高二数学人教A版选修1-2学案2-1-1合情推理

第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题．四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习·探新知情景引入人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在．新知导学1．归纳推理由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由__个别事实__概括出__一般结论__的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理．2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__归纳推理__．3．类比推理由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特殊到特殊__的推理．4．合情推理归纳推理和类比推理都是根据__已有的事实__，经过__观察、分析、比较、联想__，再进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．5．归纳推理是由部分到__整体__，由具体到__抽象__，由特殊到__一般__，从个别事实中概括出__一般结论__的思维模式．类比推理是在__两类不同__的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相同或相似__之处的一种推理模式．类比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．预习自测1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(B)A．归纳推理 B．类比推理C．没有推理 D．以上说法都不对[解析]推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．2．下列表述正确的是(A)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④ B．①③C．②③ D．②④[解析]根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；类比推理是由特殊到特殊的推理．故④对③错，则正确的是①④，故选A．3．观察式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，则可归纳出式子(C)A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n－1)(n≥2)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n＋1)(n≥2)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n－1,n)(n≥2)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n,2n＋1)(n≥2)[解析]由题意可知，当n≥2时，第n个式子左边是1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)，右边为eq\f(2n－1,n)，故选C．4．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，…，根据图案中点的排列规律，组成第(50)个图案的点的个数是(B)A．2450 B．2451C．2452 D．2453[解析]设组成第(n)个图案的点的个数为an，由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，a5＝21，故a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，…，由此可推得当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，以上(n－1)个式子相加可得：(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)，化简可得an－a1＝eq\f(n－12＋2n－2,2)＝n(n－1)，即an＝n(n－1)＋1．故a50＝50×49＋1＝2451，即第(50)个图案由2451个点组成．故选B．5．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．[解析]首先分析题目的条件，并对n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶数与式的归纳典例1观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4)．分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[思路分析]观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．[解析]猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)．证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2α＋60°,2)＋eq\f(sin2α＋30°－sin30°,2)＝1＋eq\f(cos2α＋60°－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)．所以sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)成立．『规律方法』1.归纳推理的一般步骤(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．(3)猜测一般性结论．2．归纳推理的基本逻辑形式是：S1是(或不是或具有性质)P，S2是(或不是或具有性质)P，S3是(或不是或具有性质)P，…Sn是(或不是或具有性质)P．∵S1、S2、S3、…、Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P．3．由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．┃┃跟踪练习1__■观察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋\f(1,7)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋\f(1,8)))，试写出第n个不等式．[思路分析]观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论．[解析]第1个不等式为eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)；第2个不等式为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，即eq\f(1,2＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)))；第3个不等式为eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，即eq\f(1,3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)＋\f(1,2×3－1)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)＋\f(1,2×3)))；…猜测第n个不等式为eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)))≥eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋…＋\f(1,2n)))(n∈N＋)．命题方向❷图形中的归纳推理典例2下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖__4n＋8__块(用含n的代数式表示)．[思路分析]分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．[解析]第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8．『规律方法』通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：┃┃跟踪练习2__■有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：图案第一个第二个第三个…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．命题方向❸数列中的归纳推理典例3下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，(21)；(2)eq\f(3,4)，1,1eq\f(1,3)，1eq\f(7,9)，2eq\f(10,27)，(3eq\f(13,81))；(3)eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，(eq\r(6＋\f(6,35)))．[思路分析]要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．[解析](1)考察相邻两数的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21．(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为eq\f(3,4)，1，eq\f(4,3)，eq\f(16,9)，eq\f(64,27)．可以发现：1÷eq\f(3,4)＝eq\f(4,3)，eq\f(4,3)÷1＝eq\f(4,3)，eq\f(16,9)÷eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)，eq\f(64,27)÷eq\f(16,9)＝eq\f(4,3)．后一个数是前一个数的eq\f(4,3)倍，按照这个规律，括号中的数应是eq\f(64,27)×eq\f(4,3)＝eq\f(256,81)＝3eq\f(13,81)．(3)每个数都是算术根，根号下有两项，一项是整数n＋1，另一项是分数，分子与整数项相同，分母是分子的平方减1，按此规律，下一个数应为eq\r(6＋\f(6,35))．『规律方法』由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．┃┃跟踪练习3__■若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an．[解析](1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1．(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．将命题的条件、结论类比推广命题方向❹典例4已知△ABC的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝__eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)__．[思路分析]解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．[解析]内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R，三角形的周长：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面积公式系数eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥体积公式系数eq\f(1,3)．∴类比得三棱锥体积VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．『规律方法』类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．(3)检验这个猜想一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．┃┃跟踪练习4__■在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，则有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[解析]猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．如图所示，连接BE并延长交CD于F．∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF．在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)．在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正确．易混易错警示典例5若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝！！！eq\r(n,c1·c2·c3·…·cn)__(n∈N*)也是等比数列．[错解]eq\f(c1＋c2＋c3＋…