高考数学理北师大版一轮复习训练2-5对数与对数函数

核心考点·精准研析考点一对数式的化简与求值

1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1=QUOTElgQUOTE,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是26.7,天狼星的星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.102.(2020·深圳模拟)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=x对称,且f(2)+f(4)=1,则a= ()A.1 B.1 C.2 3.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z4.计算log23·log38+(QUOTE=________________.

【解析】1.选A.令m1=26.7,m2=1.45,则m2m1=1.45(26.7)=25.25=QUOTElgQUOTE,lgQUOTE=10.1,QUOTE=1010.1.2.选C.设(x,y)是函数y=f(x)的图像上任意一点,它关于直线y=x对称的点为(y,x),由已知知(y,x)在函数y=2x+a的图像上,所以x=2y+a,解得y=log2(x)+a,即f(x)=log2(x)+a,所以f(2)+f(4)=log22+alog24+a=1,解得a=2,故选C.3.选D.令2x=3y=5z=m,分别可求得2x=QUOTE=QUOTE,3y=QUOTE=QUOTE,5z=QUOTE=QUOTE,分别对分母乘以30可得,30logmQUOTE=logm215,30logmQUOTE=logm310,30logmQUOTE=logm56,故而可得QUOTE⇒logm310>logm215>logm56⇒3y<2x<5z.4.原式=QUOTE·QUOTE+QUOTE=3+QUOTE=3+2=5.答案:5对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.考点二对数函数的图像及其应用

【典例】1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是 ()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<12.在同一直角坐标系中,函数y=QUOTE,y=logaQUOTE(a>0,且a≠1)的图像可能是()3.已知函数f(x)=QUOTEg(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图像的交点个数为______. 导学号

【解题导思】序号联想解题1由图像是下降的,想到对数的底数0<a<12由y=QUOTE与y=logaQUOTE,想到指数函数与对数函数的图像3由两函数图像的交点个数,想到画出两个函数的图像【解析】1.选D.由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.2.选D.当0<a<1时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递减,则函数y=QUOTE的图像过定点(0,1)且单调递增,函数y=logaQUOTE的图像过定点QUOTE且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递增,则函数y=QUOTE的图像过定点(0,1)且单调递减,函数y=logaQUOTE的图像过定点QUOTE且单调递增,各选项均不符合.3.如图,函数g(x)的图像与函数f(x)的图像交于两点,且均在函数y=8x8(x≤1)的图像上.答案:21.应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.2.对数函数图像的规律在第一象限内,不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.1.已知函数f(x)=loga(2x+b1)(a>0,a≠1)的图像如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a1<b<1B.0<b<a1<1C.0<b1<a<1D.0<a1<b1<1【解析】选A.由函数图像可知,f(x)在R上单调递增,又y=2x+b1在R上单调递增,故a>1.函数图像与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图像可知1<logab<0,即logaa1<logab<loga1,所以a1<b<1.综上有0<a1<b<1.2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是 ()A.(∞,2) B.(∞,e)C.(2,e) D.(e,+∞)【解析】选B.在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图像,当y=lnx向左平移a(a>0)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以0<a<e,当y=lnx向右平移|a|(a<0)个单位长度,函数f(x)与g(x)总存在关于y轴对称的点,当a=0时,显然满足题意,综上:a<e.考点三对数函数的性质及其应用

命题精解读1.考什么:(1)求对数函数的单调性,利用对数函数的单调性比较大小、求值或解不等式、求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:对数函数奇偶性、单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.3.新趋势:对数函数的图像与对称性、交点个数、不等式交汇考查.学霸好方法1.比较对数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底对数值,再利用单调性比较大小.(2)不能化成同底数的,一般引入“1”“0”“-1(3)在研究对数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论2.对数函数单调性的判断(1)求单调区间必须先求定义域.(2)根据对数的底数a进行判断,0<a<1时为减函数,a>1时为增函数.(3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断.比较大小问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a【解析】选B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以如何比较指数式与对数式的大小?提示:数形结合或找中间量(如1,0,1等),再结合函数单调性比较大小.与对数函数有关的不等式问题【典例】当0<x≤QUOTE时,4x<logax,则a的取值范围是 导学号()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,QUOTE) D.(QUOTE,2)【解析】选B.由题意知0<a<1,则函数y=4x与y=logax的大致图像如图,则只需满足logaQUOTE>2,解得a>QUOTE,所以QUOTE<a<1.一边为指数式,另一边为对数的不等式如何求解?提示:将两边分别看成一个函数,画出两个函数的图像,结合图像的交点求解.对数函数性质的综合应用【典例】已知函数f(x)=lnx+ln(2x),则 ()导学号A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.f(x)的图像关于直线x=1对称D.f(x)的图像关于点(1,0)对称【解析】选C.由题意知,f(2x)=ln(2x)+lnx=f(x),所以f(x)的图像关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f′(x)=QUOTEQUOTE=QUOTE(0<x<2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,A,B错误.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选C.由题意知,f(x)=lnx+ln(2x)的定义域为(0,2),f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,由QUOTE得0<x<1;由QUOTE得1<x<2,所以函数f(x)=lnx+ln(2x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又fQUOTE=lnQUOTE+lnQUOTE=lnQUOTE,fQUOTE=lnQUOTE+lnQUOTE=lnQUOTE,所以fQUOTE=fQUOTE=lnQUOTE,所以排除D.如何求解对数函数性质的综合问题?提示:认真联想对数函数的各个性质的定义及其作用,在其交汇点处寻找突破口.1.已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(2)________f(a+1).(填“<”“=”或“>”)

【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>1,所以a+1>2.因为f(x)是偶函数,所以f(2)=f(2)<f(a+1).答案:<2.(2019·潍坊模拟)已知函数f(x)=QUOTE若f(2a)=1,则f(a)=______________.

【解析】当2a<2,即a>0时,f(2a)=log2(1+a)=1.解得a=QUOTE,不合题意.当2a≥2,即a≤0时,f(2a)=2a1=1,即2a=2,解得a=1,所以f(a)=f(1)=log24=2.答案:21.(2019·绵阳模拟)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,QUOTE∈(n,n+1),n∈N,则n的值是()A.2 B.3 C.4 【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t>1),则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE=log312+log412=2+log34+log43.因为1<log34<2,0<log43<1,所以1<log34+log43<3;又log34+log43>2QUOTE=2,所以4<2+log34+log43<5,即QUOTE∈(4,5).所以n=4.2.(2020·扬州模拟)设f(x)=QUOTEa=0.70.5,b=log0.50