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文档简介

一、二次型的定义1.问题的引入

在解析几何中，一个有心二次曲线的一般方程是

当坐标原点与中心重合时，为了便于研究这个二次曲线的几何性质，择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）

可以选把方程化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况

.从代数的观点看，所谓化标准方程就是对二次齐次多项式，作适当的非退化线性替换,平方项的多项式。使它化为只含2、二次型的定义称为数域P上的一个n元二次型．①n个文字的二次齐次多项式设P为数域，二次齐次多项式(二次型):三次齐次多项式(三次型):注：2)

式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中的系数写成例如

就是有理数域上的一个三元二次型。

约定①中②二、二次型的矩阵表示1)用和号表示由有2)用矩阵表示二次型可表示为因为所以

矩阵A称为二次型的矩阵.例1

二次型用矩阵可表示为1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即注：2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即

若且，则若

A,B都是实对称矩阵,且对应的二次型相同，即证

先取x为单位向量

ei

=(0,,1,,0)T

(第i个分量为1,其余为

0)，代入上式得

aii=bii

(i=1,2,

,n)

再取

x为向量

eij

=(0,,1,,1,,0)T(第

i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得

aij=bij

(ij)

则

A=B所以

A=B例2

1）写出二次型所对应的矩阵。

2）写出矩阵所对应的二次型。解

1）原二次型所对应的对称矩阵为：2）矩阵对应的二次型为：例3指出下列二次型的矩阵3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2）实数域R上的3元二次型

1）实数域R上的2元二次型

三、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由的一个线性替换;注：1）③或④为非退化的为可逆矩阵.则④为非退化线性替换.2）若为非退化线性替换，则有非退化

则③可表示为

④线性替换若即，B为对称矩阵.

2、二次型经过非退化线性替换仍为二次型

————

————

————

————

事实上，是一个二次型.四、矩阵的合同1）合同具有对称性：反身性:注:

1、定义：设，若存在可逆矩阵使，则称A与B合同.传递性:即C1C2可逆.2）合同矩阵具有相同的秩.C可逆

3）经过非退化线性替换，新二次型矩阵与原二次型矩阵是合同的.

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