2024年中考数学总复习第五部分真题分类汇编第六章圆第2节与圆有关的位置关系

6.2与圆有关位置关系一.选择题1.(2023·山东聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点1是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为()A.15°B.17.52.(2023·四川巴中)如图，OO是△ABC的外接圆，若∠C=25°,A.25B.50°C.60°3.(2023·四川眉山)如图，AB切OO于点B,连结OA交OO于点C,BD//OA交OO于点D,连结CD,A.25°B.35C.40°4.(2022·江苏无锡)如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是()A.AELDEB.AE//ODC.DE=ODD.∠BOD=50°5.(2022·黑龙江哈尔滨)如图，AD,BC是OO的直径，点P在BC的延长线上，PA与OO相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为()A.65°B.60°为切点，CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为()A.1:3B.1:2C.√2:27.(2022·广西梧州)如图，OO是△ABC的外接圆，且AB=AC,∠BAC=36°,在AB上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是()A.60B.62°C.72°二.填空题8.(2023·江苏徐州)如图，在OO中，直径AB与弦CD交于点E.AC=2BD,连接AD,过点B的切线与9.(2023·湖北潜江)如图，在△ABC中，∠ACB=70°,△ABC的内切圆OO与AB,BC分别相切于点D,10.(2023·河南)如图，PA与OO相切于点A,PO交OO于点B,点C在PA上，且CB=CA.若OA=5,11.(2023·湖南衡阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.12.(2022·山东泰安)如图，在△ABC中，∠B=90°,OO过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点则AB的长为_cm.14.(2022·四川泸州)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=2V3,半径为1的OO在Rt△ABC内平移(OO可以与该三角形的边相切),则点A到QO上的点的距离的最大值为D,连接OD,若∠AOD=82°,则∠C=交AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长线于点F.(2)若DE=1,DC=2,求OO的半径长.线AF于点F,且AF//BC.(2)求证：AO平分∠BAC.19.(2023·浙江绍兴)如图，AB是OO的直径，C是OO上一点，过点C作OO的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.20.(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于OO,对角线BD是OO的直径.(2)如图2,E为OO内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3V3,AE=3,求弦BC的长.21.(2023·浙江金华)如图，点A在第一象限内，OA与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,(1)求证：四边形ABOH为矩形.(2)已知OA的半径为4,OB=√7,求弦CD的长.22.(2023·天津)在OO中，半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一(1)如图①,求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作OO的切线，与CO的延长线相交于点G,若作OO的切线交AB的延长线于点F,(1)求证：BC平分∠DCF;(2)G为AD上一点，连接CG交AB于点H,若CH=3GH,求BH的长.(Ⅱ)如图②,若AC=2,OD为OO参考答案与解析一.选择题1.(2023·山东聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点1是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为()A.15°B.17.5°C.20⁴【答案】C【分析】连接IC,IB,OC,依据点1是△ABC的内心，得到Al平分∠BAC,依据角平分线的定义得到∠BAC=2∠CAI=70°,依据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140°,依据等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】解：连接OC,∵点1是△ABC的内心，【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外2.(2023·四川巴中)如图，OO是△ABC的外接圆，若∠C=25°,则∠BAO=()A.25°B.50°【分析】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再得结论.【详解】解：连接OB,【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.解题时，借用了等腰三角3.(2023·四川眉山)如图，AB切OO于点B,连结OA交OO于点C,BD//OA交OO于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为()A.25°B.35°C.40°【答案】C【分析】连接OB,由切线的性质得到∠ABO=90°,由平行线的性质得到∠D=∠OCD=25°,由圆周角定理得出∠O=2∠D=50°,因此∠A=90°-∠O=40°.【详解】解：连接OB,∵BD//OA,【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O=2∠D,由切线的性质定理得到∠ABO=90°,由直角三角形的性质即可求出∠A的度数.4.(2022·江苏无锡)如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是()A.AE⊥DEB.AE//ODC.DE=ODD【答案】C【分析】依据切线的性质得到OD⊥DE,证明OD//AC,由此推断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F,利用矩形的性质、直角三角形的性质推断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项.【详解】解：∵弦AD平分∠BAC,∠EAD=25°,故选项D不符合题意；∴OD//AC,即AE//OD,故选项B不符合题意；∴DE⊥AE.故选项A不符合题意；如图，过点O作OF⊥AC于F,则四边形OFED是矩形，故选项C符合题意.【点睛】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理.切线的性质：假如一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它肯定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为()A.65°B.60°【分析】依据切线的性质得出∠OAP=90°,进而得出∠BOD的度数，再利用等腰三角形的性质得出∠ADB的度数即可.【详解】解：∵PA与OO相切于点A,∠P=40°,【点睛】本题主要考查切线的性质，娴熟把握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.为切点，CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为()A.1:3B.1:2【分析】依据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可,进而得出即△ABC和△CDE面积之比为1:2.【详解】解：解法一：如图，连接OC,即△ABC和△CDE面积之比为1:2;解法二：如图，连接OC,过点B作BF⊥AC,即∠OCB=90°,=1:2.【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.7.(2022·广西梧州)如图，OO是△ABC的外接圆，且AB=AC,∠BAC=36°,在AB上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是()A.60°B.62*C.72°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=72°,从而利用圆内接四边形的性质可求出∠D=108°,然后利用三角形内角和定理进行计算即可详解.【详解】解：∵AB=AC,∠BAC=36°,∵四边形ADBC是圆内接四边形，【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，娴熟把握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键.二.填空题8.(2023·江苏徐州)如图，在OO中，直径AB与弦CD交于点E.AC=2BD,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若∠AFB=68°,则∠DEB=。【答案】66【分析】先依据切线的性质得出∠ABF=90°,结合∠AFB=68°可求出∠BAF的度数，再依据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最终依据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数.【详解】解：如图，连接OC,OD,故答案为：66.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的9.(2023·湖北潜江)如图，在△ABC中，∠ACB=70°,△ABC的内切圆OO与AB,BC分别相切于点D,∠AFD的度数.交ED于点G,故答案为：35°.10.(2023·河南)如图，PA与OO相切于点A,PO交OO于点B,点C在PA上，且CB=CA.若OA=5,【分析】连接OC,依据切线的性质可得∠OAP=90°,然后利用SSS证明△OAC≌△OBC,从而可得∠OAP=∠OBC=90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13,最终依据△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积，进行计算即可详解.【详解】解：连接OC,∵PA与OO相切于点A,【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，依据题目的已知条件并结合图形添加适当的帮助线是解题的关键.11.(2023·湖南衡阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为解得解得【分析】设OC与AB所在的直线相切，切点为点D,连接CD,依据切线的性质得AB⊥CD,再由勾股于是得到问题的答案.【详解】解：设OC与AB所在的直线相切，切点为点D,连接CD,,,【点睛】此题重点考查切线的性质、勾股定理、依据面积等式求线段的长度等学问与方法，正确地作出所需要的帮助线是解题的关键.12.(2022·山东泰安)如图，在△ABC中，∠B=90°,OO过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点【分析】连接OC,依据圆周角定理求出∠DOC,依据切线的性质得到OC⊥BC,证明AB//OC,依据平行线的性质详解即可.【详解】解：连接OC,∴AB//OC,故答案为：64°,【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，把握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.则AB的长为cm.""【分析】连接OE、OF,依据正切的定义求出∠ABC,依据切线长定理得到∠OBF=30°,依据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案.【详解】解：当OO与BC、BA都相切时，连接AO并延长交OO于点D,则AD为点A到OO上的点设OO与BC、BA的切点分别为E、F,连接OE、OF,【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，依据题意得出AD为点A到OOD,连接OD,若∠AOD=82°,则∠C=。【答案】49【分析】依据AC是OO的切线，可以得到∠BAC=90°,再依据∠AOD=82°,可以得到∠ABD的度数，然后即可得到∠C的度数.【详解】解：∵AC是OO的切线，故答案为：49.【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，详解本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想详解.16.(2022·浙江宁波)如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为【分析】依据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法详解即可.【详解】解：连接OA,过点A作AD⊥BC于点D,∵圆与AC相切于点A.①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r,在Rt△AOC中，依据勾股定理可得：²+4=(4-r)²,②当∠ADC=90°,AC=2,【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，娴熟把握这些性质定理是解决本题的关键.三.解答题交AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长线于点F.(1)求证：CD是OO的切线；(2)若DE=1,DC=2,求OO的半径长.【答案】(1)证明见详解(2)2.5【分析】(1)连接OC,由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC,依据同圆的半径相等得出∠BAC=∠OCA,于是有∠EAC=∠OCA,可得出AE//OC,再依据CD⊥AE,即可得出OC⊥DF,从而问(2)连接CE,BC,先依据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再依据等弧所对的弦相等得出BC=CE,在Rt△ACB中依据勾股定理求出AB的长，即可求出OO的半径.【详解】(1)证明：连接OC,∵点C为EB的中点，∴AE//OC,(2)解：连接CE,BC,在Rt△DCE中，由勾股定理得CE=√CD²+DE²=√2²+1²=√5,∴OO的半径长是2.5.【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，勾股定理，弧、弦之间的关系定理，娴熟把握这些定理是解题的关键.18.(2023·福建)如图，已知△ABC内接于OO,CO的延长线交AB于点D,交OO于点E,交OO的切(2)求证：AO平分∠BAC.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】(1)依据切线的性质得到AF⊥OA,求得∠OAF=90°,得∠OAF=∠CBE,依据平行线的性质依据圆周角定理得到∠CBE=90°,求于是得到∠OAB=∠ABE,依据平行线的判定定理即可得到AO//BE;(2)依据圆周角定理得到∠ABE=∠ACE,依据等腰三角形的性质得到∠ACE=∠OAC,等量代换得到∠ABE=∠OAC,由(1)知，∠OAB=∠ABE【详解】证明：(1)∵AF是OO的切线，∴AO//BE;【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、娴熟掌握切线的性质是解题的关键.19.(2023·浙江绍兴)如图，AB是OO的直径，C是OO上一点，过点C作OO的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数；【答案】(1)115°(2)【分析】(1)由垂直的定义得到∠AEC=90°,由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；(2)由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到代入有关数据，即可求出CE的长.【详解】解：(1)∵AE⊥CD于点E,∴半径OC⊥DE∴OC//AE,【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长20.(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于OO,对角线BD是OO的直径.(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证：CA平分∠BCD;(2)如图2,E为OO内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3√【答案】(1)证明见详解(2)3√2【分析】(1)由垂径定理证出∠ACB=∠ACD,则可得出结论；(2)延长AE交BC于M,延长CE交AB于N,证明四边形AECD是平行四边形，则AE=CD=3,根据勾股定理即可得出答案.【详解】(1)证明：∵OA⊥BD,(2)延长AE交BC于M,延长CE交AB于N,:BC=√BD²-CD²=√(N3)²-3【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，娴熟掌21.(2023·浙江金华)如图，点A在第一象限内，OA与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过点A作AH⊥CD于点H.(1)求证：四边形ABOH为矩形.(2)已知OA的半径为4,OB=√7,求弦CD的长.【答案】(1)证明见详解(2)6依据【分析】(1)依据切线的性质得到AB⊥x轴依据垂直的定义得到∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,依据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；(2)连接AD,依据矩形的性质得到AH=OB=√7,依据勾股定理得到DH=√AD²-AH²=4²-(√7)²=3,依据垂径定理即可得到结论.【详解】(1)证明：∵OA与x轴相切于点B,(2)解：连接AD,【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出帮助线是解题的关键.22.(2023·天津)在OO中，半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一(1)如图①,求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作OO的切线，与CO的延长线相交于点G,若OA=3,求EG的长.图①【答案】(1)∠AOB=120°,∠CEB=3