新教材选择性6.2空间向量的坐标表示课件（34张）

6.2空间向量的坐标表示6.2.1空间向量基本定理空间向量的坐标表示1.能根据条件建立适当的空间直角坐标系.2.理解空间点的坐标和向量的坐标的关系,掌握空间向量的坐标运算.3.会利用空间向量的坐标运算判定两向量共线或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,能运用这些知识解决相关

问题.

空间向量基本定理

如果三个向量e1,e2,e3①

不共面

,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数

组(x,y,z),使②

p=xe1+ye2+ze3

.如果三个向量e1,e2,e3③

不共面

,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线

性表示.我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫作基向量.

别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基

底,通常用{i,j,k}表示.设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使得

=x

+y

+z

.

方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z

了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一

个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.

空间向量的坐标表示

如图(1),在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存

在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=④

(a1,a2,a3)

.如图(2),在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方3.如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量

为点P的位置向量.于是,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得

=xi+yj+zk.因此,向量

的坐标为

=(x,y,z).此时,我们把与向量

对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z).向量运算向量表示坐标表示加法a+b⑤

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

减法a-b⑥

(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

数乘λa(λ∈R)⑦

(λx1,λy1,λz1)

数量积a·b⑧

x1x2+y1y2+z1z2

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).5.空间向量的平行、垂直、模及夹角

(1)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

=⑨

(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

,AB的中点M的坐标为

,

,

.(2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥b(a≠0)b=λa(λ∈R)⑩

x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1

a⊥ba·b=0

x1x2+y1y2+z1z1=0

名称满足条件向量表示形式坐标表示形式模|a|=

|a|=

夹角cos<a,b>=

cos<a,b>=

续表

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R).

(

✕)a,b,2a-b,它们一定是共面的.

(√)因为2a-b可由a,b线性表示,所以2a-b与a,b一定是共面的.3.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条

件是x=y=z=0.

(√)i,j,k是空间直角坐标系O-xyz中的单位向量,并且

=-i+j-k,则点B的坐标为(-1,1,-1).

(

✕)a=(2,-3,1)与向量b=(-4,6,-2)平行.

(√)因为b=-2a,所以a∥b.a=(1,-1,2)与向量b=(x,2,-1)垂直,则x=4.

(√)由a·b=0,得x-2-2=0,即x=4.a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b=(8,0,4).

(√)A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量

与

的夹角为60°.

(√)由已知得

=(0,3,3),

=(-1,1,0),所以cos<

,

>=

=

,即<

,

>=60°.

空间向量基本定理

用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形和化简,从而求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间中所有向量,且表示要彻底,

表示的结果中只能含有基向量,不能含有其他的向量.

如图,四棱锥P-OABC的底面OABC为矩形,PO⊥平面OABC,设

=a,

=b,

=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示向量

,

,

,

.

解析

连接OB,则

=

+

=a+b,∴

=

=

(

-

)=

(c-a-b)=-

a-

b+

c,

=

+

=-a+

=-a+

(

+

)=-a-

b+

c,

=

+

=

+

+

(

+

)=-a+c+

(-c+b)=-a+

b+

c,

=

=

=

a.解析

连接OB,则

=

+

=a+b,∴

=

=

(

-

)=

(c-a-b)=-

a-

b+

c,

=

+

=-a+

=-a+

(

+

)=-a-

b+

c,

=

+

=

+

+

(

+

)=-a+c+

(-c+b)=-a+

b+

c,

=

=

=

a.

空间向量的坐标表示及其运算用坐标表示空间向量的步骤空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广,其运算法则仅是在平面向

量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算.(1)空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的

终点坐标减去始点坐标.(2)空间向量进行坐标运算的规律是先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算;有括号时,先算括号里的,后算括号外的.(3)空间向量的坐标运算法则与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些

计算公式的应用.

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠ACB=90°,AA1=2,N为A1A的中点,试建

立恰当的坐标系并求出向量

,

,

的坐标.

为单位正交基底建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示.

则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C1(0,0,2),∴

=(1,0,0),

=(0,1,0),

=(0,0,2).∵

=

-

=

+

-

,∴

=

(0,0,2)+(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,1),故

的坐标为(1,-1,1).∵

=

-

=

+

-

,解析

解法一:由题意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C为坐标原点,

,

,

∴

=(1,0,0)+(0,0,2)-(0,1,0)=(1,-1,2),故

的坐标为(1,-1,2).∵

=-

,∴

的坐标为(-1,1,-2).解法二:以C为坐标原点,

,

,

的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz,则B(0,1,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),∴

=(1,-1,1),

=(1,-1,2),

=(-1,1,-2).故

,

,

的坐标分别为(1,-1,1),(1,-1,2),(-1,1,-2).

已知空间中的三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),试求:(1)△ABC的面积;(2)△ABC的边AB上的高.解析

(1)

=(2,-1,5)-(1,2,3)=(1,-3,2),

=(3,2,-5)-(1,2,3)=(2,0,-8),∴

·

=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,|

|=

,|

|=2

,∴cos<

,

>=

=-

,∴sin<

,

>=

,∴S△ABC=

|

||

|sin<

,

>=3

.(2)由(1)可知|

|=

.设△ABC的边AB上的高为h,则S△ABC=

|AB|·h=3

,∴h=3

.

利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题的方法

利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标;(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3

=

,是否存在实数λ,使

=λ

,且

⊥

?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.解析

如图,以A为坐标原点,{

,

,

}为单位正交基底建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).由中点坐标公式,得E

,G

,H

.(1)证明:

=(1,0,1),

=

,

=

.因为

=2

,

·

=1×

+1×

=0,所以

∥

,

⊥

,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)设M(x,y,z),则

=(x,y,z),

=(x-1,y,z).又

=(1,1,1),所以由BM⊥AC1,得

·

=0,即x-1+y+z=0.①因为

∥

,所以设

=μ

(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②,得μ=

,所以x=

,y=

,z=

.所以点M的坐标为

.(3)假设存在满足条件的实数λ.设点P(x1,y1,1),则

=(x1-1,y1,0),

=(-x1,1-y1,0),由3

=

,得

解得

所以点P的坐标为

.设点Q(x2,y2,0),则

=

,

=(x2,y2-1,0),且

=

,

=(-1,1,0).由

⊥

,得x2-

+y2-

-

=0,③由

=λ

,得

④联立③④,无解,即不存在满足条件的实数λ.

(1)确定两向量的坐标;(2)利用公式求两向量的夹角:若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则cos<a,b>=

.(1)空间中两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=|

|=

=

.(2)向量的模的计算公式:若a=(x,y,z),则|a|=

.

利用空间向量的坐标运算求夹角、长度1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,则向量

和

的夹角为

()

°°

°°解析

以{

,

,

}为单位正交基底,建立空间直角