第2章 土体中的应力计算

土体中的应力计算

第二章§2土体中的应力计算强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态及应力应变关系自重应力附加应力基底压力计算建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力，所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的压力。建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。§2土体中的应力计算§2.1自重应力§2.3附加应力§2.2基底压力计算§2.1土体自重应力的计算一.水平地基中的自重应力假定：水平地基

半无限空间体

半无限弹性体

有侧限应变条件

一维问题§2土体中的应力计算定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。目的：确定土体的初始应力状态计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重1.侧限应力状态——一维问题水平地基

半无限空间体；半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关；土质点或土单元不可能有侧向位移

侧限应变条件；任何竖直面都是对称面应变条件AB§2土体中的应力计算§2.1自重应力一.水平地基中的自重应力yzxo应变条件应力条件独立变量1.侧限应力状态——一维问题§2土体中的应力计算§2.1自重应力一.水平地基中的自重应力==00000000000000K0：侧压力系数成层地基一.水平地基中的自重应力1.计算公式均质地基竖直向：思考题：水位变化后，原水位到现水位之间的土层用什么容重？§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算水平向：竖直向：水平向：容重：地下水位以上用天然容重γ地下水位以下用浮容重γ’γ2γ3γ12.分布规律自重应力分布线的斜率是容重；自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；在土层分界面处和地下水位处发生转折。不透水层层面及层面以下为上覆水土总重均质地基成层地基一.水平地基中的自重应力§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算水位变化地下水位的升降会引起土中自重应力的变化原水位水位下降后一.水平地基中的自重应力§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算例题

第一层土为细砂

1=19kN/m3,

s=25.9kN/m3,w=18%;第二层土为粘土,

2=16.8kN/m3,

s=26.8kN/m3,w=50%,

wL=48%,

wP=50%,并有地下水位存在。计算土中自重应力。

一.水平地基中的自重应力§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算第二层为粘土层，其液性指数[解]第一层土为细砂，地下水位以下考虑浮力作用故受水的浮力作用，浮重度为一.水平地基中的自重应力§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算a点：z=0，

sz=z=0；b点：z=2m，

sz=192=38kPa；c点：z=5m，

sz=192+103=68kPa；d点：z=9m，

sz=192+103+7.14=96.4kPa分布如图:

一.水平地基中的自重应力§2.1土体自重应力的计算§2土体中的应力计算§2土体中的应力计算§2.1自重应力§2.3附加应力§2.2基底压力计算§2.2基底压力计算基底压力：基础底面传递给地基表面的压力，也称基底接触压力。§2土体中的应力计算基底压力附加应力地基沉降变形基底反力基础结构的外荷载上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。影响因素计算方法分布规律上部结构基础地基建筑物设计暂不考虑上部结构的影响，使问题得以简化；用荷载代替上部结构。一.影响因素基底压力基础条件刚度形状大小埋深大小方向分布土类密度土层结构等§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算荷载条件地基条件抗弯刚度EI=∞→M≠0；反证法:假设基底压力与荷载分布相同，则地基变形与柔性基础情况必然一致；分布:中间小,两端无穷大。二.基底压力分布弹性地基，绝对刚性基础基础抗弯刚度EI=0→M=0；基础变形能完全适应地基表面的变形;基础上下压力分布必须完全相同，若不同将会产生弯矩。§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算条形基础，竖直均布荷载弹性地基，完全柔性基础弹塑性地基，有限刚度基础§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算二.基底压力分布—

荷载较小—

荷载较大砂性土地基粘性土地基—

接近弹性解—

马鞍型—

抛物线型—

倒钟型根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算三.实用简化计算基底压力的分布形式十分复杂简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法基础尺寸较小荷载不是很大BLPBP’BP’BLPBP’荷载条件竖直中心竖直偏心倾斜偏心基础形状矩形条形P’—单位长度上的荷载§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算三.实用简化计算BLPoxy基础形状与荷载条件的组合§2土体中的应力计算§2.2基底压力计算三.实用简化计算exeyBLxyxyBLPP矩形面积中心荷载矩形面积偏心荷载§2土体中的应力计算e<B/6:梯形e=B/6:三角形e>B/6:出现拉应力区§2.2基底压力计算三.实用简化计算xyBLeexyBLexyBLK3KPPP高耸结构物下可能的的基底压力基底压力合力与总荷载相等土不能承受拉力压力调整K=B/2-e矩形面积单向偏心荷载BePPPvPh倾斜偏心荷载分解为竖直向和水平向荷载，水平荷载引起的基底水平应力视为均匀分布。§2土体中的应力计算§2.2基底压力计算三.实用简化计算条形基础竖直偏心荷载BLPBP’BP’BLPBP’荷载条件竖直中心竖直偏心倾斜偏心基础形状矩形条形P’—单位长度上的荷载§2.2基底压力计算§2土体中的应力计算三.实用简化计算BLPoxy基础形状与荷载条件的组合例题（P29）例2-2作业（P42)2-2§2土体中的应力计算§2.1自重应力§2.3附加应力§2.2基底压力计算§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算竖直集中力矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载水平集中力矩形面积水平均布荷载竖直线布荷载条形面积竖直均布荷载圆形面积竖直均布荷载特殊面积、特殊荷载§2土体中的应力计算竖直集中力矩形内积分矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载水平集中力矩形内积分矩形面积水平均布荷载线积分竖直线布荷载宽度积分条形面积竖直均布荷载圆内积分圆形面积竖直均布荷载L/B≥10其他特殊荷载：将荷载和面积进行分解，利用已知解和叠加原理求解§2.3地基中附加应力的计算§2.3地基中附加应力的计算一.竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛涅斯克课题§2土体中的应力计算yzxoPMxyzrRβM’（P；x,y,z；R,α,β)α法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。Valentin

JosephBoussinesq

(1842-1929)§2.3地基中附加应力的计算一.竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛涅斯克课题§2土体中的应力计算查表2－1集中力作用下的应力分布系数0.51.01.52.02.53.0r/z0.50.40.30.20.10K§2.3地基中附加应力的计算竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛涅斯克课题§2土体中的应力计算yzxoPMxyzrRβM’α特点1.σz与α无关，应力呈轴对称分布2.σz:τzy:τzx=z:y:x,合力过原点，与R同向特点3.P作用线上，r=0,K=3/(2π）,z=0,σz→∞，z→∞，σz=04.在某一水平面上z=const，r=0,K最大，r↑，K减小，σz减小5.在某一圆柱面上r=const，z=0,σz=0，z↑，σz先增加后减小6.σz等值线－应力泡§2.3地基中附加应力的计算一.竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题§2土体中的应力计算应力球根球根PP0.1P0.05P0.02P0.01P§2.3地基中附加应力的计算应力扩散§2土体中的应力计算P集中力在地基中引起的应力σz在地基中向深部、向四周无限传播，在传播的过程中应力强度逐渐降低，即为应力扩散表

z=3m处水平面上竖应力计算

例题

土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度z=3m处水平面上的竖向法向应力

z分布，以及距F作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力

z分布。r(m)012345r/z00.330.6711.331.67

0.4780.3690.1890.0840.0380.017

z(kPa)10.68.24.21.90.80.4

[解]列表计算见表4-2和4-3。§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算表

r=1m处竖直面上竖应力z的计算z(m)0123456r/z

10.50.330.250.200.17

00.0840.2730.3690.4100.4330.444

z(kPa)016.813.78.25.13.52.5§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算

土中应力分布图

规律分析：（1）集中力作用线上最大.（2）随着r的增加而逐渐减小。（3）集中力作用点处为奇异点。（4）作用有多个集中力时，可叠加。§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算§2土体中的应力计算竖直集中力矩形内积分矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载水平集中力矩形内积分矩形面积水平均布荷载线积分竖直线布荷载宽度积分条形面积竖直均布荷载圆内积分圆形面积竖直均布荷载L/B≥10其他特殊荷载：将荷载和面积进行分解，利用已知解和叠加原理求解§2.3地基中附加应力的计算§2.3地基中附加应力的计算三.矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算1.角点下的垂直附加应力——B氏解的应用矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks

查表2-2p（2－12）33页Mm=L/B,n=z/B2.任意点的垂直附加应力—角点法a.矩形面积内b.矩形面积外§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算两种情况：荷载与应力间满足线性关系叠加原理角点下垂直附加应力的计算公式地基中任意点的附加应力角点法三.矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算例题2-3

解（1）M点竖向应力例题2-3图将面积abcd通过中心O划成4个相等小矩形按角点法进行计算:考虑矩形面积afOe,已知l1/b1

=3/2=1.5，z/b1=8/4=2由表4-4查得应力系数a=0.038得：

z=4

z(afOe)=40.038100=15.2kPa§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算三.矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算2)N点的竖向应力

叠加公式：

z=z(ajki)+z(iksd)-z(bjkr)-z(rksc)

各面积附加应力计算结果列于表2-5

z=100(0.131+0.051-0.084-0.035)=1000.063=6.3kPa

§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数查表2-3ptM

取微单元，然后再积分！荷载的组合：§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算例题2-4矩形面积基础长l=5m，宽b=3m，三角形分布荷载作用在地表面，荷载最大值p=100kPa。试计算在矩形面积内O点下深度z=3m处M点的竖向应力值。竖向应力多大？§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算[解]1)荷载作用面积叠加通过O点将矩形面积划为4块，假定其上作用均布荷载p1

p1=100/3=33.3kPa用角点法，即

z1=

z1(aeOh)+

z1(ebfO)+

z1(Ofcg)+

z1(hOgd)应力系数可由表2-4查得，结果列于表2-7

§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算

z1=33.3(0.045+0.093+0.156+0.073)=12.2kPa2)荷载分布图形的叠加

ABC=DABE

AFD+CFE§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算

三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上：

z2=z2(aeOh)+z2(ebfO)=p1(t1+t2)

z2=33.3(0.021+0.045)=2.2kPa

§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算三角形分布荷载CFE作用在Ofcg和hOgd上：

z3=z3(Ofcg)+z3(hOgd)=(p

p1)(t3+t4)=6.7kPa于是

z=12.22.2+6.7=16.7kPa§2.3地基中附加应力的计算四.矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算五.圆形面积均布荷载作用时的附加应力计算圆心下查表2-4R--圆形面积的半径圆周边下

取微单元，然后再积分！§2.3地基中附加应力的计算六.竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解§2土体中的应力计算--B氏解的应用M§2.3地基中附加应力的计算七.条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算任意点下的附加应力—F氏解的应用条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数pM查表2-5§2.3地基中附加应力的计算八.条形面积三角形分布竖直荷载作用下的附加应力计算§2土体中的应力计算任意点下的附加应力—F氏解的应用条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数ptM查表2-6小结K——竖直集中荷载作用下 (表2-1)Kc

——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 (表2-2)Kt

——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 (表2-3)Ko

——圆形面积均布荷载作用时园心点下 (表2-4)Kr

——圆形面积均布荷载作用时园周边下 (表2-4)Ksz——条形面积竖直均布荷载作用时 (表2-5)Ktz——条形面积三角形分布荷载作用时 (表2-6)§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算K=F（底面形状；荷载分布；计算点位置）九.影响土中应力分布的因素(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基2.非均匀性—成层地基中轴线附近σz比均质时明显增大的现象

—应力集中；应力集中程度与土层刚度和厚度有关；随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。(2)上层坚硬，下层软弱的成层地基中轴线附近σz比均质时明显减小的现象

—应力扩散；应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关；随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算1.非线性和弹塑性应力水平较高时影响较大(3)土的变形模量随深度增大的地基

—应力集中现象H均匀成层E1E2>E1H均匀成层E1E2<E13.各向异性地基当Ex/Ez<1时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散当Ex/Ez>1时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散§2.3地基中附加应力的计算§2土体中的应力计算十.影响土中应力分布的因素例题（P35）例2-3（P35）例2-4（P39）作业（P42)2-3，2-4§2.4有效应力原理土＝孔隙水固体颗粒骨架+三相体系对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？§2土体中的应力计算孔隙气体+总应力总应力由土骨架和孔隙流体共同承受它们如何传递和相互转化？它们对土的变形和强度有何影响？受外荷载作用Terzaghi（1923）有效应力原理固结理论土力学成为独立的学科孔隙流体1.饱和土中的应力形态PSPSVaa§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算一.有效应力原理的基本概念PSA：Aw：As：土单元的断面积颗粒接触点的面积孔隙水的断面积a-a断面通过土颗粒的接触点有效应力σ’a-a断面竖向力平衡：u：孔隙水压力§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算一.有效应力原理的基本概念2.饱和土的有效应力原理（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’和u，并且（2）土的变形与强度都只取决于有效应力一般地，有效应力总应力已知或易知孔隙水压测定或算定通常,③孔隙水压力的作用对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献，并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力对土的强度没有直接的影响；它在各个方向相等，只能使土颗粒本身受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙水压力对变形也没有直接的影响，土体不会因为受到水压力的作用而变得密实。①变形的原因颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与σ’有关；接触点处应力过大而破碎—与σ’有关。试想：海底与土粒间的接触压力哪一种情况下大？1mσz=u=0.01MPa104mσz=u=100MPa②强度的成因

凝聚力和摩擦—与σ’有关§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算一.有效应力原理的基本概念2.饱和土的有效应力原理（2）（1）土的变形与强度都只取决于有效应力自重应力情况（侧限应变条件）二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

(1)静水条件§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算地下水位海洋土毛细饱和区(2)稳定渗流条件2.附加应力情况

(1)

单向压缩应力状态(2)等向压缩应力状态(3)偏差应力状态1.自重应力情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算

§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算(1)静水条件地下水位地下水位下降引起σ’

增大的部分H1H2σ’=σ-uu=γwH2u=γwH2σ’=σ-u=γH1+γsatH2-γwH2=γH1+(γsat-γw)H2=γH1+γ’H2地下水位下降会引起σ’增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。1.自重应力情况海洋土(1)静水条件§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算γwH1γwH1σ’=σ-u

=γwH1+γsatH2-γwH

=γsatH2-γw(H-H1)

=(γsat-γw)H2

=γ’H2毛细饱和区(1)静水条件§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算1.自重应力情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算毛细饱和区总应力孔隙水压力有效应力＝－+-HΔh砂层，承压水粘土层γsatHΔh砂层，排水γsat(2)稳定渗流条件§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算1.自重应力情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算向上渗流向下渗流土水整体分析A向上渗流:向下渗流:§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算1.自重应力情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算HΔh砂层，承压水粘土层γsat渗流压密渗透压力:思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间的饱和土层用什么容重？取土骨架为隔离体A向上渗流:向下渗流:§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算1.自重应力情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算HΔh砂层，承压水粘土层γsat自重应力:渗透力:渗透力产生的应力:渗透力产生有效应力?2.附加应力情况

几种简单的情形：§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算外荷载附加应力σz土骨架：有效应力(2)轴对称三维应力状态(1)侧限应力状态孔隙水：孔隙水压力超静孔隙水压力(1)

侧限应力状态及一维渗流固结2.附加应力作用情况实践背景：大面积均布荷载p§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算不透水岩层饱和压缩层σz=pp侧限应力状态(1)

侧限应力状态及一维渗流固结2.附加应力作用情况物理模型：钢筒——侧限条件

弹簧——土骨架

水体——孔隙水

带孔活塞——排水顶面

活塞小孔——渗透性大小初始状态边界条件渗透固结过程§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算p一般方程p(1)

侧限应力状态及一维渗流固结2.附加应力作用情况§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算ppp附加应力:σz=p超静孔压:

u=σz=p有效应力:σ’z=0渗透固结过程附加应力:σz=p超静孔压:

u<p有效应力:σ’z>0附加应力:σz=p超静孔压:

u=0有效应力:σ’z=p孔压系数：不排水条件下相当于t=0时刻:§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算2.附加应力作用情况二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算(1)

侧限应力状态及一维渗流固结渗透固结过程u,σ’随时间在变化产生超静孔隙水压力2.附加应力作用情况§2.4有效应力原理§2土体中的应力计算二.饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算（2）轴对称三维应力状态试样压力室压力水排水管阀门轴向加压杆有机玻璃罩橡皮膜透水石顶帽不固结不排水试验从某一初始状态，阀门关闭，连接孔压传感器，施加围压Δ

不固结，量测超静孔隙水压力ΔuB施加Δ

1-Δ

时，阀门关闭，可连接孔压传感器，量测剪切过程中产生的超静孔隙水压力Δ