多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法_第1页
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文档简介

一、二元函数极值

定义1：设函数

的某个邻域内有定义，若在该邻域内恒有

在点

则称函数

在点

处取得

最大值（或最小值）

最大值（或最小

值）统称为函数的极值；使函数取得极值的点叫极值点。

(1)(2)(3)例1例２例３定理1（极值存的必要条件）若函数

处有极值，

在点

且函数在该点的一阶偏导数存在，则有注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面；

2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.注意：驻点极值点如何判定驻点是否为极值点？定理2(极值存在的充分条件)设点

为函数的驻点，且在点的某个邻域内有连续二阶偏导数；且点是函数的驻点，例4:解:（1）偏导方程组的驻点得驻点（2）求二阶偏导数（3）对应每个驻点判断极值点多元函数求最值的一般方法：将闭区间上的连续函数在定义域内的所有驻点处的函数值及在定义域的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.二、多元函数的最值例5某企业生产两种产品其中销售单价分别为总成本数以万元为单位，它是两种产品

有当两种产品产量为多少时？可获得利润最大？最大利润是多少？解：收益函数是

利润函数是解得驻点最大利润求条件极值方法：拉格朗日数乘偏导数法三、条件极值可以推广多个函数。例6已知工厂生产两种产品的日产量分别为总成本函数求最小成本解约束条件成本的拉格朗日函数是解方程得驻点最小成本函数例7企业销售产品为两种方式的广告宣传设宣传费我分别为它是关于宣传费单位：件若销售产品所得的利润等于销售量的减去总广告费，两种方式的广告费共25千元，怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大解约束条件下的利润函数为拉格朗日函数是利润是多少？具体利润函数为在约束条件解一阶导数为零的方程组：解方程得

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