2024年中考数学总复习第五部分真题分类汇编第二章方程（组）与不等式（组）第3节一元二次方程及其应用

2.3一元二次方程及其应用A.(x+6)²=28B.(x-6)²=28C.(x+A.B.m>3A.xi+x2=6B.x1+x2=-6D.x]x2=75.(2023·湖南永州)某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年A.2.7(1+x)²=2.36B.2.36(1+x)2=2C.2.7(1-x)²=2.36D.2.36(1-x)²=2.7A.4B.8B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关根，且其面积为11,则该菱形的边长为()12.(2022·江苏淮安)若关于x的一元二次方程x²-2x-k=0没有实数根，则k的值可以是()13.(2022·四川攀枝花)若关于x的方程x²-x-m=0有实数根，则实数m的取值范围14.(2022·内蒙古)对于实数a,x的方程(k-3)x=k-1的根的状况，下列说法正确的是(例如3×2=2²-3×2=-2,则关于)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定的实数根，则k的取值范围()16.(2022·贵州安顺)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的状况是()A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根17.(2022·北京)若关于x的一元二次方程x²+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为()A.-418.(2022·内蒙古呼和浩特)已知x₁,x₂是方程x²-x-2022=0的两个实数根，则代数式xi³-2022x₁+x₂²的值是()A.4045B.4044(2)若x₁,xz是方程的两个实数根，求m的值.常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.(1)求[-4,3]*[2,-6]的值；(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=037.(2022·广州)已知T=(a+3b)²+(2a+3b)(2a-3b)+a².(1)化简T;(2)若关于x的方程x²+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值.草坪.要使草坪的面积为1260m²,道路的宽应为多少?(1)求k的取值范围；(2)若xixz=5,求k的值.42.(2022·四川眉山)建设秀丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金则m²n+mn²=mn(m+n)=-1×1=-1.(1)求实数k的取值范围.参考答案与解析A.(x+6)2=28B.(x-6)²=28C.(x+3)2=1D.(x-3)2=1(x-3)2=1.B.m>3C.m≤3A.xi+x2=6B.x1+x2=-6c.D.xix2=7A.2.7(1+x)²=2.36B.2.36(1+x)2=2.7C.2.7(1-x)²=2.36D.2.36(1-x)²=2.7A.4B.8【分析】首先依据根与系数的关系得出xi+xz=8,再依据x1=3x2,求得x₁,x2,进一步得出xx2=m求得答案即可.【详解】解：∵一元二次方程x²-8x+m=0的两根为xi,xz,解得x₁=6,x₂=2,7.(2023·四川内江)对于实数a,b定义运算“×”为a×b=b²-ab,例如：3×2=2²-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)×x=k-1的根的状况，下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根>0,即可得出该方程有两个不相等的实数根.【详解】解：∵(k-3)×x=k-1,【点睛】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解8.(2023·四川广安)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程ax²+bx+c=0的根的状况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个=4>0.根，且其面积为11,则该菱形的边长为()【答案】C【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再依据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长.【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b,【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，把握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键.【答案】D这里a=3,b=-11,c=-1,A.-2B.-1C.014.(2022·内蒙古)对于实数a,b定义运算“”为a×b=b²-ab,例如382=2²-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)×x=k-1的根的状况，下列说法正确的是()>0,即可得出该方程有两个不相等的实数根.【详解】解：∵(k-3)×x=k-1,∴关于x的方程(k-3)x=k-1有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当A>0的实数根，则k的取值范围()D.【分析】依据新定义运算法则列方程，然后依据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可.【详解】解：依据定义新运算，得x²-x=k,∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，,【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，新定义等，娴熟把握根的判别式△=b²-4ac与根的状况16.(2022·贵州安顺)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的状况是()A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根的值是()A.4045B.4044C.2022,,则原式=xi(xi²-2022)+x₂²=4045.,,【答案】5解得t=5,,【答案】-2=-2.,【答案】3∴实数m的值为3.∴A<0,即6²-4a<0,则原式=2023-2(3a-b)=2023-4=2019.故答案为：0(答案不唯一).【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.26.(2023·湖南怀化)已知关于x的一元二次方程x²+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为,另一个根为【答案】-1,2.【分析】将x=-1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于-2,即可求出方程的另一个根.【详解】解：将x=-1代入原方程可得1-m-2=0,∵方程的两根之积∴方程的另一个根为-2÷(-1)=2.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等两根之积等是解题的关键.27.(2023·江苏连云港)若W=5x²-4xy+y²-2y+8x+3(x、y为实数),则W的最小值为【答案】-2=(2x-y)²+2(2x-y)+1-1+x²+4=[(2x-y)²+2(2x-y)+1]+(x²+题的关键.28.(2023·重庆)为了加快数字化城市建设，某市方案新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,依据题意，请列【答案】301(1+x)²=500【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,依据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程.【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,故答案为：301(1+x)²=500.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.29.(2023·重庆)某新建工业园区今年六月份供应就业岗位1501个，并按方案逐月增长，估计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月供应就业岗位数量的月平均增长率为x,依据题意，可列方程【答案】1501(1+x)²=1815【分析】依据今年六月份供应就业岗位1501个，并按方案逐月增长，估计八月份将供应岗位1815个，列一元二次方程即可.【详解】解：依据题意，得1501(1+x)2=1815,故答案为：1501(1+x)²=1815.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并依据题意建立等量关系是解题的关键.30.(2023·四川达州)已知xi,xz是方程2x²+kx-2=0的两个实数根，且(xi-2)(xz-2)=10,则k的【答案】7【分析】先求出(xi+xz),xix₂的值，然后把(xi-2)(x₂-2)=10的左边开放，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值.解得k=7.故答案为：7.【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为xi,xz,则也考查了代数式的变形力量.31.(2023·江苏扬州)若关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围【分析】依据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.【详解】解：∵方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，【点睛】本题考查了根的判别式，依据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4-4k>0是解题的关键.解得a<1.【答案】-4则a+b=4,ab=3,=0的两个不相等的实数根及韦达定理.35.(2023·四川南充)已知关于x的一元二次方程x²-(2m-1)x-3m²+m=0.(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若x1,x₂是方程的两个实数根，上求m的值.【答案】(1)证明见详解(2)m=1或【分析】(1)由判别式A=(4m-1)²≥0,可得答案；(2)依据根与系数的关系知x₁+xz=2m-1,xixz=-3m²+m,由进行变形直接代入得到【详解】(1)证明：∵A=[-(2m-1)]²-4×1×(-3m²+m)整理得5m²-7m+2=0,36.(2023·四川遂宁)我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.(1)求[-4,3]*[2,-6]的值；【详解】解：(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10;37.(2022·广州)已知T=(a+3b)²+(2a+3b)(2a-3b)+a².(1)化简T;①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当A<0时，方程无实数根.38.(2022·黑龙江齐齐哈尔)解方程：(2x+3)²=(3x+2)².【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可.【详解】解：方程：(2x+3)²=(3x+2)²,【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，娴熟把握方程的解法是解本题的关键.39.(2022·江苏泰州)如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m²,道路的宽应为多少?【答案】道路的宽应为4米.【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，依据题意可知：矩形地面-所修路面积=草坪面积，利用平移更简洁，依此列出等量关系解方程即可.【详解】解：设路宽应为x米依据等量关系列方程得：(50-2x)(38-2x)=1260,答：道路的宽应为4米.【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求40.(2022·湖北十堰)已知关于x的一元二次方程x²-2x-3m²=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α+2β=5,求m的值.【答案】(1)证明见详解(2)m的值为±1【分析】(1)利用根的判别式，进行计算即可解答；解答.【详解】(1)证明：∵a=1,b=-2,c=-3m²,(2)解：由题意得：【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，娴熟把握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键.(2)k=2【分析】(1)依据判别式的意义得到△=(2k+1)²-4(k²+1)>0,然后解不等式即可；用k的范围确定k的值.【详解】解：(1)依据题意得△=(2k+1)²-4(k²+1)>0,…