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行列式第一章高等职业教育公共基础课新形态教材线性代数行列式的概念011.1.1二阶行列式用消元法易得其解从解的形式中我们可以看出，分母是由未知项的系数交叉相乘再求差组成的，而分子是由其中一个未知项的系数与常数项交叉相乘再求差组成的。1.1.1二阶行列式=

引进符号，表示算式，称为二阶行列式。1.1.1二阶行列式二元一次方程组式的系数行列式D≠0时1.1.1二阶行列式实线上的两个元素的乘积减去虚线上两个元素的乘积。1.1.2三阶行列式我们引进符号称为三阶行列式，它表示算式：，1.1.3n阶行列式在一个行列式中，去掉元素所在行和列，其余各元素按照原来的相对位置排列而成的低一阶行列式称为元素的余子式，记做。若在的前面添加符号

，则称为元素的代数余子式，记做，即。引入代数余子式的概念后，三阶行列式可表示为它的第一行的每个元素与其对应的代数余子式乘积之和。1.1.3n阶行列式

个元素排列成n行n列的形式表示一个算式，记为D，称为n阶行列式。行列式的性质021.2行列式的性质性质1：行列式的行与相应的列互换，行列式的值不变，即行列式与它的转置行列式相等。1.2行列式的性质性质2：交换行列式的任意两行（列），行列式的值只改变符号。推论：如果行列式中某两行（列）的对应元素都相等，则行列式的值为零。1.2行列式的性质性质3：交换行列式的任意两行（列），行列式的值只改变符号。

推论1：如果有行列式某行（列）的各元素有公因子，则公因子可提到行列式的外面。

推论2：如果有行列式的两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零。1.2行列式的性质性质4：如果行列式某行（列）的元素都是两项和，那么这个行列式等于把该行（列）各取一项相应行（列），而其余的行（列）不变的两个行列式的和。1.2行列式的性质性质5：用常数K乘行列式的某行（列）的个元素再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。1.2行列式的性质

性质6：用常数K乘行列式的某行（列）的个元素再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。1.2行列式的性质性质7：行列式某一行（列）的个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零。克莱姆法则及应用031.3.1克莱姆法则定理1：用克莱姆法则能求解n元线方程组，但必须满足以下两个条件：①线性方程组中的个数与未知数的个数相等。②线性方程的系数行列式D≠0.1.3.1克莱姆法则定理2：如果线性方程组式（1-4）的系数行列式D≠0，那么（1-4）有解，且解是惟一的。在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理，即定理2’。定理2’：如果线性方程组式（1-4）无解或解不是唯一的，则它的系数行列式D=0.1.3.2运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解定理3：如果齐次线性方程组式（1-5）的系数行列式D≠0，则它仅有零解。定理

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