《高等代数》课程大纲

PAGEPAGE3《高等代数》课程大纲一、课程信息课程名称高等代数适用专业数学与应用数学课程代码04011103、04011106课程类别学科专业基础课程学分学时9.5学分/152学时开设学期第1、2学期先修课程中学数学后续课程近世代数、实变函数二、课程简介《高等代数》是数学与应用数学专业的专业核心基础课程，主要内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间等，内容具有较强的抽象性，它们源于一元高次方程的求解和线性方程组的求解，既是中学代数的继续和提高，又是学习本专业一些后续课程如《近世代数》、《初等数论》、《数值分析》、《常微分方程》、《实变函数》等的基础。通过本课程的教与学，学生能掌握多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间的基本理论，理解代数的基本思想方法，并能运用代数思想方法分析和解决问题，提高数学逻辑思维和计算能力；能主动思考本课程与中学代数的联系，加深对中学代数知识系统的理解认识，并能从更高的角度处理中学数学教材，为今后从事中学数学教学工作及自身的发展打下良好的基础。三、课程目标（一）课程目标设置通过本课程的学习，学生能达到以下目标：目标1：能阐述多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间理论中的基本概念，归纳其基本性质，理清行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间与矩阵理论之间的关系。目标2：能运用多项式、行列式和矩阵理论分析并解决线性方程组、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间中的相关问题，建构抽象思维、空间想象、数学建模和代数运算等基本能力。目标3：能理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，归纳本课程所涉及的数学思想方法并运用它们系统化本课程的知识体系。目标4：能养成自主学习的习惯，体会本课程与中学数学内容之间的联系，在课前预习、课堂讨论、课后作业等环节中养成问题意识和反思学习效果，建构探索与求知的理念。（二）课程目标对毕业要求分解指标的支撑关系毕业要求分解指标课程目标3.学科素养【学科知识】掌握分析、代数和几何等学科的基本概念和基本性质，能够立足数学学科思想和方法了解数学学科知识体系的发展历史和前沿动态。目标1目标2目标3【学科能力】领悟极限、抽象和数形结合等数学思想，具有较强的数学运算、逻辑推理、直观想象和数学建模能力。目标2【学科应用】探究数学学科与物理、计算机等学科之间的联系，认识数学在社会生产生活中的应用价值，能在教育教学中，综合运用数学学科知识分析和解决教学中的实际问题，能开展探究性学习和项目式学习等活动。目标37.学会反思【反思能力】具有积极的教育教学反思意识，初步掌握反思的方法和策略，具有良好的创新意识和批判性思维，能对数学教学实践活动进行自我诊断，提出改进思路，获得积极的反思体验。目标4（三）课程目标对毕业要求的支撑矩阵图课程目标践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级指导综合育人学会反思沟通合作1-11-21-32-12-22-33-13-23-34-14-24-35-15-26-16-26-37-17-27-38-18-2课程目标1H课程目标2MH课程目标3LM课程目标4L四、教学要求《高等代数》第1学期教学要求课程目标教学内容学时教学重点教学难点教学方式学习方式课程思政结合点目标1数域的概念及性质；一元多项式的概念、运算以及多项式的次数的性质；多项式整除的概念和带余除法定理；最大公因式的概念与性质；多项式互素的概念及其性质；不可约多项式的概念及性质；多项式因式分解的存在性及唯一性定理和标准分解式；重因式的概念以及多项式有无重因式的判别法则；多项式函数和多项式根的概念、余数定理、因式定理以及根的个数定理；代数基本定理以及复数域和实数域上多项式的因式分解的性质；本原多项式的概念和性质，有理系数多项式和整系数多项式的关系，有理数域上多项式有理根的性质，艾森斯坦因判别法。10多项式整除、最大公因式、互素、不可约多项式、重因式、本原多项式的概念及其相关性质；有理数域上多项式有理根的性质，艾森斯坦因判别法。最大公因式、本原多项式的性质；艾森斯坦因判别法。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过分析多项式与方程之间的关系，培养学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力，以及数学逻辑思维能力。排列的概念及排列的性质；n阶行列式的概念与基本性质；克拉默法则。6行列式的概念与性质；克拉默法则。行列式的性质。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过介绍行列式的历史背景和克拉默法则，引导学生养成崇尚真理的科学精神。线性方程组的同解和初等变换的概念；消元法与矩阵的初等行变换之间的关系；向量的概念、运算及运算性质；向量组的线性表示、等价、线性相关、线性无关等概念及性质，向量组的极大无关组及秩的概念；矩阵的秩的概念和性质；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组的基础解系的概念。6向量组的线性表示、线性相关、线性无关、极大无关组及秩的概念及性质；矩阵的秩的概念；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组的基础解系。向量组的线性相关、线性无关、极大无关组及秩的性质；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组的基础解系。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过分析求解线性方程组的方法，理解特殊与一般的辩证关系，培养学生分析问题和解决问题的能力，和探索科学规律的精神。矩阵和矩阵相等的概念；矩阵的加法、数量乘法、乘法、转置及其性质；矩阵乘积的行列式和秩的性质；可逆矩阵的概念、矩阵可逆的充要条件；初等矩阵的概念，初等矩阵与初等变换之间的关系；分块矩阵的概念和分块矩阵的加法和乘法运算。8可逆矩阵的概念、矩阵可逆的充要条件；初等矩阵的概念，初等矩阵与初等变换之间的关系；分块矩阵的加法和乘法运算。矩阵可逆的充要条件；初等矩阵与初等变换之间的关系。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生探索科学规律的精神和逻辑思维能力。目标2数域的判定；多项式的次数的性质的应用；应用带余除法定理判定多项式的整除及用竖式作带余除法；最大公因式的相关性质的证明，运用辗转相除法求最大公因式；多项式互素的判定；多项式因式分解的存在性及唯一性定理的证明及用标准分解式求多项式的最大公因式；多项式有无重因式的判定；余数定理、因式定理以及根的个数定理的证明；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式有理根的求法，艾森斯坦因判别法的应用。12多项式整除、互素、不可约多项式、本原多项式的概念及其相关性质；多项式因式分解的存在性及唯一性定理；最大公因式和有理数域上多项式有理根的求法；艾森斯坦因判别法的应用。多项式最大公因式的求法；因式分解定理和艾森斯坦判别法的应用。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维能力。排列逆序数的计算；运用行列式的概念计算行列式；行列式的基本性质的证明；行列式的计算；运用克拉默法则求解线性方程组。8行列式的性质和计算；行列式在求解线性方程组中的应用。高阶行列式的计算。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。运用矩阵的初等行变换求解线性方程组；向量的线性表示、等价、线性相关、线性无关等关系的判定；向量组的极大无关组及秩的求法；矩阵的秩求法；线性方程组解的判别定理的应用；齐次线性方程组的基础解系的求法及线性方程组的解的结构表示方法。8消元法、矩阵的秩、线性方程组解的判别定理、齐次线性方程组的解的结构。线性方程组解的判别定理、解法及解的结构。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。矩阵的加法、数量乘法、乘法、转置运算及运用；矩阵乘积的行列式和秩的性质的证明；可逆矩阵的判定方法及求逆矩阵的方法；初等矩阵与初等变换之间的关系的证明及运用；分块矩阵的加法、乘法运算的应用，分块矩阵的初等变换及应用。10矩阵乘法运算、矩阵可逆的条件以及逆矩阵的计算。分块矩阵的意义和运算、初等矩阵、用初等变换法求逆矩阵。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。目标3一般数域上多项式的理论与特殊数域(复数域、实数域和有理数域)上的多项式的理论的关联；从特殊线性方程组（二元一次方程组、三元一次方程组等）的求解方法到一般线性方程组的求解方法，n维向量空间与2维，3维几何空间之间的关系。2特殊与一般，具体与抽象的辩证关系特殊与一般，具体与抽象的辩证关系讲授讨论结合听课学习、小组讨论、形成辩证唯物主义观点，培养反思能力。目标4中学代数与本课程内容之间的联系（如多项式理论、线性方程组的求解等）；多项式、矩阵、向量等这些不同对象之间的共性；多项式的因式分解与多项式的根的关系及应用；线性方程组的两种不同求解方法（消元法和矩阵的初等变换法）之间本质上的关系。2归纳抽象不同对象的共性归纳抽象不同对象的共性讲授讨论结合听课学习、小组讨论培养学生的逻辑思维与反思能力。《高等代数》第2学期教学要求课程目标教学内容学时教学重点教学难点教学方式学习方式课程思政结合点目标1二次型、可逆线性替换、矩阵的合同等概念及性质；二次型的标准形和规范形的概念与性质；正定二次型（矩阵）的概念与判定方法。6矩阵的合同关系；二次型的标准形、规范形；正定二次型（矩阵）。复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过学习二次型使学生理解化归、分类的数学思想方法。集合与映射的概念及性质；线性空间的概念及其简单性质；向量组的线性组合、等价、线性相关、线性无关等概念及性质；线性空间的维数与基的概念及性质；线性空间中向量坐标的概念及其意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及其性质；线性空间的子空间的概念和判别方法；理解生成子空间的概念与性质；子空间的交、和与直和的概念及性质，维数公式；线性空间同构的概念、性质，有限维线性空间同构的充要条件。12线性空间的概念、线性空间的维数与基、子空间的和、直和、维数公式、线性空间的同构。线性空间的概念、线性空间的基与基之间的关系、子空间的直和的概念、线性空间同构的概念。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过介绍线性空间的概念使学生领会公理化思想和代数系统的思想，引导学生养成崇尚真理的科学精神，培养学生抽象思维能力。线性变换的概念与性质；线性变换的加法、数量乘法、乘法及其简单性质；可逆线性变换的概念；线性变换的多项式；线性变换的矩阵的概念；矩阵相似的概念及其基本性质；线性变换的特征值和特征向量的概念与性质；特征子空间、特征多项式的概念；线性变换的像、核的概念与性质；不变子空间的概念与性质。12线性变换的矩阵、特征值、特征向量的定义、性质与计算、矩阵相似的定义与性质；线性变换(矩阵)可以对角化的判定及其方法。线性变换在某一组基下的矩阵为对角阵的充要条件、线性变换的像、核、线性变换的像的维数与核的维数、不变子空间。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过学习线性变换使学生体会类比的数学思想方法，体会数学中的抽象与具体的辩证关系，培养学生分析问题和解决问题的能力。向量内积的概念与性质；欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、正交、距离、度量矩阵等概念与性质；标准正交基的概念与性质，正交矩阵的概念、性质；欧氏空间同构的概念及欧氏空间同构的充要条件；正交变换的概念和性质；子空间正交、子空间正交补的概念与性质；对称变换的概念与性质。10欧氏空间的概念及性质；标准正交基的概念；正交变换的概念及几个等价关系；子空间正交的概念；对称变换的概念及其性质、对称变换与实对称矩阵之间的关系。正交变换的判定；对称变换的判定、对称变换与实对称矩阵之间的关系。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过学习欧氏空间使学生体会一般与特殊的辩证关系。目标2化二次型为标准形（规范形）的方法；复系数和实系数二次型的规范形的唯一性、惯性定理的证明；正定二次型（矩阵）的判定。6化二次型为标准形（规范形）的方法；复系数和实系数二次型的规范形的唯一性、惯性定理的证明；正定二次型（矩阵）的判定。化二次型为标准形（规范形）的方法；惯性定理的证明；正定二次型（矩阵）的判定。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习通过二次型的化简在二次曲面分类中的应用培养利用所学知识解决实际问题的能力和运算能力。线性空间的判定；向量组的线性相关、线性无关的判定；线性空间的维数与基的求法，基的扩充定理的应用；基变换及坐标变换公式的推导及应用，过渡矩阵的求法；子空间的判定，生成子空间的的基的求法；维数公式的证明及应用，子空间的直和的判定；线性空间同构的判定。10线性空间的判定；线性空间的维数与基的求法；基变换及坐标变换公式的应用；过渡矩阵的求法；子空间的判定；维数公式的应用；子空间的直和的判定；线性空间同构的判定。线性空间的判定；基变换及坐标变换公式的应用；维数公式的应用；子空间的直和的判定；线性空间同构的判定。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。线性变换的判定；线性变换在给定基下的矩阵的求法；线性变换与矩阵的关系；线性变换的特征值和特征向量的求法；线性变换(矩阵)可以对角化的判定及化简方法；线性变换的像的维数、核的维数与线性空间维数的关系；不变子空间的判定；不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。8线性变换在给定基下的矩阵的求法；线性变换的特征值和特征向量的求法；线性变换(矩阵)可以对角化的判定及化简方法；不变子空间的判定；不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。线性变换与矩阵的关系；线性变换(矩阵)可以对角化的判定及化简方法；不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。向量的长度、两个向量的夹角和距离的求法；标准正交基的求法；正交矩阵标准正交基的关系；欧氏空间同构的判定；正交变换的判定，及与正交矩阵的关系；子空间正交的应用；对称变换与实对称矩阵的关系。8矩阵乘法运算、矩阵可逆的条件以及逆矩阵的计算。分块矩阵的意义和运算、初等矩阵、用初等变换法求逆矩阵。讲授为主听课学习、小组讨论、课堂练习培养学生的逻辑思维和运算能力。目标3从特殊线性空间到一般线性空间，思考其抽象性的体现；思考线性变换空间与矩阵空间的关系，加强对具体与抽象的理解；思考线性空间与欧氏空间的关系，加强对代数思想方法的理解。6特殊与一般、具体与抽象的辩证关系特殊与一般、具体与抽象的辩证关系讲授讨论结合听课学习、小组讨论、培养学生的逻辑思维能力，形成辩证唯物主义观点。目标4根据《高等代数1》课程的内容思考多项式、矩阵、向量等这些不同对象之间的共性，并与线性空间的概念进行对照学习；通过线性空间中向量的概念，加深对中学向量概念的理解。2归纳抽象不同对象的共性归纳抽象不同对象的共性讲授讨论结合听课学习、小组讨论培养学生的逻辑思维与反思能力。五、考核与评价课程考核内容、考核方式与课程目标对应情况《高等代数》第1学期考核内容、考核方式与课程目标对应情况课程目标考核内容考核方式形成性评价终结性评价目标1数域的概念与性质；一元多项式概念、多项式的运算及其性质、多项式的整除概念及其性质、最大公因式的概念、多项式互素的概念及其性质、不可约多项式的概念及其性质、重因式的概念及其判别方法、多项式函数与多项式的根的概念、有理数域上多项式有理根的求法；排列的概念及性质；n级行列式的概念及其性质；消元法与矩阵的初等行变换解一般线性方程组的方法、矩阵的秩的概念与性质；向量组的概念及向量组的关系；矩阵的运算及其性质、矩阵的可逆和逆矩阵的概念及其性质、初等矩阵的概念以及用初等变换求逆矩阵的方法。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标2带余除法定理、最大公因式存在定理、互素的充要条件、因式分解的存在性和唯一性定理、余数定理、因式定理、根的个数定理、带余数除法定理的应用、复数域和实数域上多项式的因式分解定理、有理数域上多项式有理根的求法、艾森斯坦判别法、行列式的计算、克莱姆法则、矩阵的秩的求法、线性方程组解的判定定理和解的结构、矩阵乘积的行列式的应用、逆矩阵的求法、初等矩阵的应用、分块矩阵的初等变换。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标3一般数域上多项式的理论与特殊数域(复数域、实数域和有理数域)上的多项式的理论的关联；特殊线性方程组（二元一次方程组、三元一次方程组等）的求解方法与一般线性方程组的求解方法的关联，n维向量空间与2维，3维几何空间之间的关系。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标4中学代数与本课程内容之间的联系（如多项式理论、线性方程组的求解等）；多项式、矩阵、向量等这些不同对象之间的共性；多项式的因式分解与多项式的根的关系及应用；线性方程组的两种不同求解方法（消元法和矩阵的初等变换法）之间本质上的关系。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论《高等代数》第2学期考核内容、考核方式与课程目标对应情况课程目标考核内容考核方式形成性评价终结性评价目标1线性空间的定义、性质与判别方法，向量组的线性相关性的有关概念及判定方法，维数、基与坐标的定义及求法，基变换与坐标变换公式，线性子空间的定义及性质，子空间的交与和的定义、性质及求法，子空间的直和的定义、性质及判别，线性空间同构的定义及同构映射的性质，线性变换的定义、性质及判别方法，线性变换运算及性质，矩阵相似的定义，线性变换与矩阵的特征值与特征向量的定义、性质及求法，线性变换的值域与核的定义、性质及求法，不变子空间的定义与性质，欧氏空间的定义、性质及判别方法，标准正交基的定义，正交矩阵的定义，欧氏空间同构的定义，欧氏空间的子空间的定义及性质，正交变换与对称变换的定义和性质。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标2有关向量组的性质的基本定理，线性空间基的扩充定理，维数公式，两个线性空间同构的充要条件，线性变换与矩阵之间的对应关系，线性变换的矩阵可对角化的判定条件，标准正交基的存在性、作用及求法(施密特正交化方法)，正交矩阵与标准正交基的关系，欧氏空间同构的充要条件，正交变换与正交矩阵的关系，实对称矩阵与对称变换的关系。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标3从特殊线性空间到一般线性空间，思考其抽象性的体现；思考线性变换空间与矩阵空间的关系，加强对具体与抽象的理解；思考线性空间与欧氏空间的关系，加强对代数思想方法的理解。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论期末闭卷笔试目标4根据《高等代数1》课程的内容思考多项式、矩阵、向量等这些不同对象之间的共性，并与线性空间的概念进行对照学习；通过线性空间中向量的概念，加深对中学向量概念的理解。课堂表现、平时作业、章节测验、随堂测试、小组讨论（二）考核评价方案考核类型考核内容（题型）考核评价方式考核评价标准分值课程目标平时形成性评价（40%）课堂表现课堂纪律、小组讨论、课堂讨论（课程小论文、线上讨论）课堂表现占比20%。评价标准：基础分60分.在此标准下，本课程按以下细则考核课堂表现：(1)上课做与课程内容无关的事，每次扣5分；(2)课堂回答问题与本问题无关，每次扣5分；(3)完成小组讨论质量较好，每次加5分；(4)课堂上积极讨论，每次加5分；(5)课程小论文根据质量一篇加10-20分。注：期末核算，课堂表现分数为0至100分，超过100分记100分，少于0分记0分。100目标1、目标2、目标3、目标4（3:2:3:2）平时作业课后书面作业平时作业占比40%。评价标准：优秀（90-100）：作业基本正确，有详细的步骤，书写工整，书面整洁；良好（80-90）：作业基本正确，有较为详细的步骤，书写较为工整；中等（70-80）：作业部分正确，有主要的步骤，书写一般；及格（60-70）：作业错误率高，步骤简略，书写潦草；作业未提交记0分。最后取平均数作为平时作业的最终分数。100目标1、目标2、目标3、目标4（3:3:2:2）平时测验章节测验、半期测验、随堂测验平时测验占比40%。一学期进行3～5次章节测验、随堂测试，给出测验分数或等级，并将测验平均分作为平时测验成绩。100目标1、目标2、目标3（4:4:2）期末终结性评价（60%）选择题、填空题（判断题）闭卷笔试严格按照期末考核参考答案及评分细则进行阅卷评分。30-50目标1、目标2、目标3(7:2：1)计算题35-55目标2、目标3(8:2)证明题10-20目标2六、其他（一）自主学习要求认真做好课前预习及课后复习，课前或课后自行收看学习通发布的学习视频，自主梳理本课程的知识点，自主学习的成效体现在随堂测验、章节测验、作业，纳入到平时成绩的形成性考核评价方案中。（二）课程资源1、建议教材《高等代数》，北京大学数学系前代数小组，高等教育出版社，2019，第五版.2、主要参考书[1]《高等代数》，张禾瑞，郝鈵新，高等教育出版社，2010，第五版.[2]《高等代数简明教程》（上、下），蓝以中，北京大学出版社，2007，第二版.[3]《高等代数》（上、下），丘维声，清华大学出版社，2018，第二版.[4]《高等代数辅导与习题解答》，王萼芳，石生明，高等教育出版社，2013，第四版.3、课外学习资源学生可进入“中国大学MOOC”、“爱课程”等网络慕课，自主观看《高等代数》等课程视频，加强课后学习和提升。网址如下：/search.htm?search=%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0#//web/sword/portalsearch/homeSearch制订时间：2020年6月10日修订时间：2021年5月18日附件1.课程大纲审核评价表附件2.课程目标达成度评价办法《高等代数》课程大纲审核评价表审核评价内容执笔教师自查教研室审核专业负责人评价课程目标1.课程目标按照知识、能力、情感或价值观等多维度确定；2.课程目标能体现“产出导向”和“学生中心”，体现学生学习成效；3.课程目标明确支撑毕业要求指标点；4.课程目标能引导课程的教学与考核，具有可学可教可测性。课程目标符合要求课程目标符合要求课程目标符合要求教学要求1.教学内容能够支撑课程目标的实现；2.学时分配合理、教学重难点把握准确、突出；3.教学方式适切课程目标的达成，学习方式能够有效指导学生学习；4.课程思政结合点准确、有效。.教学要求符合要求教学要求符合要求教学要求符合要求课程考核1.考核内容全覆盖且完全支撑课程目标；2.形成性评价方式多样化，评价（评分）标准恰当、具体、细致，体现能力培养；3.终结性评价题型多样，覆盖课程目标落实且分值分配合理，参考答案（技能要点）及评分细则详细。课程考核符合要求课程考核符合要求课程考核符合要求附件及格式要求1.格式完整，要素齐备；2.《课程目标达成度评价办法》科学合理，操作性强，有助于课程教学持续改进。附件及格式要求符合要求附件及格式要求符合要求附件及格式要求符合要求审核评价小组意见：同意实施。组长签名：2021年5月7日整改结果反馈：已根据教研室和专业负责人的反馈意见进行修改。执笔人签名：2021年5月14日教学院审核意见：同意实