2022届四川省成都某中学万达学校中考数学模拟试卷及答案解析

2022届四川省成都七中万达学校中考数学模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（）

3.下列图形中，不是轴对称图形的是（

D.

4.九年级参展作品中有4件获得一等奖,其中有2名作者是男生，2名作者是女生.现在

要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（）

1312

A.-B.-C.-D.一

4423

5.若耳蚩在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<^B.x<2C.x<|D.x^O

6.下列事件中，是必然事件的是（）

A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

7.如图，/1///2,等边△A8C的顶点A、B分别在直线入、12,贝叱1+/2=（）

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A.30°B.40°C.50°D.60°

8.RtZXABC中，ZC=90°，AC=V15,AB=4,则cosB的值是()

1

D.-

4

9.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其

长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰

好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题

意的是()

A.(x+2)2+(%-4)2=/B.(x-2)2+(x-4)2=/

C.7+(x-2)2=(%-4)2D.(x-2)2+x2=(x+4)2

10.如图所示，在平面直角坐标系中，直线yi=2x+4分别与x轴，y轴交于A,B两点，以

线段。8为一条边向右侧作矩形0CQ8,且点。在直线”=-X+A上，若矩形0CD8的

面积为20,直线yi=2r+4与直线”=-x+b交于点P.则P的坐标为（）

A.(2,8)B.(^-,C.(卷，D.(4,12)

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.（4分）3x（x-5）+2（5-x）分解因式的结果为.

12.（4分）将抛物线y=2/向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析

式是.

13.（4分）如图：在RtZvWC中，ZB=90°,以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分

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别交AC、8c于点E、F,再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交

于点P，作射线CP交AB于点。，若30=2,AC=6,则△AC。的面积为.

14.（4分）如图，若△ABC内接于半径为6的。0,且NA=60°,连接。3、0C,则边8c

的长为_______

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（12分）（1）计算：（一发2_6sin30°-（n-3.14）°-|V2-1|

7<4x+2

&x+3,并求出所有整数解之和.

16.（6分）已知x,y满足方程组求代数式（x-y）2-（x+2y）（x-2y）

的值.

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17.(8分)某校组织学生到恩格贝A和康镇8进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和

8分

别位于学校。的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从。出发，沿正北方

向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区

C,且C位于A,B两地中点处.

(1)求E,A两地之间的距离；

(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达8地，若这段路程限速100千米/时，计算

校车是否超速？

(参考数据：sin37°=|>cos37°=tan37°=*)

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18.（8分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，

课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查（问卷调查表如图1所示），并根据调查

结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题.

（1）本次接受问卷调查的学生有名.

（2）补全条形统计图.

（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.

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19.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线A8与y轴交于点8(0,7),与反比例函数

y=望在第二象限内的图象相交于点4(-1,a).

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E,与y轴交于

点。，求△4CD的面积；

(3)设直线CZ)的解析式为y=/nr+〃，根据图象直接写出不等式,?的解集.

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20.（10分）如图，△ABC内接于。0,NCBG=NA,CQ为直径，OC与A8相交于点E,

过点E作EFLBC,垂足为F,延长8交GB的延长线于点P,连接8D.

（1）求证：PG与。0相切;

EF5BE

（2）若==不求77的值；

AC8OC

（3）在（2）的条件下，若。。的半径为8,PD=OD,求OE的长.

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四、填空题（每小题4分，共20分）

21.（4分）已知关于x的方程a（x+〃z）2+6=0（a、氏/为常数，aWO）的解是xi=2,

X2=-1,那么方程a(X+/M+2)2+b=0的解

22.（4分）有六张正面分别标有数字-2,-1,0,2,3,4的不透明卡片，它们除数字不

同外其余均相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为加，

则使关于x的分式方程?竺-1=竺0有正整数解的概率为_______.

1-xx-1

23.（4分）如图，在AABC中，AB=AC,点A在y轴上，点C在x轴上，BC_Lx轴，tan

ZACO=延长AC到点。，过点。作DEL轴于点G,且OG=GE,连接CE,反比

例函数），=W（AWO）的图象经过点8，和CE交于点F,且CF：FE=2：1.若△ABE面

24.（4分）如图，在菱形A8CQ中，ZB=60°,点P是△ACO内一点，连接出、PC、

PD,若B4=5,PB=12,PC=13,则AC・BO=

25.（4分）矩形A8C。的边A8=4,边上有一点M,连接将MB绕M点逆时针

旋转90°得MN,N恰好落在CD上，过M、D、N作。O,。0与3c相切，。为OO

上的动点，连B。，P为3。中点，连AP,则AP的最小值为.

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五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26.（8分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩

形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18〃?，另外三边由36皿

长的栅栏围成.设矩形ABC。空地中，垂直于墙的边面积为（如图）.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160,次,求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和

每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可

以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.

甲乙丙

单价（元/棵）141628

合理用地（〃，/棵）0.410.4

B'-------------'C

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27.（10分）（1）证明推断：如图（1）,在正方形A3CQ中，点E,Q分别在边BC,43上，

QQJ_AE于点。，点G,F分别在边CD,45上，GFA.AE.

①求证：DQ=AE；

GF

②推断：）的值为_______;

AE

BC

（2）类比探究：如图（2）,在矩形A8CQ中，—=k（Z为常数）.将矩形ABC。沿GF

AB

折叠，使点A落在8c边上的点石处，得到四边形尸EPG,EP交CD于点、H,连接AE

交GF于点。.试探究G尸与AE之间的数量关系，并说明理由；

⑶拓展应用：在⑵的条件下，连接CP,当仁飘，若tan/CGP=',GF=2dIU,求

图(1)图(2)

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28.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,

抛物线y=-2%2+bx+c1过4,C两点，与x轴交于另一点8.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF=1BF

时，求sin/EBA的值.

(3)点N是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物

线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接

写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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2022届四川省成都七中万达学校中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（

2.设。为正整数，且同＜7+1,则。的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：・・・36V37V49,

A6<V37<7.

又二用Va+1,

・・・〃+127,

.♦.a26.

又为正整数,

：.a的最小值为6.

故选：B.

3.下列图形中，不是轴对称图形的是（

A.

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意:

8、是轴对称图形，故本选项不符合题意;

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意;

。、不是轴对称图形，故本选项符合题意.

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故选：D.

4.九年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生.现在

要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（）

1312

A.一B.-C.一D.一

4423

【解答】解：画树状图如下：

男男女女

/1\/K/4\z4\

男女女男女女男男女界界女

所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，

o2

则恰好抽中一男一女的概率是n

123

故选：D.

5.若与在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

V1-2X

11

A.x<2B.x<2C.x<2D.

【解答】解：由题意得，1-2x>0,

解得，xV±，

故选：A.

6.下列事件中，是必然事件的是（）

A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【解答】解：A.掷一次骰子，向上一面的点数是6,属于随机事件；

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件;

C.射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；

故选:B.

7.如图，h//l2,等边的顶点A、B分别在直线/1、12,则Nl+/2=（）

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71

2

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：力1〃/2,

.••Zl+ZCBA+ZBAC+Z2=180°,

•••△ABC是等边三角形,

，NCBA=NBAC=60°,

；./1+/2=180°-(ZCBA+ZBAC)=180°-120°=60°,

故选：D.

8.RtZ\A8C中，NC=90°，AC=V15,AB=4,则cosB的值是()

【解答】解：；NC=90°,AC=V15,A8=4,

BC=y/AB2-AC2=V16-15=1,

•oCB1

..COSB=^=4，

故选：D.

9.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其

长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线长恰

好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题

意的是()

A.(x+2)2+(%-4)2=，B.(%-2)2+(x-4)2—jr

C.7+(x-2)2—(x-4)2D.(x-2)2+^—(x+4)2

【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：

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(x-2)2+(x-4)2=/,

故选：B.

10.如图所示，在平面直角坐标系中，直线yi=2x+4分别与x轴，y轴交于A,B两点,以

线段。8为一条边向右侧作矩形0CD3,且点O在直线＞2=上，若矩形0CD8的

面积为20,直线yi=2x+4与直线*=r+匕交于点P.则尸的坐标为（）

A.(2,8)B.fC.g,苧)D.(4,12)

【解答】解：・・•直线yi=2x+4分别与x轴，y轴交于A,3两点,

：.B(0,4),

，O5=4,

•・•矩形OCDB的面积为20,

・・・0小。。=20,

:.OC=5,

：.D（5,4）,

在直线yi=-x+b上，

.*.4=-5+b,

:.b=9,

二.直线y2=~x+9,

解k

522

P（一，­）＞

33

故选：C.

二、填空题（每小题4分，共16分）

11.（4分）3x（x-5）+2（5-x）分解因式的结果为（x-5）（3x-2）

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【解答】解：原式=3x(x-5)-2(x-5),

=(x-5)(3%-2),

故答案为：(x-5)(3x-2).

12.(4分)将抛物线y=2d向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析

式是y=2(x+3)‘-I.

【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移1个单位得y=2?-1,再向左平移3个单位，得

y=2(尤+3)2-1；

故所得抛物线的解析式为y=2(x+3)2-1.

故答案为：2(x+3)2-1.

13.(4分)如图：在RtZ\ABC中，NB=90°,以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分

别交4C、BC于点E、F,再分别以点E、尸为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交

于点尸，作射线CP交AB于点。，若BD=2,AC=6,则△4C£>的面积为6.

【解答】解：如图，作£>QJ_AC于。

由作图知CP是NACB的平分线，

VZB=90°,BD=2,

:.DB=DQ=2,

'：AC=6,

11

；.SAACD=^AC-DQ=Ix6X2=6,

故答案为：6.

14.(4分)如图，若△ABC内接于半径为6的O。，且NA=60°,连接。3、OC,则边8c

的长为

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【解答】解：过点。作OO_L5c于点。，如图所示:

则BD=CD,

:△ABC内接于半径为6的。0,且NA=60°,

：.ZBOC=2ZA=120°,C0=B0=6,

：.ZOBC=ZOCB=30°,

0D=为1B=3,

；.BO=V62-32=3V3,

:.BC=2BD=6W,

故答案为：6V3.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（12分）（1）计算：（一；）-2-6sin30°-（n-3.14）°-|V2-1|

（x—7V4%+2

（2）解不等式组：卜+5x+3，并求出所有整数解之和.

【解答】解：（1）原式=4-6x：-l-（V2-1）

=4-3-1-V2+1

=l—y/2；

x-7<4%+2①

⑵）x+5尤+3小

解不等式①得x>-3,

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解不等式②得xWl,

原不等式组的解集是-3VxWl,

...原不等式组的整数解是-2,-1,0,1,

•••所有整数解的和-2-1+0+1=-2.

16.(6分)已知x,y满足方程组二1，求代数式(x-y)2-(x+2y)(x-2y)

的值.

【解答】解：原式=(x2-2xy+y2)-(x2-4y2)-2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2,

方程组F-5y=-2©,

{2x+5y=-1@

①+②得：3x=-3,即x=-1,

把x=-1代入①得：)，=1

则原式=|+卜|.

17.(8分)某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和

B分

别位于学校。的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从。出发，沿正北方

向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区

C,且C位于A,8两地中点处.

(1)求E,A两地之间的距离;

(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算

校车是否超速？

4?

,cos37°=耳，tan37°=1)

【解答】解：(1)如图，作CH1_A£＞于H.

由题意N"EC=45°,可得CH=EH,设C77=〃E=x千米,

:点C是AB的中点，CH//BD,

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：.AH=HD=（x+15）千米，

CH

在RtZXACH中，tan37°=滞，

■1_乂

**4一%+15'

•.x=45,

二CH=45（千米），AH=60（千米），A£）=120（千米）,

：.EA=AD-DE=\20-15=105（千米）.

（2）在RtZXAC”中，AC=V452+602=75（千米）,

：.AB=2AC=i5O（千米），

：150/=90千米/小时，

V90<l00,

，校车没有超速.

18.（8分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，

课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查（问卷调查表如图1所示），并根据调查

结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题.

（1）本次接受问卷调查的学生有100名.

（2）补全条形统计图.

（3）扇形统计图中3类节目对应扇形的圆心角的度数为72。.

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.

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学校部分学生喜爰电视制部分学生喜爰电视

【解答】解：(1)本次接受问卷调查的学生有：36+36%—100(名),

故答案为：100;

(2)喜爱C的有：100-8-20-36-6=30(A),

补全的条形统计图如右图所示；

(3)扇形统计图中8类节目对应扇形的圆心角的度数为：360°X益=72°,

故答案为：72°；

O

(4)2000x^=160(人)，

答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人.

学校部分学生喜爰电视

,直线AB与y轴交于点B(0,7),与反比例函数

)，=基在第二象限内的图象相交于点A(-1,a).

(1)求直线AB的解析式;

(2)将直线A3向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E,与y轴交于

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点。，求△ACC的面积；

(3)设直线CD的解析式为y=,nx+〃，根据图象直接写出不等式g?的解集.

【解答】解：(1))•••点A(-1,“)在反比例函数)，的图象上，

.".a=—?=8,

一1

(-1,8),

♦点B(0,7),

设直线A8的解析式为y=fcc+7,

:直线A8过点A(-1,8),

二8=-k+7,解得火=-1,

二直线AB的解析式为y=-x+7；

(2)•••将直线AB向下平移9个单位后得到直线CO的解析式为y=-x-2,

：.D(0,-2),

：.BD=1+2=9,

联立C二针,咻二豌：:，

：.C(-4,2),E(2,-4),

1

连接8C,则△C8O的面积=*x9X4=18,

由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△CD8面积相等,

•••△ACO的面积为18.

(3)VC(-4,2),E(2,-4),

・••不等式tnx+n<¥的解集是：-4Wx<0或x22.

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20.（10分）如图，5c内接于OO,NCBG=NA,CD为直径,OC与AB相交于点E,

过点E作E凡L8C,垂足为E延长C。交GB的延长线于点P,连接8D.

(1)求证：PG与OO相切;

EF5BE

(2)若就/标的值;

(3)在（2）的条件下，若的半径为8,PD=OD,求OE的长.

【解答】解：（1）如图，连接05,则08=0。

•:NBAC=NBDC、/BDC=NGBC,

:・/GBC=/BDC,

•「CQ是。0的直径,

.\ZDBO+ZOBC=90°,

第22页共36页

；・/GBC+NOBC=90°,

：.ZGBO=90°,

JPG与。O相切；

(2)过点0作0MLic于点M,连接。4,

则ZA0M^ZC0M=^ZAOC,

'：AC=AC,

：.ZABC=^ZAOC,

又：NEFB=NOMA=90°,

,△BEFSAOAM,

EFBE

AM-OA

'：AM=|AC,OA=OC,

EFBE

(3),:PD=0D,NP8O=90°,

：.BD=OD=S,

在RtADBC中，BC=yjDC2-BD2=8A/3,

又；OD=OB,

...△OOB是等边三角形,

AZDOB=60°,

■:ND0B=NOBCMOCB,OB=OC,

，NOCB=30°,

.EF1FCr-

••一，-V。，

CE2EF

可设EF=x,则EC=2x、FC=V3x,

:.BF=8取一用x,

第23页共36页

：.BE=IO,

在RtZ\BEF中，BE1=EF2+BF2,

，100=7+(8V3-V3x)2,

解得：x—()±y[13,

V6+V13>8,舍去，

/•x—6—V13>

.\EC=12-2713,

.*.(?£=8-(12-2V13)=2V13-4.

四、填空题(每小题4分，共20分)

21.(4分)已知关于x的方程a(x+〃?)2+b=0(a、b、m为常数,aWO)的解是xi=2,

xi=-1,那么方程a(x+/n+2)2+b=0的解X3=O,X4=-3.

【解答】解：♦.,关于x的方程aCx+m)2+/>=0的解是©=2,%2=-1,Ca,m,〃均为

常数，aWO),

二方程a(x+m+2)2+6=0变形为«[(x+2)+m]2+Z>=0,即此方程中x+2=2或x+2=-1,

解得x=0或》=-3.

故答案为：X3=0,X4=-3.

22.(4分)有六张正面分别标有数字-2,-1,0,2,3,4的不透明卡片，它们除数字不

同外其余均相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为〃?，

则使关于x的分式方程上史-1有正整数解的概率为--

1-xx-1-2—

【解答】解：方程两边同乘以1-X,

1-mx-(1-x)=-(w2-1),

•••有正整数解，

且m+1>0,

：.m>-1且*0,

使关于x的分式方程上？竺一1=/二有正整数解的有：2,3,4,

1-xx-1

，使关于x的分式方程：m*-1=——^有正整数解的概率为：I=7-

1-xx-162

第24页共36页

故答案为：

23.（4分）如图，在△A3C中，A8=AC点A在），轴上，点。在x轴上，式轴，tan

ZACO=j.延长AC到点。，过点。作。轴于点G,且。G=GE,连接CE,反比

例函数y号（丘0）的图象经过点3,和CE交于点E且CF：FE=2：1.若△ABE面

【解答】解：过点A作AML8C,垂足为M,

9：AB=AC,

:.BM=CM,

•tan/-ACO—可=

・,•设04=2m，OC=3m,则8c=4m，因此点C（3m,0）、B（3m,4机）,

•・・£>EJ_x轴于点G,且OG=GE,

:・CE=CD,

：.ZECG=ZDCG=/ACO,

FG2

tanZECG—否=tanZAC0=可，

设EG=2〃，则CG=3〃，因此点E（3，〃+3〃，2H）,

又,：CF：FE=2：1.即点尸是CE的三等分点，

4

:.点产（3m+2〃，-n）,

3

把3（3〃力4/n）和b（3加+2〃，不）代入反比例函数y=［得，

4

%=3〃2・4根=（3〃Z+2〃）-T?,即（3m-2〃）（3加+〃）=0,

3

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.../!=[3机,

15

・••点E的坐标为（―3m）,

••・^△A8E=6=S梯形A8C0+S梯形BCGE~S梯形AOGE，

1]9115

:（2m+4/n）X3/w+2（4〃?+3〃2）x2,n-2（2加+3加）义无m=6.

2

解得m=l,

:.E（——，3）,

2

故答案为：（万，-3）.

24.（4分）如图，在菱形A8C。中，NB=60°,点尸是△AC。内一点，连接以、PC、

PD,若必=5,PB=12,PC=\3,则AC・BD=180+169百.

【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AP,连接PP',作AELBP

于£

•.•四边形ABCZ）是菱形,

：.AB=BC,

•.♦NABC=60°,

.•.△ABC是等边三角形,

：.AB=BC^AC,

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■：AP'=AP,ZP'AP=60°,

...△AP'P是等边三角形，

：.AP'=AP=PP'=5,

VZP'AP=ZBAC,

：.ZP'AB=ZPAC,

AB^/XPAC(SAS),

:.BP'=PC=13,

:P'P2+PB2=52+122=169,P'B2=132=169,

：.P'P2+PB2=P'B2,

：.ZP'PB=9Q°,

VZAPP'=60°,

，/4PB=150°,ZAPE=180°-150°=30°,

在Rt/XAPE中，AP=5,NAPE=30°,

：.AE=^AP=I，P£=cos30°XAP=岁,

：.AB2=AE1+BE2,=(|)2+(12+竽)2=169+60K,

•。1、，“n一一16973

=

Qx—45H----；—,

••S^ABCzz4

又：S^KABCD—2S^ABC=2AC,BD,

：.AC'BD=-4SMBC=180+16975,

故答案为：180+169V1

25.（4分）矩形A8CQ的边A8=4,边A。上有一点M,连接将MB绕M点逆时针

旋转90°得MN,N恰好落在C。上，过M、D、N作。0,。。与8c相切，。为。0

上的动点，连B。，尸为BQ中点，连AP,则AP的最小值为—歼~5_.

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【解答】解：设。。与BC的交点为尸，连接08、0F,如图1所示.

°EFC

图1

：△"/)可为直角三角形，

为。。的直径，

与。。相切，

将MB绕M点逆时针旋转90°得MN,

：.MB=MN,

...△BMN为等腰直角三角形，

VZAMB+ZNMD=\SO°-ZAMN=90°,NMBA+/A仞B=90°,

：.NNMD=NMBA,且BM=NP,NA=NNMD=90°,

:./\ABMqADMN(AAS),

：.DM=AB=4,DN=AM,

设£W=2a,则AM=2a,OF=4-a,

BM=\/AB2+AM2=2V4+a2,

•：BM=MP=2OF,

.\2V4+a2=2X(4-a),

解得：a=I，

35

:.DN=2a=3,。/=4-2=］，

..•。。半径为I.

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如图2,延长3A,使A”=A3=4,连接HQ,OH,过。作0GJ_A3于G,

1

：.AP=^HQ,HQ//AP.

・・・当HQ取最小值时，AP有最小值，

・・・当点。在“0时，”。的值最小，

511

・・・HG=4+4-]=芸,GO=3+4-2=5,

/.0H=>JHG2+GO2=J苧+25=

：.HQ的最小值=零一|=也要，

:221-5

：.AP的最小值为------,

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26.（8分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩

形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18根，另外三边由36〃?

长的栅栏围成.设矩形A8C。空地中，垂直于墙的边A8=x〃?，面积为），加2（如图）.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160病，求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和

每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可

以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.

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甲乙丙

单价(元/棵)141628

合理用地(加2/棵)0.410.4

——18加,A]

^1p

-----------'c

【解答】解：(1)y—x(36-2x)=-2?+36x(9«18)

(2)由题意：-

解得x=10或8.

•.”=8时，36-16=20>18,不符合题意,

.••X的值为10.

(3)Vj=-2?+36x=-2(x-9)2+162,

；.x=9时，y有最大值162,

设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，

由题意：14(400-a-Z?)+16a+286=8600,

...“+76=1500,

二6的最大值为214,此时a=2,

需要种植的面积=0.4。(400-214-2)+1X2+O.4X214=161.2<162,

这批植物可以全部栽种到这块空地上.

27.(10分)(1)证明推断：如图(1),在正方形4BCC中，点E,。分别在边BC,AB上，

DQLAE于点。，点G,F分别在边CQ,AB上，GF±AE.

①求证：DQ=AEi

GF

②推断：■的值为1;

BC

(2)类比探究：如图(2),在矩形ABC。中，一=k(%为常数).将矩形ABC。沿GF

AB

折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE

交GF于点0.试探究G尸与4E之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k=京、j,若tan/CGP=GF=2V10,求

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CP的长.

图⑴图(2)

【解答】(1)①证明：；四边形A8CO是正方形,

：.AB=DA,/ABE=90°=NZMQ.

AZQAO+ZOAD=90°.

'：AE±DH,

：.ZADO+ZOAD=90Q.

：.ZQAO^ZADO.

：.^ABE^/\DAQ(ASA),

：.AE=DQ.

GF

②解：结论：—=1.

AE

理由：-：DQ.LAEfFG.LAE,

：.DQ//FG,

*：FQ//DG,

・・・四边形DQFG是平行四边形，

：.FG=DQ,

*：AE=DQ,

:・FG=AE,

故答案为1.

FG

⑵解：结论：-=k.

理由：如图2中，作GMJ_A5于M.

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图⑵

VAE±GF,

AZAOF=ZGMF=ZABE=90°,

•••NR4E+NA/0=90°,ZAFO+ZFGM=90°,

；・NBAE=NFGM,

：.△ABES^GMF,

•_GF_G_M_

••=，

AEAB

VZAMG=ZD=ZDAM=90Q,

・・・四边形AMGD是矩形，

：.GM=AD,

.GFADBC

••'=k•

AEABAB

(3)解：如图2中，作PM_L5C交BC的延长线于M.

图⑵

，：FB〃GC,FE//GP,

：.ZCGP=ZBFE,

3RF

：.tanZCGP=tanZBFE=:器

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.可以假设B£=3A,BF=4k,EF=AF=5k,

FG2,—

—=FG=2710,

AE3

.AE=3同,

.（3氏）2+（9氏）2=（3710）2,

-K