数学人教A版必修2课时作业2-2-4平面与平面平行的性质

课时作业14平面与平面平行的性质——基础巩固类——1．下列命题中，真命题的个数是(B)①若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b②若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交④若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面A．1B．2C．3D．4解析：由α∥β，a⊂α，b⊂β知，a与b没有公共点，所以a，b的位置关系为平行或异面，③④正确，故选B.2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(D)A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.对于AA1＝BB1，此时AA1∥BB1；对于A1D＝A1B，此时A1D∩A1B＝A1；对于AD1＝A1B，此时AD1与A1B是异面直线．故选D.3．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(A)A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：由于平面AC∥平面A′C′，所以EF∥E′F′.4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′AA′＝23，则S△A′B′C′S△ABC＝(B)A．225B．425C．25D．45解析：由题意知A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，且PA′AA′＝23，∴eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(B′C′,BC)＝eq\f(C′A′,CA)＝eq\f(2,5).∴S△A′B′C′S△ABC＝425.5.一正方体木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，经过点P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则N为(B)A．0B．1C．2D．无数解析：在平面A′B′C′D′上，过点P作EF∥B′C′，则EF∥BC，所以沿EF，BC所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选B.6．如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，记图中阴影平面为平面α，且平面α∥平面BC1E.若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(A)A．1B．1.5C．2D．3解析：因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形，所以A1E＝BF＝2，所以AF＝1.7．已知平面α∥平面β，直线a，b分别与平面α，β所成角相等，则直线a，b的位置关系是平行、相交或异面．8．已知平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，若AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝15.解析：∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3).而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.9.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.解析：连接A1C1，AC.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1，∴MN∥平面ABCD.又平面PMN∩平面ABCD＝PQ，∴MN∥PQ.∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.又AP＝eq\f(a,3)，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ＝eq\f(a,3)，从而DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，∴PQ＝eq\r(DQ2＋DP2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3)a.10.如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.11．如图所示，已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P­ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.证明：(1)如图，取DC中点Q，连接MQ，NQ.∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M，Q分别是AB，DC的中点，且四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD.∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.——能力提升类——12．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(C)A．一个侧面平行B．底面平行C．仅一条棱平行D．某两条相对的棱都平行解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A，B错．如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG，又SA⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFG＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF，∴DG∥EF，同理当平面α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故平面α仅与一条棱平行．故选C.13．如图所示，在三棱台ABC­A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是(C)A．平面B．直线C．线段，但只含1个端点D．圆解析：因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)．14.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形．15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.解：(1)证明：因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC交BD于O，连