】【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，按照总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买计划的个数．【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包，根据题意得：均为正整数，或或或小明共有4种购买计划．故选：B．二．填空题1.（2021•江苏省扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马天天走240里，慢马天天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．【答案】20【解析】【分析】设良马行x日追上驽马，按照路程=速度×时光结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，∴快马20天追上慢马，故答案为：20．2.（2021•山东省泰安市）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，按照题意，可列方程组为．【分析】按照乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．3.（2021•陕西省）．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a的值为﹣2．【分析】按照各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+3＝0+a﹣4，解得：a＝﹣7．故答案为：﹣2．4.（2021•广东省）二元一次方程组的解为_________．【答案】【解析】，①+②可得③，①－③得，，把代入③得因此，考查二元一次方程组的解法5.（2021•四川省凉山州）已知是方程的解，则a的值为______________．【答案】-1【解析】【分析】按照方程解的定义，将x=1，y=3代入方程，即可求得a的值．【详解】解：按照题意，将x=1，y=3代入方程，得：，解得：a=-1，故答案为：-1．6.（2021•浙江省嘉兴市）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解（答案不唯一）．【分析】把y看做已知数求出x，决定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，y＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．7.（2021•浙江省金华市）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是2．【分析】把方程组的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．8.（2021•浙江省绍兴市）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两；若每人9两，则差8两．银子共有46两．【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决．【解答】解：设有x人，银子y两，由题意得：，解得，故答案为46．9.（2021•重庆市B）方程2（x﹣3）＝6的解是x＝6．【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．【解答】解：方程两边同除以2得：x﹣3＝3．移项，合并同类项得：x＝6．故答案为：x＝6．【点评】本题主要考查了解一元一次方程．解一元一次方程常见的过程有去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1等．10.（2021•重庆市A）若关于x的方程的解是，则a的值为__________．【答案】3【解析】【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．【详解】解：按照题意，知，解得a=3．故答案是：3．11.（2021•湖北省江汉油田）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．倘若1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，倘若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；倘若将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．）【答案】20【解析】【分析】设绳索长尺，按照两种量竿的主意建立方程，解方程即可得．【详解】解：设绳索长尺，由题意得：，解得，即绳索长20尺，故答案为：20．三、解答题1.（2021•四川省广元市）解方程：．【答案】【解析】【分析】按照整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项并合并同类项得：，系数化为1得：，故答案为：．2.（2021•浙江省台州）解方程组：【答案】.【解析】【分析】看见方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.【详解】解：①+②得：3x=3，即x=1，把x=1代入①得：y=2，则方程组的解为.3.（2021•四川省眉山市）解方程组：．【分析】方程组收拾后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组收拾得：，①×15+②×2得：49x＝﹣294，解得：x＝﹣6，把x＝﹣6代入②得：y＝1，则方程组的解为4.（2021•呼和浩特市）解方程组解：，化简得①×12－②得：解得把代入①得：∴方程组的解为：5.（2021•江苏省扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．【答案】【解析】【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：方程组，把②代入①得：，解得：，代入①中，解得：，把，代入方程得，，解得：．6.(2021·安徽省)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖罗列而成，图1表示此人行道的地砖罗列方式，其中正方形地砖为延续罗列．[看见思量]当正方形地砖惟独1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，

[逻辑总结]（1）若人行道上每增强1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增强块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此逻辑再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2；（2）；（3）1008块【解析】【分析】（1）由图看见即可；（2）由每增强一块正方形地砖，即增强2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖惟独1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】解：（1）由图可知，每增强一块正方形地砖，即增强2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2；（2）由（1）可知，每增强一块正方形地砖，即增强2块等腰直角三角形地砖；当正方形地砖惟独1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；故答案为：；（3）令则当时，此时，剩下一块等腰直角三角形地砖需要正方形地砖1008块．7.（2021•湖南省邵阳市）为欢庆中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘教师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到小学后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清晰，如图．请按照图所示的发票中的信息，协助刘教师复原弄花的数据，即分离求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．【分析】设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价．【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．由题意得：，解得：，∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．8.（2021•