2022年中考数学：一次函数

2022年中考数学专题：一次函数

L函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k-l=

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=2x-l与直线y=

kx+b(k*0)相交于点P(2,3).根据图象可知，关于x的不等式2x-l>

kx+b的解集是()

A.x<2B.%<3C.x>2D.%>3

3.下列函数图象中，表示直线y=2x+l的是（）

4.若二次函数y=a/+法+c（ar0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b

与反比例函数y=在同一个坐标系内的大致图象为（）

5.某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s,力对物体所做的功

W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（）

6.如图，已知直线Z1：y=-2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原

点。且将AAOB的面积平分的直线12的解析式为（）

7.已知一次函数y=kx-k过点（-1,4）,则下列结论正确的是（）

A.y随％增大而增大

B.k=2

c.直线过点（1,0）

D.与坐标轴围成的三角形面积为2

8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人

机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单

位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示.下列说

A.5s时，两架无人机都上升了40m

B.10s时，两架无人机的高度差为20m

C.乙无人机上升的速度为8m/s

D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m

9.如图，一次函数y=x+V2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把

直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC长为（

）

A.V6+V2B.3V2C.2+V3D.V3+V2

10.定义：一次函数y=ax+b的特征数为［a,句，若一次函数y=-2x+m

的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-|的图象交于A,B

两点，且点力，B关于原点对称，则一次函数y=-2x+m的特征数是(

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,—3]

11.将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为—.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=，x+手与。。相交于力,

B两点，且点A在久轴上，则弦AB的长为.

13.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系

如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得一元.

卖出数量

.(5,4*)

^^(10段)

力/千克

14.已知函数y=依经过二、四象限，且函数不经过(-1,1),请写出一个符合条

件的函数解析式

15.在正比例函数y=依中，y的值随着x值的增大而增大，则点P(3,k)在第

象限.

16.如图，A,B两点的坐标分别为4(4,3),B(0,-3)，在x轴上找一点P,

使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是—.

17.如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点，点P,C分别是线

段AB,0B上的点，且AOPC=45°,PC=PO,则点P的标为.

18.当自变量时，函数y=为常数)的最小值为k+3,则满

足条件的k的值为.

19.将直线y=T+l向左平移巾(m>0)个单位后，经过点(1,-3),则m的值

为•

20.为庆祝〃中国共产党的百年华诞“，某校请广告公司为其制作〃童心向党''文艺

活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广

告公司制作每件产品所需时间和利润如表：

产品展板宣传册横幅

制作一件产品所需时111

间(小时)52

制作一件产品所获利20310

润(元)

(1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、

宣传册和横幅的数量；

(2)若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品

总量的最小值.

21.如图，一次函数y=%+2的图象与反比例函数y=：的图象相交，其中一个

交点的横坐标是1.

(1)求k的值；

(2)若将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到

的图象与反比例函数y=：的图象相交于A,B两点，求此时线段4B的长.

22.黔东南州某销售公司准备购进4、B两种商品，已知购进3件4商品和2件

B商品，需要1100兀；购进5件4商品和3件B商品，需要1750兀.

(1)求4、8两种商品的进货单价分别是多少元？

(2)若该公司购进力商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运

往甲、乙两地销售.已知每件4商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和

25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若运往甲地

的商品共240件，运往乙地的商品共260件.

①设运往甲地的4商品为x(件),投资总运费为y(元),请写出y与x的

函数关系式；

②怎样调运人B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投

资总费用=购进商品的费用+运费)

23.《九章算术》中记载，浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭

壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐

上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿

制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间X（小02468

时）

箭尺读数y（厘618304254

米）

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间X.纵轴

表示箭尺读数外描出以表格中数据为坐标的各点.

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条

直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明

理由.

【结论应用】应用上述发现的规律估算:

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米?

②如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那当箭尺读数为90厘米时是

几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

p（厘米）

54*

浮箭漏示意图rin-n-j-Tr-r

48

42

36

30

24

18

12

6

O1234567897（小时）

图②

24.如图，直线y=kx+2与双曲线y=相交于点AB，已知点A的横

坐标为1.

（1）求直线y=k%+2的解析式及点B的坐标;

（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC.求经过

点C的双曲线的解析式.

25.超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2

元/千克，同样数量的苹果只用200元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过

100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元

）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完,

据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量%（千克）的关系为z=

-言x+12.在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一

天购进苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

26.如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以

的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点

Q）一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点。处沿45。仰角爬升，到4km

高的4处便立刻转为水平飞行，再过lmin到达B处开始沿直线BC降落，要

求lmin后到达C（1O,3）处.

（1）求。力的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求BC的％关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少.

［注：（1）及（2）中不必写s的取值范围］

27.学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点4顺时针旋转一定

的角度«，能得到一个新的点P',经过进一步探究，小明发现，当上述点

P在某函数图象上运动时，点P'也随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成

一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设71(1.1),a=90。，点P是一次函数y=kx+b图象上的动点，

已知该一次函数的图象经过点Pi(-1,1).

(1)点Pi旋转后，得到的点P/的坐标为—(1,3)_；

(2)若点P'的运动轨迹经过点P/(2,l),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设4(0,0),a=45。，点P是反比例函数y=<0)的图象上

的动点，过点P'作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M,求AOMP'的

面积.

【灵活运用】

如图3,设4(1,一百)，a=60。，点P是二次函数y=i%2+2>/3x+7图

象上的动点，已知点B(2,0)、C(3,0),试探究ABCP'的面积是否有最小值?

若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.

28.在〃看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知学

校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km,陈列馆离学校

20km.李华从学校出发，匀速骑行0.6ft到达书店；在书店停留0.4九后，

匀速骑行0.5/1到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回

学校途中，匀速骑行0.5/1后减速，继续匀速骑行回到学校.给出的图象反

映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应

关系.

(I)填表：

离开学校的时0.10.50.813

间m

离学校的距21012

离/km

(II)填空：

①书店到陈列馆的距离为—km；

②李华在陈列馆参观学习的时间为h；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为—km/h；

④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为h.

(Ill)当04x41.5时，请直接写出y关于x的函数解析式.

29.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农

产品的利润是40元.

(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司

当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？

(2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司

要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利

润最大？最大总利润是多少？

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参考答案

1.C

[※解析※]

根据一次函数图象经过的象限找出大6的正负，再结合根的判别式即可得出

△>0,由此即可得出结论.

解：根据图象可得k<0,b<0,

所以b2>0,-4k>0,

因为△=-4(k-1)=b2-4k+4>0,

所以△〉o,

所以方程有两个不相等的实数根.

2.C

[※解析※]

以两函数图象交点为分界，直线y=+在直线y=2x-l的下方时

x的取值范围即可.

解：根据图象可得：不等式2x-l>kx+b的解集为：x>2,

3.B

[※解析※]

根据一次函数的图象和性质判断图象经过哪几个象限即可作出选择.

解：-k=2>0,b=l>0,

二直线经过一、二、三象限.

4.D

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[※解析※]

根据二次函数图象可a、b、c的符号，然后确定一次函数y=ax+b与反比

例函数的图象所在的象限.

解：：抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴正半轴

上，

**-Q<0,----->0,c>0,

2a

*•b>09

・•・一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图

象在第二、四象限.

5.C

[※解析※]

设出“与s的解析式，把s=20,〃=160代入，求出比例系数即可得解析

式.

解：设“与s的关系解析式为W=Ks(K^0),

当s=20时，W=160,

把(20,160)代入上式得，

160=20K,

解得K=8,

W=8s,

6.D

[※解析※]

根据已知解析式求出点A、B的坐标，根据过原点。且将△HOB的面积平分列

式计算即可.

解：如图，当y=0,-2x+4=0,解得x=2,则4(2,0)；

当x=0,y=-2x+4=4,则B(0,4),

.•.4B的中点坐标为(1,2),

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•.・直线%把2M0B面积平分

・•・直线6过AB的中点，

设直线。的解析式为y=kx,

把（L2）代入得2=3解得k=2,

•••%的解析式为y=2x>

7.C

[※解析※]

把点（-1,4）代入一次函数y=kx-k,求出k的值，根据一次函数图象与性

质的关系对4、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后

算出三角形的面积，即可对。进行判断.

解：把点（一L4）代入一次函数y=kx-k,得，

4=—k—fc,

解得k=-2,

：•y——2.x+29

4、k=—2<0,y随x增大而减小，选项4不符合题意；

B、k=-2,选项B不符合题意；

C当y=0时，—2x+2=0,解得：x=1,

・•・一次函数y=-2x+2的图象与X轴的交点为（1,0）,选项C符合题意；

。、当x=0时，y=-2x0+2=2,与坐标轴围成的三角形面积为|xlx2=

1,选项。不符合题意.

8.B

[※解析※]

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设甲的函数关系式为丫尹=ax,把(5,40)代入得：40=5a,解得a=8,

y尹=8x,

设乙的函数关系式为丫乙=依+无把(0,20),(5,40)代入得：

｛扃解得工

，yz=4x4-20,

4、5s时，甲无人机上升了40加，乙无人机上升了20加，不符合题意；

B、10s时，甲无人机离地面8x10=80勿，

乙无人机离地面4x10+20=60®,相差20加，符合题意；

a乙无人机上升的速度为竺三=4Ws,不符合题意；

以10s时，甲无人机距离地面的高度是80加.

9.A

[※解析※]

根据一次函数表达式分别求出点4和点B的坐标，得到404B为等腰直角三

角形和AB的长，过点C作CDLAB,垂足为D,证明4ACD为等腰直角三角

形，设C0=40=x,结合旋转的度数，用两种方法表示出BD,得到关于x

的方程，解之即可.

解：••・一次函数y=x+&的图像与x轴、y轴分别交于点4、B,

令x=0,则y=/，令y=0,则x——\/2»

则0),B(0,企)，

则404B为等腰直角三角形，乙4BO=45。，

•••AB=J(鱼/+(应尸=2，

过点C作CDLAB,垂足为D,

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AC=yjAD2+CD2=V2x,

••・旋转,

乙ABC=30°,

・•.BC—2CD=2x,

BD=y/BC2-CD2=y/3x,

又BD=AB+AD=2+x,

2+x=V3x,

解得：x=V3+1»

•••AC=V2x=V2(V3+1)=V6+y/2,

10.D

[※解析※]

把一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y=

-2x+m+3,联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方

程，设4aL，0）,8（必，0），所以乙与必是一元二次方程的两根，根据

根与系数关系，得到勺+外=等，又4B两点关于原点对称，所以x1+x2=

0,则等=0,得到m=-3,根据定义即可得到一次函数y=-2x+7n的特

征数.

解:将一次函数y=-2x+m向上平移3个单位长度后得到y--2x+m+3,

（

设4（%i，0）,BX2,0）,

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・,.2x2—(m+3)x—3=0,

和是方程的两根，

771+3

X1+%2=—»

又A,B两点关于原点对称,

,*•+%2=0,

•吧=八

:.m=-3,

根据定义，一次函数y=-2x+m的特征数是[-2,-3],

11.y=-6x-2

[※解析※]

根据解析式“上加下减”的规律进行解答即可.

解：将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=

-6%—2,

12.2^/3

[※解析※]

过。作OD1AB于D,设直线AB交y轴于C,求出4、C坐标，得到。4、

OC长度，可得^CAO=30°,RPAOD中求出入。长度，从而根据垂径定理可得

答案.

解：设直线48交y轴于C,过。作0D148于D,如图：

在y=^x+竽中，令x=0得丫=竽

「小2凤门62V3

•••C(0,—),oc=—

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在丁=果+手中令y=o得枭+亭=0,

J3333

解得%=-2,

・・・A(-2,0),OA=2,

.243

Rt4Aoe中，tan/CA。=—==—'

OA23

・・・4&40=30。，

Rt“AOD中，AD=OA-cos30°=2x曰=遮,

vOD1AB,

:.AD=BD=V3,

・•・AB=2>/3,

13.yk

[※解析※]

根据图像求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解.

解：设卖出的苹果数量y与售价久之间的函数关系式为y=m%+n,

(5m+n=4/c

tlOm+n=k9

解得：=

In=7/c

3

Ay=--fcx+7/c,

x=8口寸，y=-/x8+7k=2k,

现以8元卖出，挣得(8-5)Xyfc=

14.y=-2x

[※解析※]

根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解.

解：•.・函数y=依经过二、四象限，

Afc<0.

若函数y=依经过(-1,1)»则l=-k,即k=-1,

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故函数y=依经过二、四象限，且函数不经过(-1,1)时，k<0且k〜1,

二函数解析式为y=-2x,

15.一

[※解析※]

根据正比例函数的增减性推出k的取值范围，易得点P所在的象限.

解：•••在正比例函数y="中，y的值随着％值的增大而增大，

k>0,

二点P(3,k)在第一象限.

16.(2,0)

[※解析※]

连AB交x轴于点P',求出直线4B的解析式，直线48与x轴交点坐标就是

使线段PA+PB的值最小的点P的坐标.

解：如图，连接AB交x轴于点P',

根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求，

设直线4B的关系式为：y=kx+b,

[4k+b=3

Ib=-3'

解得P=1,

Lb=-3

3

:•y=5%—3o,

当y=0时,%=2,

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17.(-2V2,4-2V2)

[※解析※]

过户作如_L%于〃，先求出A,B的坐标，得/483/力庐45°,再证明

△PC的从而求出BD=2V2,勿=4-2y[2,进而即可求解.

【详解】如图所示，过尸作PD10C于〃

,一次函数y=X+4与坐标轴分别交于/,B两点,

.•.4(-4,0),B(0,4),即：OA=OB,

：.AABO=AOAB=45°,

...△应人是等腰直角三角形，

APBC=ACPO=WAP=45°,

乙PCB+乙BPC=135°=N0P4+乙BPC,

乙PCB=LOPA,

又•：PC=OP,

△PCBSAOPA(AAS),

40=BP=4,

Rt^BDPdp,BD=PD=BPV2=272,

OD=OB-BD=4-2V2,

P6-2V2,4-2V2>.

18.—2

[※解析※]

分两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为卜+3列出方程,

即可得答案.

解：当时，函数y=|x-k|=x-k,此时y随x的增大而增大，

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而-l《x43时，函数的最小值为k+3,

二x=-1时取得最小值，即有-1-k=k+3,

解得k=—2,（此时一l4x43,成立），

当x<k时，函数y=|x-刈=-％+k,此时y随x的增大而减小,

而-l4x43时，函数的最小值为k+3,

:x=3时取得最小值，即有-3+k=k+3,

此时无解，

19.3

[※解析※]

根据平移的规律得到平移后的解析式为y=-（x+m）+l,然后把点（1,-3）

的坐标代入求值即可.

解：将直线y=-x+l向左平移>0）个单位后所得直线为：y=~（x+

m）+1.

将点（1,—3）代入，得-3=-l+l-m.

解得m=3.

20.（1）制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件;

（2）75件

21.（1）3；（2）4V2

[※解析※]

⑴将x=l代入y=x+l=3,故其中交点的坐标为（1,3）,将（L3）代入

反比例函数表达式，即可求解；将x=l代入y=x+2=3,

•••交点的坐标为（L3）,

将（1,3）代入y=p

解得：fc=1x3=3；

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(2)一次函数y=%+2的图象向下平移4个单位得到y=x-2,一次函数

和反比例函数解析式联立，解方程组求得4、B的坐标，然后根据勾股定理

即可求解.

将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度得到y=x-2,

y=x—2

{

解得：忧:或仁二；，

8(3,1),

•••AB=J(3+1)2+(1+3尸=4V2.

22.(1)/商品的进货单价为200元，8商品的进货单价为250元；(2)①y与

x的函数关系式为y=4x+125040；②调运240件8商品到甲地，调运200

件/商品、60件6商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元.

[※解析※]

(1)设4商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，

根据题意，得偌篙：黑,

解得Y二盟，

答：4商品的进货单价为200元，8商品的进货单价为250元；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-切件，

运往甲地的B商品为(240-吟件，运往乙地的B商品为(60+x)件，

则y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040,

・••y与x的函数关系式为y=4x+10040；

②投资总费用w=200X200+300x250+4x+10040=4x+125040,

自变量的取值范围是：0《x(200,

vfc=4>0,

・•.y随x增大而增大.

当x=0时，w取得最小值，W炭=125040(元),

••・最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件4商品、60件B商

品到乙地，最小费用为125040元.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

答：调运240件8商品到甲地，调运200件4商品、60件B商品到乙地总费

用最小，最小费用为125040元.

23.【探索发现】①见解析；②y=6x+6；【结论应用】①78厘米；②22点钟.

[※解析※]

【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所

对应的函数表达式为y=kx+b,利用待定系数法即可求解；

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①利用前面求得的函数表达式求出x=12时，y的值即可得出箭尺的读数；

②利用前面求得的函数表达式求出y=90时，x的值，由本次实验记录的开

始时间是上午8:00,即可求解.

解：【探索发现】①如图②,

p（厘米）

54*

48-「一

42

36

30

24

18

12r

6

23456789x（小时）

图②

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上,

设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b,

则（2/c+b=18，

解得：｛冷，

・•・y=6%+6；

【结论应用】应用上述发现的规律估算:

①x=12时，y=6x12+6=78,

••・供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米;

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②y=90时，6x+6=90,解得：久=14,

供水时间为14小时，

,:本次实验记录的开始时间是上午8:00,8:00+14=22:00,

二当箭尺读数为90厘米时是22点钟.

24.(1)尸-0.5户2；点6坐标为(3,0.5)；

(2)过点。的双曲线解析式为y=l.

[※解析※]

(1)将点4的横坐标代入双曲线的解析式中，求出点4的纵坐标，在将点

4的坐标代入直线4B的解析式中，求出k,最后联立直线4B的解析式和双

曲线的解析式，得出方程组求解，即可得出点B的坐标；

(2)过点4作％轴的垂线，过点8作y轴的垂线，两线相交于点F,过点

C作CDLAF,交4F于D,过点C作CE1B尸于E,得出Z.DCE=90°,进而

判断出/-ACD=/.BCE,即可根据44s判断出AACD^ABCE,得出AD=BE,

CO=CE,设点求出4D=n—|,CD=m—1,BE=3—m,CE=n-1»

进而建立方程组求解得出点C的坐标，即可得出结论.

解：(1)•••点4在双曲线y=?上，且点4的横坐标为1,

点力的纵坐标为Y=|,

•••点火球)，

■:点、4(1,令在直线y=kx+2±,

二k+2=|,

k=-三,

••・直线AB的解析式为y=-\x+2,

(_L5

联立直线48和双曲线的解析式得，\y=J,

(y=--x+2

%—[(x3

V二3(点4的纵横坐标)或V二】，

{y-2iy~2

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・••8(3》

(2)如图，过点力作》轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F,

过点C作CDLAF,交AF于D,过点C作CE，BF于E,

・•・Z.D=Z.F=Z-CEF=乙CEB=90°,

・•・四边形CD/E是矩形，

・・・乙DCE=90°,

•・•乙ACB=90°,

:.Z-ACD=Z-BCE,

•••以线段AB为斜边在直线4B的上方作等腰直角三角形ABC,

:.AC—BC,

AAACD三4BCE(44S),

:.AD=BE,CD=CE,

设点C(m,n),

31

31

=n_J

AAD2。。=m一1，BE=3—m,CE=n—5,

(3

n—=o3—m

21,

m—1=n——

I2

・•・卜=I,

In=2

2),

设过点C的双曲线的解析式为y=£

.%=2x-=5,

2

・・・过点c的双曲线的解析式为y=|.

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25.(1)苹果的进价为10元/千克;

(10x(0<%<100)

(2)

y=(8%+200(%>100);

(3)一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大.

[※解析※]

(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结

果；

(2)根据自变量的不同取值范围：04x4100和x>100,得出两个函数关

系式即可；

(3)根据自变量的不同取值范围：0<%<100fl100<x<300,得出两个

二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果.

(1)解：设苹果的进价为％元/千克，

根据题意得：崇=矍，

解得：x=10,

经检验x=10是原方程的根，且符合题意，

答：苹果的进价为10元/千克.

(2)解：当04x4100时，y=10x；

当x>100时，y=10x100+(%-100)(10-2)=8x+200；

_(10x(0<%<100)

二'=+200(尤>100),

(3)解：当04x4100时，

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w=(z-10)%

1

=(一同x+12T0)x

=一系(x-100)2+100,

•・•当x=100时，w有最大值为100；

当100<x<300时,

w=(z-10)x100+(z-8)(%-100)

11

=(一和x+12-10)x100+(-—x+12-8)(%-100)

1,

=--^^x*23+4%—200

=—(X—200)2200,

.•.当x=200时，w有最大值为200；

•••200>100,

二一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元.

答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大.

26.(1)h=s.3y/2km/min;

(2)(19,0)；

(3)ymin；

[※解析※]

(1)根据爬升角度为45。，可知04上的点的横纵坐标相同，由此得到点4坐

标，用待定系数法。力解析式可求；根据2号试飞机一直保持在1号机的正

下方，可知它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度；

(2)设BC的解析式为h=ms+n,由题意将B,C坐标代入即可求得；令

九=0.求得s,即可得到结论；

(3)PQ不超过3km,得到5-h<3,利用(1)(2)中的解析式得出关于

s的不等式组，确定s的取值范围，得出了两机距离PQ不超过3/on的飞行的

水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，结论可得.

(1):2号飞机爬升角度为45。，

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・•.04上的点的横纵坐标相同.

•••4(4,4).

设。4的解析式为：h=ks,

・•・4k=4.

fc=1.

•••04的解析式为：h=s.

2号试飞机一直保持在1号机的正下方，

.••它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同.

•••2号机的爬升到4处时水平方向上移动了4km,飞行的距离为4^2km,

又1号机的飞行速度为3km/min,

•1•2号机的爬升速度为：4鱼+[=3\/2km/min.

(2)设BC的解析式为h^ms+n,

由题意：8(7,4),

.(7m4-n=4

tlOm+九=3'

m=--

3

19.

{n=T

・••BC的解析式为/l=-1s+y.

令九=0,则s=19.

.•・预计2号机着陆点的坐标为(19,0).

(3)PQ不超过3km,

・•・5—h43.

(5—s43

解得：24s413.

•••两机距离PQ不超过3km的时长为：(13-2)-3=ymin.

27.(1)(1,3)；

(2)V=；久+|；

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(3)i;

(4)存在最小值，y

[※解析※]

【初步感知】(1)根据旋转的旋转即可得出答案；

(2)运用待定系数法即可求出答案；

【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，通过联立方程组求出

点N的坐标，再分两种情况：①当1时，作PQlx轴于Q,证明

APQA=△P'MA(44S),再运用三角形面积公式即可求出答案；②当-1<%<0

时，作PH_Ly轴于点H,同理可得到答案；

【灵活运用】连接AB,AC,将B,C绕点4逆时针旋转60。得B',C,

作4H1X轴于点H,证明△C'AO^ACAB(SAS),根据待定系数法求出OC，的

函数表达式为：y=bx,设过P且与平行的直线/解析式为y=V^+b,

由于SABCPI=S,BICIP,当直线，与抛物线相切时取最小值，再根据一元二次方

程根的判别式求解即可.

解：【初步感知】

(1)如图1,4(1,1),

•••轴，Pi71=2,

由旋转可得：P/4〃y轴，Pi%=2,

••匕'(1,3);

故答案为：(L3)；

(2)

由题意得。2(1，2),

•••Pi(-1.1),「2(1，2)在原一次函数图象上，

二设原一次函数解析式为y=kx+b,

二原一次函数解析式为y=|x+|；

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【深入感悟】

设双曲线与二、四象限平分线交于N点，则:

(y=-x

[y=V(x<o)，

解得：[黄；，

•••N(-1,1),

①当X<一1时，

作PQ1x轴于Q,

“AM=乙POP'=45°,

A.PAQ=乙P'AN,

,■PM1AM,

Z.P'MA=Z.PQA=90°,

.•.在4「(24和4P'M力中，

APQA=AP'MA

Z.PAQ=/.P'AM,

■AP=AP'

：.APQAP'MA(AAS),

APMA四=5

S，=SaPQA=22’

即SAOMP，=2;

②当-l<x<0时，

作PH”轴于点H,

■■■乙POP'=NOY=45°,

乙PON=乙P'OY,

ALMP'O=90°-Z.MOY-AP'OY=45°-Z.P'OY,

■："OH=乙POP'-NP'OY=45°-Z.P'OY,

•••APOH=NMP'O,

在APOH^/\ONM中，

NPHO=40MP'

乙POH=NMP'。，

PO=P'O

.-.APOH=△OP'MQMS),

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.C—C—达1—工

,•%P，MO—^APHO-2—2，

综上所述，40MP，的面积为：；

【灵活运用】

如图4,连接AB,AC,将B,C绕点4逆时针旋转60。得B',G作AH1x

轴于点H,

•••4(1,-V3),B(2,0),C(3,0),

OH=B