2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）（附答案详解）

2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1.下列分数中，能化为有限小数的是（）

1

D.

9

2.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的是（）.

A.a+c>b+cB.c—a>c—bC.ac>beD.->-

CC

3.下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A.JB.V0^5C.娓

D.V50

4.抛物线y=-（%+2）2-3的顶点坐标是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.(-2,-3)

5.下列命题中，真命题是（）

A.周长相等的锐角三角形都全等

B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等

D.周长相等的等腰直角三角形都全等

6.矩形4BCD中，4B=8，BC=3遮，点P在边ZB上，且BP=

3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下

列判断正确的是（）

A.点B,C均在圆P外

B.点B在圆P外，点C在圆P内

C.点B在圆P内，点C在圆P外

D.点B,C均在圆P内

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.计算：a2-a3=.

8.因式分解：%2-9y2=.

9.如果关于％的方程--2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=

10.函数y=痔三的定义域是.

11.如果反比例函数y=是常数，k4O）的图象经过点（-1,2）,那么这个函数的解

析式是.

12.一次函数y=3x-2的函数值y随自变量x值的增大而（填“增大”或“减

小”）.

13.有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1

只杯子，恰好是一等品的概率是.

14.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880

平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是.

15.如图，4M是的中线，设向量四=五，BC=b>那么向入

量而7=（结果用方、b表本）.A/

16.如图，点B、C、D在同一条直线上，CE//AB,44cB=90。，如果4EC。=36。,

那么41=°.

17.如图，AB.AC都是圆。的弦，OMJLAB,ONkAC,垂足分别

为M、N,如果MN=3,那么BC=.

18.RtAABC中，已知4c=90°,NB=50°,点。在边BC上，BD=

2CD（如图）.把△4BC绕着点。逆时针旋转zn（0<m<180）度

后，如果点B恰好落在初始RMABC的边上，那么m.

三、解答题（本大题共7小题，共49.0分）

计算：（-3）°—旧+|1—四|+万片.

x-y=2

解方程组:

.x2-2xy-3y2=0

21.如图，点C、。分别在扇形40B的半径。4、0B的延长线上，且。A=3,AC=2,CD

平行于48,并与弧4B相交于点M、N.

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(1)求线段。。的长;

(2)若tan/C=I，求弦MN的长.

22.某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万

元/吨)与生产数量X(吨)的函数关系式如图所示.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量.

(注：总成本=每吨的成本义生产数量)

(2)如果。盾=BE-CE,求证：四边形4BFC是矩形.

24.已知平面直角坐标系xOy(如图)，一次函数y=+

3的图象与y轴交于点4点M在正比例函数y=|x的

图象上，且M。=M4二次函数y=/+—：+(;的图

象经过点4、M.

(1)求线段4M的长；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)如果点B在y轴上，且位于点4下方，点C在上述二次函数的图象上，点。在一次

函数y=：x+3的图象上，且四边形4BC0是菱形，求点C的坐标.

25.在Rt△4BC中，Z.ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是48边上任意一点，直线PE1

AB,与边力C或8c相交于E.点M在线段4P上，点N在线段BP上，EM=EN,

12

sin/EMP=—.

13

(1)如图1,当点E与点C重合时，求CM的长；

(2)如图2,当点E在边AC上时，点E不与点4、C重合，设力P=x,BN=y,求y关

于%的函数关系式，并写出函数的定义域；

(3)若的顶点4、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应)，

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4•♦4=0.3…故本选项错误；

8、：;二。.？故本选项正确；

C、；=0.142857…故本选项错误；

D、3=0.1…故本选项错误.

故选艮

本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果.

本题主要考查了有理数的除法，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关

键.

2.【答案】A

【解析】解：A：Q>6,，Q+c>b+c,故此选项正确；

B：a>b,

:.-a<—b,

:.-a+cV—b+c,

故此选项错误；

C：va>h,c<0,

・•・ac<be,

故此选项错误；

D：•：a>b,c<0,

ab

故此选项错误；

故选：A.

根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不

变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一个个筛选即可得到答案.

此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问

题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，准确把握不等式的性质是做

题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、］中被开方数是分数，故不是最简二次根式；

B、瓜中被开方数是分数，故不是最简二次根式；

C、通中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；

D、同中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；

故选：C.

根据最简二次根式的定义解答即可.

本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二

次根式，否则就不是.

4.【答案】D

【解析】解：•••抛物线的解析式为：y=-Q+2）2—3,

.•.此抛物线的顶点坐标为：（-2,-3）.

故选：D.

直接根据此二次函数的顶点式进行解答即可.

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：4、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，

假命题；

8、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：V2.故周长相等时，等腰直角三角形的对应

角相等，对应边相等，故全等，真命题.

故选D.

全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验.

本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念.关键是明确全等三角形

的对应边相等，对应角相等.

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6.【答案】C

【解析】解：如图，

•••四边形ABC。为矩形，

•••AD^BC=3通，

■■■AB=8,BP=3AP,

・•・AP=2,BP=6,

在中，AP=2,AD=3V5，

/.PD=>JAP2+AD2=7.

在RtZkPBC中，•••PB=6,BC=3A/5.

APC=7PB2+BC2=9，

PC>PD>PB,

.•.点B在圆P内，点C在圆P外.

故选：C.

由AB=8,BP=3Ap得到4P=2,BP=6,再根据勾股定理,在Rt△4DP中计算出PO=

7,在中计算出PC=9,则PC>PD>PB,然后根据点与圆的位置关系进行

判断.

本题考查了点与圆的位置：设。。的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在

圆外=6?>?*；点P在圆上=d=r；点P在圆内=d<r.

7.【答案】a5

【解析】解：a2y3=a2+3=a5.

故答案为：a5.

根据同底数的基的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.

熟练掌握同底数的基的乘法的运算法则是解题的关键.

8.【答案】Q+3y)Q—3y)

【解析】解：x2-9y2=(x+3y)(x-3y).

直接利用平方差公式分解即可.

本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.

9.【答案】1

【解析】

【分析】

本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值.

本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键.

【解答】

解：丫x的方程x2-2x+m=0(m为常数)有两个相等实数根

•••△=b2-4ac—(—2)2—4x1-m=0

4-4m=0

m=1

故答案为：1

10.【答案】xW3

【解析】解：依题意，得3-X20,

解得3.

故答案为：x<3.

二次根式有意义，被开方数为非负数，BP3-x>0,解不等式即可.

本题考查了函数的自变量取值范围的求法.关键是根据二次根式有意义时，被开方数为

非负数建立不等式.

11.【答案】y=~l

【解析】解：把(—1,2)代入反比例函数关系式得：k=—2,

2

•••y=-7

故答案为：y=~

根据图象过(-1,2)可知，此点满足关系式，能使关系式左右两边相等.

此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.

12.【答案】增大

【解析】解：•••一次函数y=3x-2中，k=3>0,

函数值y随自变量x值的增大而增大.

故答案为：增大.

根据一次函数的性质判断出一次函数y=3x-2中k的符号，再根据一次函数的增减性

进行解答即可.

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=履+”/<力0)中，k>0时，y随x的增

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大而增大.

13.【答案】1

O

【解析】解：在8只型号相同的杯子中，

一等品有5只，

则从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P=j.

O

故答案为《

共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答.

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事

件4出现m种结果，那么事件4的概率P(4)=?

14.【答案】20%

【解析】

【分析】

此题考查了一元二次方程的应用.对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为

a(l+x)2=b(a<b)；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a(l—x)2=

b(a>£>).

设增长率为x,根据题意即可列出方程.

【解答】

解：设增长率为X,根据题意可列出方程为：

2000(1+%)2=2880,

(1+x)2=1.44.

1+x=±1.2.

所以与=0.2,%2=-2.2(舍去).

故x=0.2—20%.

即：这个增长率为20%.

故答案是：20%.

"I-4

15.【答案】五+2b

【解析】解：•.,>!”是A/IBC的中线，前=下,

BM=-BC=-b,

22

v~AB=a>

.•.初=荏+的=五+3反

2

故答案为：a+^b.

首先由ZM是△力BC的中线，即可求得前的长，又由宿=荏+的，即可求得答案.

此题考查了平面向量的知识.题目难度不大，注意数形结合思想的应用.

16.【答案】54

【解析】解：•••/-ECD=36°,AACB=90°,

Z.ACD=90°,

Z.ACE=4ACD-乙ECD=90°-36°=54°,

vCE//AB,

•••"=AACE=54°.

故答案为：54°.

由N4CB=90。，NEC。=36。，求得/ACE的度数，又由CE〃4B,即可求得的度数.

此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

17.【答案】6

【解析】解："AB,4c都是圆。的弦，0M14B,ONLAC,

二M、N为AB、AC的中点，即线段MN为△ABC的中位线，

BC=2MN=6.

故答案为：6.

由ZB、AC都是圆0的弦，0M14B,ONLAC,根据垂径定理可知M、N为AB、AC的

中点，线段MN为△力BC的中位线，根据中位线定理可知BC=2MN.

本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理的运用.关键是由垂径定理得出两个中点.

18.【答案】80。或120。

【解析】解：如图，在线段4B取一点B',使CB=DB',在线段AC

取一点B",使DB=DB",

①旋转角m=乙BDB'=180-ADB'B一乙B=180°-2乙B=

80°,

②在RtaB"CD中,

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VDB"=DB=2CD,

•­/.CDB"=60°,

旋转角4BDB"=180°-4CDB”=120°.

故答案为：80。或120。.

本题可以图形的旋转问题转化为点8绕。点逆时针旋转的问题，故可以。点为圆心，DB长

为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边4B上的一点夕，交直角边AC于B",此时。夕=

DB,DB"=DB=2CD,由等腰三角形的性质求旋转角NBDB'的度数，在Rt△B"CD中,

解直角三角形求4CDB",可得旋转角ZBDB”的度数.

本题考查了旋转的性质.关犍是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角.

19.【答案】解：原式=1一3b+企一1+百一企

=—2>/3.

【解析】直接利用零指数塞的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答

案.

此题主要考查了零指数嘉的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化筒各数是

解题关键.

x—y=2①

{x2-2xy-3y2=0②

由①得y=x-2③

把③代入②,得%之—2x(%—2)—3(x—2/=0,

即/-4x+3=0

解这个方程，得久1=3,不=1

代入③中,得「：孤僚：二

原方程组的解为二;或

【解析】用代入法即可解答，把①化为y=x-2,代入②得化简/-■+3=0即可

解答.

本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个

未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即

可.

21.【答案】解：(1)vCD//AB,

・•・Z.OAB=(OCD,Z-OBA=Z.ODC,

・,.△OAB^^OCD,

OA_OB

,•~=，

OC0D

即，=空，

OA-^AC0D

又。4=3,AC=2,

・・.OB=3,

.__L

*,而一而‘

:.0D=5；

(2)过。作OE_LCO,连接0M,则ME=^MN,

vtanzC=即空=

2CE2

.♦.设0E=%,则CE=2x,

在RtAOEC中，OC2=OE2+CE2,即52=/+(2X)2,解得x=遍，

在RtZiOME中，O"2=OE2+ME2,即32=(6)2+ME?,解得ME=2.

MN=4,

答：弦MN的长为4.

【解析】(1)根据CD〃AB可知，&OAB八OCD,再根据相似三角形的对应边成比例即

可求出0D的长；

(2)过。作0E1CD,连接。M,由垂径定理可知ME=-MN,再根据tan4c=5可求出OE

的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.

本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股

定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

22.【答案】解：(1)利用图象设y关于x的函数解析式为了=/^+上

将(10,10)(50,6)代入解析式得：

flO=10k+b

16=50/c+b'

解得：

lb=11

y=--x+11(10<x<50)

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(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,

x(一-+11)=280,

解得：%!=40,x2=70(不合题意舍去)，

故该产品的生产数量为40吨.

【解析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，

但不超过50吨时，得出x的定义域；

(2)根据总成本=每吨的成本x生产数量，利用(1)中所求得出即可.

此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本x生产数量得出等式方程求

出是解题关键.

23.【答案】证明：（1）连接BD,

•••梯形4BCC中，AD//BC,AB=CD,

:.AC=BD,

vDE1BC,EF=DE,

・・・BD=BF,CD=CF,

­-AC=BF,AB=CF,

・•・四边形4BFC是平行四边形;

(2)vDE2=BE・CE

.DE_BE

,

CEDE

・••乙DEB=乙DEC=90°,

・•・△BDE~>DCE,

:.Z.CDE=Z-DBE,

・•・Z.BFC=乙BDC=乙BDE+Z-CDE=乙BDE+乙DBE=90°,

・•・四边形力BFC是矩形.

【解析】(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到AC=BD,再根据垂直平分线的性质得

到DB=FB,从而得到力C=BF,然后证得AC//BF,利用一组对边平行且相等判定平

行四边形；

(2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等,

从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.

本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个

知识点的综合题，但题目的难度不算大.

24.【答案】解：(1)在一次函数y=[x+3中,

当x=0时，y=3.

・•・4(0,3).

・・•MO=MA,

・・・M为04垂直平分线上的点，

可求04垂直平分线上的解析式为y=|,

又・••点M在正比例函数y=|x,

3

又・.T(0,3).

4A"g

・•・AM=——；

2

(2)•.•二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.可得

(l+b+c=|

I。+0+c=3,

解得pT

(c=3

:.y=%2-|x+3；

(3)•.•点。在一次函数y=jx+3的图象上，

则可设D(n\n+3),

设＜3),C(n,n2—jn+3)

•••四边形力BCD是菱形，

35132

•••\AB\=3-m,|DC|=\yD-wd=+3—优非+3)|=\—n-n|,

\AD\=J(n-O)2+(|n+3-3)2=|河，

•­•\AB\=\DC\,

■■3-m=^-n-n2,①，

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V\AB\=\DA\,

A3—m=|n,(2)

解①②得，=0(舍去)，n2=2,

将n=2,代入。(小*$+3),

6(2,2).

即：满足条件的点C坐标为。(2,2).

【解析】(1)先求出根据。4垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段4M

的长；

(2)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点4、待定系数法即可求出二次函数的解析式;

(3)可设。(n^n+3),根据菱形的性质得出。(除121n+3)且点C在二次函数

&=+得到方程求解即可.

本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公

式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大.

・•・AC=7AB2-BC2，

=V502-302,

=40,

•:CPLAB.

.ABCP_ACBC

,•2—2

30X4050CP

,________23：_______

2~~2

・•・CP=24,

：・CM=.-,

sinZEMP

24

=亘，

13

26；

(2＞sin"MP=石,

图2

二设EP=12a,

则EM=13a,PM=5a,

・・•EM=EN,

・・.EN=13a,PN=5a,

•・,△AEP^LABC,

PE_BC

APAC

12a_30

---——,

x40

X=16Q,

X

・•・a=一,

16

・•.BP=50—16a,

・•・y=50—21a,

=50-21x—,