2022年3月四川泸县一中高二数学（理）下学期第一次月考卷附答案解析

年3月四川泸县一中高二数学（理）下学期第一次月考卷一、单选题1．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（

）A．72号 B．150号 C．256号 D．300号2．命题“若，则或”的否命题是A．若，则或B．若，则且C．若，则或D．若，则且3．某校甲､乙课外活动小组(两小组人数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲､乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用，表示，则（

）A．， B．，C．， D．，4．李大伯承包了一个果园，种植了棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：序号质量/千克据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（

）A．千克，元 B．千克，元C．千克，元 D．千克，元5．给出下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数，，则下列判断正确的是（

）A．是增函数 B．的极大值点是C．是减函数 D．的极小值点是7．已知、、为三个非零平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．如图，在正方体中，下面结论错误的是（

）A．平面 B．平面C．异面直线与所成角为 D．直线与平面所成角为9．在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A10．已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域D上运动，若区域D表示一个三角形，则a的取值范围是A． B． C． D．11．抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则（

）A． B．1 C．2 D．412．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、填空题13．已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为___________.14．函数的图象在处的切线方程为___________.15．已知点和圆，自点P引圆的割线，所得弦长为，则割线所在的直线方程为___________.16．已知函数，则的解集为____________.三、解答题17．阿波罗尼斯（约公元前262190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，动点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）求的最大值.18．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．19．如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，M是线段AB的中点.(1)求证：平面；(2)若垂直于平面ABCD且，求平面和平面ABCD所成的角的余弦值.20．为了防止脱贫后返贫，我市扶贫工作小组指导原一贫困村通过种植山药来提高经济收入，山药对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2019年种植的一批试验山药在温度升高时死亡的株数的6组数据：温度（单位：）212324272932死亡数（单位：株）61120275777经计算：，，，，，，，其中，分别为实验数据中的温度和死亡株数，，2，3，4，5，6.（1）若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求关于的回归方程（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得关于的回归方程，且相关系数为.①试与（1）中得回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果好的模型预测温度为时该山药死亡株数（结果取整数）.附：对于一组具有线性相关关系的数据，，……，，其回归直线的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，相关系数：21．已知函数.(1)讨论函数的单调性与极值；(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.22．已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明:；（3）试比较与，并证明你的结论．【答案】1.B【分析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本∴，即每隔16人抽取一人∵54号被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B故选：B2．D【解析】利用否命题的定义求解.【详解】命题“若，则或”的否命题是：若，则且故选：D3．C【分析】根据茎叶图特点可直接得出结果.【详解】根据茎叶图可得，甲组数据集中在310—330附近，乙组数据主要集中在320—350附近，则可判断乙组的平均数更高，即，并且乙组数据呈“单峰”分布，数据更集中，故标准差更小，即.故选：C.4．C【分析】先求出果园平均每棵树所产樱桃的质量，再算出棵樱桃树所产樱桃的质量，再乘以批发价格即可求解.【详解】由题意，知此果园平均每棵树所产樱桃的质量是：（千克），所以棵樱桃树所产樱桃的质量是：（千克），又樱桃的批发价格为每千克元，所以千克的樱桃所得的总收入为：（元）.故选：C.5．B【分析】根据导数运算法则计算可判断.【详解】①，故①错误；②，故②错误；③若，则，故③错误；④，故④正确．所以正确的个数是1个.故选：B.6．D【解析】求出求出函数的单调区间，从而可得出答案.【详解】由由解得，又，所以由，得或所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以函数在上不是单调函数，故A,C不正确.所以函数在处有极小值，在处有极大值.故选项B不正确，选项D正确.故选：D7．B【分析】根据题意，结合数量积的运算律，以及充分、必要条件的判断方法，即可求解.【详解】根据题意，由，得，因为、、都为非零向量，所以或，因此甲是乙的必要非充分条件.故选：B.8．D【分析】在A中，由，得平面；在B中，推导出，从而平面；在C中，由知异面直线与所成角为等边三角形中；在D中直线与平面所成角为.【详解】如图，在正方体中，在A中，由，平面，平面，得平面，故A正确；在B中，,可得平面,所以，同理可得，由，从而平面，故B正确；在C中，由知异面直线与所成角为或其补角，由三角形为等边三角形知，故C正确；在D中，平面，所以是在平面内的射影，所以直线与平面所成角为，中，,所以，故D错误.故选：D【点睛】关键点点睛：根据异面直线所成角、直线与平面所成角的定义，在图形中找到或者作出所求角，是解题的关键，属于中档题.9．A【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故，设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.故选：A．10．B【分析】先作出不含参数的两个不等式表示的区域，再分析当变化时，表示的区域的变化，即可得出答案.【详解】先作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由解得即.要使不等式组表示的平面区域表示一个三角形，则直线在点的下方，所以.故选B．【点睛】本题考查了不等式组表示的平面区域，一般先画不含参数的不等式表示的区域.11．C【解析】设过且斜率为1的直线方程为,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式,即可得出.【详解】设过且斜率为1的直线方程为,联立,化为,设,则,,解得.故选:C.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.12．D【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可．【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减；①又为，，的奇函数，为偶函数，在上单调递增；②又不等式，当，即时，式可化为，即，由①得，解得,此时；当，即时，式可化为，即，由②得，解得，此时综上所述，不等式的解集为：．故选：D．二、填空题13．【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，从而求出，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），所以，实轴长.故答案为：.14．【分析】求出导函数，可得切线斜率，从而得切线方程．【详解】由可得，所以，，所以的图象在处的切线方程为，即.故答案为：.15．或【分析】由弦长和半径求得圆心到直线的距离，设割线方程，根据点到直线距离公式即可求出割线方程．【详解】弦长为，半径为，所以圆心到直线的距离，易知割线的斜率一定存在，设割线，即，，即，解得或，所以割线方程为或．故答案为：或．16．【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性将转化为，解不等式即可.【详解】由题意知，定义域为R，，故为奇函数，又，故为增函数，由可得，即，解得.故答案为：.17．（1）；（2）45.【分析】（1）代入法求轨迹方程，设，根据题意得到方程．（2）由再转化代入求最大值【详解】（1）设，由题意可知即整理得，即为点的轨迹方程

；（2），由（1）得：，将其代入上式得，又∵∴当时，最大，最大值为45.【点睛】本题考查了求轨迹方程，以及考查求最值，是中档题．18(1)答案见解析；(2)和.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.19．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，易证为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得平面；（2）分别连接，，利用勾股定理可得，建立空间直角坐标系，运用法向量进行求解．【详解】(1)证明：连接，如图所示，为四棱柱，，，为的中点，，，底面是等腰梯形，，，，所以四边形为平行四边形，，，为平行四边形，，平面，平面，平面．(2)解：连接，，由（1）可知，且，四边形为平行四边形，，由题意，则为正三角形，因此，，，即，所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则：，由是的中点可知，所以，，设平面的一个法向量，得，令，则，，所以即平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，，平面和平面所成的角的余弦值为．20．（1）；（2）①用比拟合效果更好；②190株.【分析】（1）根据题意求出系数即可得到回归方程；（2）①通过计算即可比较拟合效果；②根据题意直接带入求值即可.【详解】（1）由题意可知，；∴关于的线性回归方程是；（2）①用指数回归模型拟合与的关系，相关指数，线性回归模型拟合与的关系，相关指数，且，∴用比拟合效果更好.②中，令，则，故预测温度为时该山药死亡株数约为190株.21．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.（2）时，，令，求函数的最小值，得到答案.【详解】(1)，.①当时，恒成立，在R上单调递增，无极大值也无极小值；②当，时，，时，，在上单调递减，在单调递增.函数有极小值为，无极大值.(2)若对任意，恒成立，则恒成立，即.设，则，令，解得，当时，，当时，，在上为减函数，在上为增函数，，，当时满足对任意，恒成立，实数a的取值范围为.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）求得，对的范围分类讨论即可求得的单调性．（2）将转化成，证明恒成立，利用导数求得，问题得证．（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：利用即可得：，问题得解．【详解】（1）函