河南省南阳市社旗县2022年中考数学一模试卷(解析版)

河南省南阳市社旗县2022年中考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.实数V，-娓,2,-3中，绝对值最大的数是（）

A.」B.-JRC.2D.-3

27

2.通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和.根据

测算，北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时，可以减少燃烧12.8万吨标准煤,

减少排放二氧化碳32万吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标：其中的32万用科

学记数法表示为（）

A.32X104B.3.2X104C.3.2X105D.3.2X106

3.小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7b*,但导航提供的三条可选

路线长却分别为45h〃，5Gkm,51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（）

56分钟59分钟59分神

511dl

A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.三角形两边之和大于第三边

D.两点确定一条直线

4.下列计算正确的是（）

A.Sa+ba—Wa2B.（-3）b1-2bi—6lr,

C.6/?64-2a2=3a3D.（匕+3。）（3a-b）—9a2-b2-

5.将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得

到的图形可能是（）

6.疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通

道，分别记为A、8通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园.某日早晨该校所

有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概

率是（）

1119

A.—B.—C.—D.—

4323

7.下列说法错误的是（）

A.菱形的邻边相等

B.平行四边形是轴对称图形

C.矩形的对角线相等

D.平行四边形的对角线互相平分

8.如图，一次函数y=-X-6的图象经过点P（a,6）和。（c,d）,则a（c+"）+b（c+J）

的值为（）

A.-12B.-36C.36D.12

9.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆

形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：

①连接AB和BC；

②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；

③以点0为圆心，0A为半径作。0；

④分别作出A8和BC的垂直平分线，并且相交于点。；

正确的操作步骤是（）

A.②①③④B.②①④③C.①②④③D.①©0③

10.如图，直线y=-*x-3交x轴于点4交y轴于点8,点P是x轴上一动点，以点F为

圆心，以1个单位长度为半径作。P,当与直线AB相切时，点P的坐标是（)

y

A.（W，0）B.（W，°）或

ooo

C.（3,O）D.（J-,0）或（告,0）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分请把正确答案填在题中的横线上）

11.计算：鸣-7=_____.

3m+l

12.请写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根.这个一元二次方程可以

是.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=-4>+2可以看作是抛物线y=#+2

经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=#+2

得到抛物线y=（X-4）2+2的过程：.

14.在边长为1的正方形A8CD中，分别以A、B为圆心，以1为半径作弧交对角线于尸、

E两点，窟、BF，与对角线所围成的阴影部分的周长为.

15.如图，折叠矩形纸片ABC。时，进行如下操作：①点E在AB边上，把ABCE翻折，

使点8落在。C边上的点尸处，折痕为CE；②把纸片展开并铺平；③点H在4。边上,

把△CCH翻折，使点。落在线段AE上的点G处，折痕为CH.若理士，BC=6,则

DC3

EG的长为

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.)

-1

16.⑴计算:(Jl-2)°+(-y)-V12；

⑵解方程组『+2了+2=°.

I7x-4y=-41

17.2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚

平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！

某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，现从九年级A班和B班中各抽取20名学生

的竞赛成绩(单位：分，百分制进行调查分析，成绩如下:

9089100969798899787100

A班95999877879392849498

B班78869295978676919099

10097899785911009510096

成绩X

【整理数据】

频数76«8081WxW8586<xW909KW9596WT00

班级

A班11549

B班21458

【分析数据】根据以上数据进行统计分析:

班级平均数中位数众数方差

统计量

A班9394.5h35.3

8班92a97,10046.9

根据以上信息，解答下列问题:

(1)表格中的。=,b—.

(2)请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定.

(3)若全校九年级共有学生800人，请你估计本次知识竞赛中分数在90分以上的人数.若

想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做,

请你给出合理化的建议.(写出一条即可)

18.如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCQ的顶点。在y轴上，A,C两点的坐标分别为

(2,0),(2,m),直线C£＞：yi=ox+Z?与双曲线：h=三交于C,P(-4,-1)两

x

点.

(1)求双曲线＞2的函数关系式及〃?的值；

(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

(3)当力＞»时,，请直接写出x的取值范围.

19.手机测距APP可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的.测

量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就

会计算出物体的高度.某款测距APP提供的测高模式如下:

当物体在地师时点A,B,C,。都在同一

保持手机固定在眼睛正前方仰

平面

拍俯拍不要上下移动

内，手机位置为A点，待

测物体为CD,且AB和

CD均与地面BD垂直.从

点A处测得顶端C的仰角

为a,底部。的俯角为仇

测量中身体站直，保持手机在

眼睛正前方固定不动

图1

奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度.如图2,经过测量得到

AB=1.65/n,仰角a=35°,俯角0=28°,求出广告牌的高度.（参考数据：sin35°

比0.57,cos35°g0.82,tan35°七0.70,sin28°七0.47,cos28°g0.88,tan28°七0.53,

结果精确到0.1）

20.请阅读下面材料，并完成相应的任务；

阿基米德折弦定理

阿基米德（Arehimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学

家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.

阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在

1964年根据4-Bi”山译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折

弦定理.

阿基米德折弦定理：如图1,AB和8C是。0的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,

BC>AB,M是位的中点，则从点M向所作垂线的垂足。是折弦A8C的中点，即

CD=AB+BD.

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明。=AB+8。的部分证明过程.

证明：如图2,过点M作例”，射线AB,垂足为点”，连接AM,MB,MC.

M是仄曲的中点，

：.MA=MC.

任务:

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3,已知等边三角形ABC内接于。。，。为同上一点，NABQ=15°,CE±

于点E,CE=2,连接AO,则△D4B的周长是.

21.2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021

年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，本月

销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”

多40元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，“雪容融”的销售总额是8000元.

(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月

后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪

容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元，为回馈新老

客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全

部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.

22.如图，已知二次函数y=/+ax+3的图象经过点P(-2,3).

(1)求。的值和图象的顶点坐标.

(2)点。(m,H)在该二次函数图象上.

①当m=2时，求"的值；

②若点。到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出〃的取值范围.

23.在RtZVIBC中，NB4C=90°,AB=AC,动点£>在直线上(不与点C重合)，

连接40,把AO绕点4逆时针旋转90°得到AE,连接£>E,F,G分别是。E,的中

点，连接尸G.

【特例感知】(1)如图I,当点。是BC的中点时，FG与BD的数量关系是,

FG与直线BC的位置关系是；

【猜想论证】(2)当点。在线段BC上且不是8c的中点时，(1)中的结论是否仍然

成立？

①请在图2中补全图形；

②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展应用】（3）若4B=AC=&,其他条件不变,连接3F、CF.当△ACF是等边三

角形时，请直接写出△8OF的面积.

AF/A

7\

BDGCBcBC

图1图2备用图

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.实数-娓,2,-3中，绝对值最大的数是（）

A.弓B.-75C.2D.-3

【分析】首先求出每个实数的绝对值，然后根据实数大小比较的方法，判断出实数4，

-娓,2,-3中，绝对值最大的数是哪个即可.

解：I-=I_V5l=^5，21=2,|-3|=3,

v1<2<V5<3,

实数V，-灰，2,-3中，绝对值最大的数是-3.

故选：D.

【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及实数大小比较的方法，解答此题的

关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和.根据

测算，北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时;可以减少燃烧12.8万吨标准煤,

减少排放二氧化碳32万吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标：其中的32万用科

学记数法表示为（）

A.32X104B.3.2X104C.3.2X105D.3.2X106

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，〃是正整数，当原数绝对值VI时，〃是负整数.

解：32万=320000=3.2XI（）5.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义1中的形式，其

中lW|a|V10,"为整数，表示时关键要正确确定“的值以及〃的值.

3.小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7k”,但导航提供的三条可选

路线长却分别为455?,5Qkm,51km(如图).能解释这一现象的数学知识是()

56分钟59分神59分钟

«；：«501：»

A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.三角形两边之和大于第三边

D.两点确定一条直线

【分析】根据线段的性质，可得答案.

解：从A地去往8地，打开导航、显示两地距离为37.7h〃，理由是两点之间线段最短,

故选：A.

【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键.

4.下列计算正确的是()

A.5a+6a=1la2B.(-3)b2-2b3=6b5

C.6〃6+2a2=3“3D.(〃+3a)(3a-h)=9层-?

【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、平方差公式以及整式的乘除法运算法则即可

求出答案.

解：4、原式=lla,故A不符合题意.

B、原式=-6庐，故B不符合题意.

C、原式=3/,故C不符合题意.

D、原式=9片-层，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用合并同类项法则、积的乘方、

平方差公式以及整式的乘除法运算法则，本题属于基础题型.

5.将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得

到的图形可能是（)

【分析】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题.

解：该长方体表面展开图可能是选项A.

故选：A.

【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属

于中考常考题型.

6.疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通

道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园.某日早晨该校所

有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概

率是（）

1112

A.—B.—C.—D.—

4323

【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可.

解：画树状图如图：

开始

小王AB

小李ABAB

共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校

园的结果有2个，

小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为

42

故选：C.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

7.下列说法错误的是()

A.菱形的邻边相等

B.平行四边形是轴对称图形

C.矩形的对角线相等

D.平行四边形的对角线互相平分

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的性质判断即可.

解：A、菱形的邻边相等，正确，不符合题意；

8、平行四边形不是轴对称图形，错误，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；

。、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱

形的性质是解题的关键.

8.如图，一次函数y--x-6的图象经过点P(tz,b)和Q(c,d),则a(c+J)+b(c+d)

的值为()

A.-12B.-36C.36D.12

【分析】将P(a,b)和Q(c,d)代入y=-x-6,求出a+b和c+“即可得到答案.

解：•.,一次函数y=-X-6的图象经过点尸(a,匕)和。(c,d),

'.b--a-6,d--c-6,

a+b--6,c+d--6,

而a(c+d)+b(c+d)=(c+d)(a+b),

'.a(c+")+b(c+d)=(-6)X(-6)=36.

故选：C.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标，解题的关键是求出“+匕和c+d的值.

9.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆

形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：

①连接AB和BC；

②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；

③以点O为圆心，04为半径作。0；

④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；

正确的操作步骤是（）

A.②①③④B.②①④③C.①@©③D.①④②③

【分析】根据垂径定理解决问题即可.

解：由题意正确的操作步骤：②①④③，

故选：B.

【点评】本题考查作图-复杂作图，垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外

接圆的圆心是三边垂直平分线的交点.

10.如图，直线y=^x-3交x轴于点A,交）'轴于点8,点P是x轴上一动点，以点P为

圆心，以1个单位长度为半径作OP,当0P与直线A8相切时，点尸的坐标是（)

B.（^，°）或（4,0）

D.（亨0）或（告，0）

【分析】根据函数解析式求得A（-4,0）,B（0.-3）,得至l」OA=4,08=3,根据

勾股定理得到A8=5,设OP与直线48相切于。，连接PD,则PDL4B,PD=\,根据

相似三角形的性质即可得到结论.

解：；直线丫=-力-3交x轴于点A,交y轴于点2,

4

.•.令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,

；.A(-4,0),B(0,-3),

・・・OA=4,08=3,

・・・A8=5,

设。户与直线A3相切于。，连接尸“

则PDLAB,PD=lf

VZADP=ZAOB=9^Q,ZPAD=ZBAO,

：.△4POs"3O,

.PDAP日口1AP

OBAB35

：.AP=—

3f

7、17

：.OP=—^OP=-

339

717

：.P(-—,0)或尸(-三，0),

33

故选：B.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的

判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分请把正确答案填在题中的横线上)

11.计算：

3m+l3m+l

【分析】先通分，再进行减法运算即可.

解：色r-1

3m+l

_3m_3m+l

3m+l3m+l

1

3m+l

1

故答案为:

3m+l

【点评】本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

12.请写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根.这个一元二次方程可以是

【分析】取c=0,b=0,则△=(),则方程为/=0满足条件.

解：•••方程有两个相等的实数根,

A—b2-4ac=0,

令c=0,b=0,△=(),

此时方程为怖=0.

故答案为：/=0.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c^(a¥0)的根与△=b2-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

13.如图，在平面直角坐标系xO)，中，抛物线y=--y(x-4a+2可以看作是抛物线、=景+2

经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由抛物线>=景+2

得到抛物线£(x-4)2+2的过程：将抛物线产~^2+2绕顶点(0,2)顺时针

方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y=-A（x-4）2+2.（答案不

【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答.

2,2

解：抛物线y—^x+2的顶点为（0,2）,抛物线y=-（JC-4）+2的顶点为（4,2）,

...将抛物线y=p+2绕顶点（0,2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长

度得到抛物线y=（x-4）2+2.

故答案为：将抛物线），=y+2绕顶点（0,2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4

个单位长度得到抛物线y=-/（x-4）2+2.（答案不唯一）.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移

问题是关键.

14.在边长为1的正方形ABCZ）中，分别以A、8为圆心，以1为半径作弧交对角线于厂、

E两点，金、毓，与对角线所围成的阴影部分的周长为_/1±2_-

【分析】根据正方形的性质得出/B4C=NA8O=45°,AB=BE=AF=\,ACLBD,AO

=B0,根据勾股定理求出4。和80,求出0尸，再求出答案即可，

解：•••四边形4BC。是正方形，分别以4、8为圆心，以1为半径作弧交对角线于凡

.♦./BAC=/ABD=45°,AB=BE=A尸=1,AC1BD,A0=B0,

：.ZAOB=90°,

由勾股定理得：AO2+BO2^AB2,

2Ao2=

解得：A0=®~=B0（负数舍去），

2

：.OF=OE=BE-BO^\-返，

2

益的长度=前的长度=颦?/"=jn，

loU4

.•.与对角线所围成的阴影部分的周长为2X（占+1-1+亚）=《n+2,

故答案为：-^-ir+2.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理和弧长公式等知识点，能求出金的长度是

解此题的关键.

15.如图，折叠矩形纸片ABC力时，进行如下操作：①点E在AB边上，把ABCE翻折，

使点B落在。C边上的点尸处，折痕为CE；②把纸片展开并铺平；③点”在边上，

把△CCH翻折，使点。落在线段AE上的点G处，折痕为CH.若需［，BC=6,则

【分析】根据翻折的性质可证明四边形8EFC为正方形，所以8E=BC=6,然后证明4

AGHS/\BCG,可得工，得4G=2,设则。”="G=6-x,根

BCBGGC3

据勾股定理可得》=得，所以8G=3A”=8,进而可得BE的长.

O

解：•.,把aBCE翻折使点B落在。C边上的点尸处，折痕为CE,

:.CF=CB,BE=EF,/CFE=NB=90°,

・・・四边形BEFC为正方形,

:.BE=BC=6,

•・•把△CD"翻折使点。落在线段AE上的点G处，折痕为C”，

AZHGC=90°,DH=GH,DC=GC,

・・・NAG"+NCG8=90°,

VZAGH+ZAHG=90°,

："CGB=4AHG,

VZA=ZB=90°,

:.△AGHsABCG,

,AGAHGH2

••而=―前=一而=_丁

VBC=6,

：.AG=2,

设A”=x,则O"=HG=6-羽

在RtZXAGH中，

222

•：AH+AG=GH9

.\x1+21=(6-x)2,

解得.=得,

：.BG=3AH=S,

：.EG=BG-BE=8-6=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理,

相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.)

16.(1)计算：(兀-2)。+(4)T-丘；

⑵解方程组卜+2丫+2=°.

I7x-4y=-41

【分析】(1)根据零指数基，负整数指数累和算术平方根的定义计算即可.

(2)加减消元法消掉y求出x,把x代入第一个方程求出y即可.

解：(1)原式=1+1"3

2

=1-2-2百

=-1-2M.

[x+2y=-2①

(2)方程组整理得:17x-4y=-41②'

①X2+②得：9x=-45,

解得戈=-5,

把工=-5代入①得：-5+2y=-2,

解得y=1.5.

故方程组的解是.

ly=l.5

【点评】本题考查实数的运算和解二元一次方程组，解题关键是熟知零指数辱，负整数

指数幕和算术平方根的定义以及解二元一次方程组的基本步骤：消元.

17.2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚

平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!

某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，现从九年级A班和B班中各抽取20名学生

的竞赛成绩(单位：分，百分制进行调查分析，成绩如下:

9089100969798899787100

A班95999877879392849498

B班78869295978676919099

10097899785911009510096

成绩X

【整理数据】

频数76«8081WxW8586«9091WxW9596«100

班级

A班11549

8班21458

【分析数据】根据以上数据进行统计分析:

班级平均数中位数众数方差

统计量

A班9394.5h35.3

B班92a97,10046.9

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中的“=93.5,b=98.

（2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定.

（3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次知识竞赛中分数在90分以上的人数.若

想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做,

请你给出合理化的建议.（写出一条即可）

【分析】（1）根据众数及中位数的定义直接求解即可；

（2）根据平均数及方差的意义求解即可；

（3）用800乘以本次抽取的两个班的90分以上的学生所占的比例即可求解.

解：（1）根据表格可知，8班成绩小于等于90分的人数为7人，20个数据的中位数是

第10个和第11个数的平均数，

二将3班成绩在91WxW95的数据排序为:91,91,92,95,95,

.•.第10个和第11个数为92和95,

故B班成绩的中位数为黑衿=93.5,

故”=93.5,

•••4班成绩出现次数最多的是98,故众数为98,

.R=98,

故答案为：93.5,98.

(2)根据表格可知，A班成绩的平均分高于B班成绩的平均分，A班成绩的方差小于8

班成绩的方差，

故可判断4班在本次活动中整体水平较高且稳定.

(3)本次抽取的两个班的90分以上的总人数为26人，

故全校九年级共有学生800人中分数在90分以上的人数约为800义空=520(人).

40

若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，可以从各班

均抽取20人进行统计.

【点评】本题主要考查统计图表及数据的收集与整理知识，熟练掌握众数及中位数的定

义、用样本估计总体的方法是解题的关键.

18.如图：在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点。在y轴上，4,C两点的坐标分别为

(2,0),(2,机)，直线CO：与双曲线：”=互交于。，P(-4,-1)两

x

点.

(1)求双曲线”的函数关系式及〃?的值；

(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

(3)当时，请直接写出x的取值范围.

【分析】(1)因为点P(-4,-1)在双曲线y2=K上，所以代入P点坐标即可求出双

X

曲线”=区的函数关系式，又因为点C(2,〃?)在y2=Kj双曲线上，代入即可求出m

XX

的值；

(2)先求出点B的坐标，判断即可得出结论；

(3)根据图象直接得出结论.

解：(1)将点尸(-4,-1)代入)，="中，得心=-4X(-1)=4,

...反比例函数的解析式为y=~,

X

将点C(2,机)代入尸池中，得加=肯=2；

x2

(2)因为四边形ABC。是菱形，A(2,0),C(2,2),

.'.m=2,B(4,—m),

2

：.B(4,1),

由(1)知双曲线的解析式为”=邑；

x

•/4X1=4,

.•.点B在双曲线上；

(3)由(1)知C(2,2),

由图象知，当％>儿时的x值的范围为-4<xV0或x>2.

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用〃?表示出

点。的坐标是解本题的关键.

19.手机测距APP可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的.测

量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就

会计算出物体的高度.某款测距APP提供的测高模式如下:

当物体在地师时点4,B,C,D都在同一

保持手机固定在眼睛正前方仰

平面

拍俯拍不要上下移动

内，手机位置为A点，待

测物体为C。，且AB和

CD均与地面BD垂直.从

点A处测得顶端C的仰角

为a,底部。的俯角为0.

测量中身体站直，保持手机在

眼睛正前方固定不动

图1

奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度.如图2,经过测量得到

AB^1.65m,仰角a=35°,俯角0=28°,求出广告牌CD的高度.(参考数据：sin35°

亡0.57,cos350弋0.82,tan350弋0.70,sin28°弋0.47,cos28°弋0.88,tan28°弋0.53,

结果精确到0」）

【分析】过点A作AGLCZ）于点G,贝lJ/CAG=a=35。，/D4G=0=28。，根据题意

可得四边形ABQG是矩形，所以。G=AB=1.65机，再根据锐角三角函数即可求出结果.

则/CAG=a=35。，ZDAG=p=28°,

•：ABLBD,CD1BD,

：.NABD=ZAGD=ZBDG=90°,

.•.四边形ABDG是矩形，

.'.DG=AB=\.65m,

在RfNAGO中，VtanB=—,

AG

DG1.65

：.AG=

tanPtan28°

在Rr/AGC中，Vtana=—,

AG

1AR165

ACG=AG»tana=o»tan35°«=^-^-X0.70«=2.18(m),

tan280.53

ACD=CG+DG=2.18+1.65^3.8(w).

答：广告牌CD的高度为3.8m

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直

角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形.

20.请阅读下面材料，并完成相应的任务；

阿基米德折弦定理

阿基米德（Arehimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学

家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.

阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在

1964年根据山译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折

弦定理.

阿基米德折弦定理：如图1,48和8C是。。的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，

BOAB,M是位的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，即

CD=AB+BD.

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程.

证明：如图2,过点M作射线AB,垂足为点H,连接MA,MB,MC.

•••”是危的中点，

：.MA=MC.

任务:

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图3,已知等边三角形A8C内接于。0,。为立上一点，ZAfiD=15°,CEL

BD于点、E,CE=2,连接AO,则△DAB的周长是4+2、万.

【分析】(1)证明名△COM(A4S),推出MH=DM,AH=C。，再证明RtA

BMH^/XBMD(HL),推出BH=BD,可得结论；

(2)证明AECB是等腰直角三角形，求出AB=BC=2近,利用(1)中结论BE=AD+DE

=2,可得结论.

【解答】(1)证明：如图2中，

,:AM=CM，

：.AM=CMt

MD上BC,

:・/H=NCDM=90°,

VZA=ZC,

A/\AHM^/\CDM(A4S),

:.MH=DM,AH=CD,

•；NH=NBDM=9U°,

；・RSMHmABMD(HL),

:・BH=BD,

：.CD=AH=AB+BH=AB+BD；

:△A3c是等边三角形，

：.BC=AB,NA8C=60°,

VZABD=15°,

：.ZCBE=ZABC-ZABD=45°,

VCE1BD,

AZECB=ZEBC=45°,

：.CE=BE=2,

:.AB=BC=2近,

...由(1)的结论得，BE=DE+AD=2,

：./\ABD的周长是AD+BD+AB=AD+DE+EB+A8=4+2y[2.

故答案为：4+2，*^.

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判

定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解

决问题，属于中考常考题型.

21.2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021

年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，本月

销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”

多40元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，“雪容融”的销售总额是8000元.

(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个,进入2022年一月

后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪

容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元，为回馈新老

客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全

部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.

【分析】(1)设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得幽&=婴当X2,解方程并检

xx-40

验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，则“雪容融”的销售单价是80元；

(2)设“冰墩墩”购进机个，一月份销售利润为w元，则(60°-11t,