新教材数学人教A版作业5-5-1第1课时两角和与差的正弦余弦与正切公式

第五章5.A组·素养自测一、选择题1．cos(－75°)的值(C)A．eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)[解析]cos(－75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°·cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)·sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝eq\f(1,2).3．设α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\f(\r(2),2)cos(α－eq\f(π,4))＝(B)A．eq\f(1,10) B．eq\f(7,10)C．－eq\f(7,10) D．－eq\f(1,10)[解析]α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，原式＝eq\f(\r(2),2)(cosα·eq\f(\r(2),2)＋sinα·eq\f(\r(2),2))＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)＝eq\f(7,10).4．若sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，sin(eq\f(π,2)＋φ)＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(B)A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(11\r(5),25) D．eq\r(5)[解析]∵sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，可解得：sinθ＝eq\f(3,5)，cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(4,5)，又∵sin(eq\f(π,2)＋φ)＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，cosφ＝－eq\f(2\r(5),5)，sinφ＝－eq\r(1－cos2φ)＝－eq\f(\r(5),5)，∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝(－eq\f(4,5))×(－eq\f(2\r(5),5))＋eq\f(3,5)×(－eq\f(\r(5),5))＝eq\f(\r(5),5).5．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(B)A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y[解析]原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.6．已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)，60°<α<150°，则cosα＝(A)A．eq\f(3－4\r(3),10) B．eq\f(3＋4\r(3),10)C．eq\f(4－3\r(3),10) D．eq\f(4＋3\r(3),10)[解析]∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，∴cos(30°＋α)＝－eq\f(4,5)，又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3－4\r(3),10).二、填空题7．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝eq\f(\r(3),2).[解析]原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).8．已知sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))，则cosα的值为eq\f(12\r(3)－5,26).[解析]∵sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))，∴eq\f(π,3)＋α∈(eq\f(π,2)，π)，cos(eq\f(π,3)＋α)＝－eq\f(5,13).∴cosα＝cos[(eq\f(π,3)＋α)－eq\f(π,3)]＝cos(eq\f(π,3)＋α)coseq\f(π,3)＋sin(eq\f(π,3)＋α)sineq\f(π,3)＝－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12\r(3)－5,26).9．计算：eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝eq\f(1,2).[解析]原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝eq\f(1,2).三、解答题10．已知角α的终边过点P(－4,3)．(1)求eq\f(tan3π＋α,sin5π－α－cos\f(π,2)＋α)的值；(2)若β为第三象限角，且tanβ＝eq\f(4,3)，求cos(α－β)的值．[解析](1)因为角α的终边过点P(－4,3)．所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以eq\f(tan3π＋α,sin5π－α－cos\f(π,2)＋α)＝eq\f(\f(sinα,cosα),sinα＋sinα)＝eq\f(1,2cosα)＝－eq\f(5,8).(2)因为β为第三象限角，且tanβ＝eq\f(4,3)，所以sinβ＝－eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\f(3,5).由(1)，知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＋eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝0.11．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，求cosα的值．[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(5,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),26).B组·素养提升一、选择题1．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα等于(D)A．sinα B．cosαC．sinβ D．cosβ[解析]cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos[(α＋β)－α]＝cosβ，故选D.2.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为49，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为(A)A．eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(2,3) D．0[解析]设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为49，可得小正方形的边长为eq\f(2,3)，所以有sinα－cosα＝eq\f(2,3)，①cosβ－sinβ＝eq\f(2,3)，②由图可得cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，①×②可得eq\f(4,9)＝sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαsinβ＝cos2β－(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋sin2β＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝eq\f(5,9).3．(多选题)满足cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ的α，β的值可能是(BC)A．α＝eq\f(13,12)π，β＝eq\f(3π,4) B．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)C．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,6) D．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,4)[解析]由条件cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ得cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，即cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2)，α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)，α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,6)都满足，故选BC.4．(多选题)已知α，β，γ∈(0，eq\f(π,2))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是(AC)A．cos(β－α)＝eq\f(1,2) B．cos(β－α)＝－eq\f(1,2)C．β－α＝eq\f(π,3) D．β－α＝－eq\f(π,3)[解析]由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，∴A正确，B错误．∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝eq\f(π,3)，∴C正确，D错误，故选AC.二、填空题5．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则cos(α－eq\f(π,3))的值是eq\f(4,5).[解析]cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，∴cos(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝－eq\f(7,9).[解析]因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sinβ＝sinα＝eq\f(1,3)，cosβ＝－cosα，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(7,9).7．函数f(x)＝sin2xsineq\f(π,6)－cos2xcoseq\f(5π,6)在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的单调递增区间为[－eq\f(5π,12)，eq\f(π,12)].[解析]f(x)＝sin2xsineq\f(π,6)－cos2xcoseq\f(5π,6)＝sin2xsineq\f(π,6)＋cos2xcoseq\f(π,6)＝cos(2x－eq\f(π,6))．当2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，即kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．取k＝0，得－eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(π,12)，故函数f(x)在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的单调递增区间为[－eq\f(5π,12)，eq\f(π,12)]．三、解答题8．已知α、β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，求cos(α＋eq\f(π,4))的值．[解析]∵α、β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，∴α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，β－eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))，∴cos(α＋β)＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5)，cos(β－eq\f(π,4))＝－eq\r(1－\f(12,13)2)＝－eq\f(5,13)，∴cos(α＋eq\f(π,4))