2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：函数概念与性质2

2021北京重点校高一(上)期中数学汇编

函数概念与性质2

一、单选题

1.(2021•北京・北师大二附中高一期中)已知函数於)二小|,若对任意的烂1有段+口)十/&)<0恒成立，则实数加的

取值范围是()

A.(-oo,-1)B.(・8,-1]C.(-oo,-2)D.(-oo,-2]

2.(2021♦北京♦北师大二附中高一期中)已知函数g(x)=/U)+2,若7U)是奇函数，且g(l)=3,则g(-l)=()

A.-1B.-3C.1D.3

3.(2021・北京・人大附中高一期中)张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如下表：

累计里程平均耗电量剩余续航里程

记录时间

(单位：公里)(单位：kW-h/公里)(单位：公里)

2021年10月2日20000.125380

2021年10月3日22000.124166

(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=

累计耗电量/累计里程，剩余续航里程=剩余电量/平均耗电量)，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的

耗电量估计正确的是()A.10.4B.11.4C.11.8D.12.4

4.(2021.北京.人大附中高一期中)在下列各组函数中，“X)与g(x)表示同一函数的是()

A.〃x)=x,g(》)=(&『B./(x)=k|,g(x)=｛：；j：o

C./(x)=l,g(x)=：D./(x)=x2,g(x)=(x+l)2

5.(2021•北京市十一学校高一期中)设奇函数Ax)的定义域为R,当xe(0,+«>)时，是增函数，且/(1)=0,

则不等式对'(X)20的解集是()

A.[-l,0]u[l,+a>)B.(^»,-l]U[0,l]

C.(-oo,T]UU,Ko)D.以上结果都不对

6.(2021•北京市十一学校高一期中)下列函数中与8(幻=8表示的是同一函数的是()

A./(犬)="B./(%)=(J

C.f(x)=(4)D.f(x)=7?

f(x-l)+2,x>0

7.(2021•北京市十一学校高一期中)已知函数/(、)=•0,x=0f则/(-3)=()

/(x+2)+2,x<0

A.0B.2C.4D.6

8.（2021.北京•清华附中高一期中）已知函数/（x）=/+l,那么f（x-l）=（）

A.久？B.%2+1C.x2—2,x+1D.x?-2x+2

9.（2021.北京•清华附中高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A.y=x2B.y=2x-\C.y=|x|-xD.y=-

x

10.（2021•北京八十中高一期中）已知函数f（x）在区间（0,2）上是减函数，又函数y=/（x+2）是偶函数，那

么f（x）（）

A.在区间（2,4）内是减函数

B.在区间（2,4）内是增函数

C.在区间（一2,0）内是减函数

D.在区间（-2,0）内是增函数

11.（2021•北京八十中高一期中）函数y=*是（）

A.在定义内是增函数B.奇函数

C.偶函数D.非奇非偶函数

12.（2021•北京八十中高一期中）奇函数在区间［3,6］上是增函数，在区间［3,6］上的最大值为8,最小值为

-1,则/（6）+/（-3）的值为（）

A.10B.-10C.9D.15

13.（2021•北京八十中高一期中）下列函数中是偶函数的是（）

2

A.y=x4U＜0）B.y=~~-

X4-1

C.y=3x-lD.y=|x+l|

二、多选题

、一,、［l,xeQ

14.（2021・北京・人大附中高一期中）设函数。（x）=；，则下列结论正确的是（）

A.£＞（x）的值域为［0』B.E＞（7r）＞D（3.14）

C.D（x）是偶函数D.O（x）是单调函数

15.（2021•北京市十一学校高一期中）下列四个函数中，既是偶函数，又在（0,y）上单调递减的是（）

11c11

A.y=—：——B.y=—：——C.y=----D.y=----

x2-lx2+\x-\x+1

三、填空题

16.（2021.北京•人大附中高一期中）已知函数则

/⑴+〃2）+L+/（202l）+/（l）+/［l）+L+/（击卜—.

17.（2021・北京•人大附中高一期中）若不等式/-2〃a+3m-6＞0对一切，“句-2』恒成立，则实数尤的取值范围

是.

18.(2021.北京.人大附中高一期中)已知定义在非零实数上的奇函数“X),满足/(力+2/(-曰=3万，则”1)

等于.

19.(2021•北京市十一学校高一期中)已知函数/*)为定义在R上的奇函数，若x>0时，f(x)=x2+2,则〃x)=

20.(2021•北京市H"一学校高一期中)已知函数f(x-l)=x2+2x+2,若对于，Vx,,+都有

/(^+1)>/(2x,)，则实数机的取值范围为.

21.(2021.北京市十一学校高一期中)函数>=6［的定义域是.

22.(2021.北京•清华附中高一期中)函数/(x)=x+：(xe［l,6］)的值域是_________

23.(2021.北京八十中高一期中)写出函数/。)=-炉+3|X|的单调递增区间.

24.(2021.北京.101中学高一期中)用max{a,。}表示a力两个实数中的最大值.设/(x)=max{x+2,f-3x+5},则

函数/(X)的最小值是

四、解答题

25.(2021.北京•人大附中高一期中)已知函数〃力=反詈且〃1)=2.

(1)判断并证明函数/(x)在其定义域上的奇偶性；

(2)证明函数/(x)在(1.+«0上是增函数.

26.(2021•北京•北师大二附中高一期中)已知函数，(X)=2X+2+CS，c为常数)，/1)=4,#2)=5.

X

(1)求函数40的解析式；.

(2)用定义证明：函数人x)在区间(0,1)上是减函数.

27.(2021•北京市H^一学校高一期中)若函数f(x)的定义域为。，集合用=£>,若存在非零实数/使得wxe例，都

有x-teD,且旦),则称/(x)为〃上的r㊉函数.

(1)已知函数g(x)=x,函数a(x)=L,判断g(x)与〃(X)是否为区间［4,6］上的3㊉函数，并说明理由；

X

⑵已知函数/(x)=x+L且/(X)是区间［-2,-1］上的"㊉函数，求正整数〃的最小值；

X

⑶如果/(X)是定义域为R上的奇函数，是否存在实数a,使得当x20时，f(x)=\x+a\+a,且/*)为R上的2㊉函

数？若存在，求实数。的取值范围；若不存在，请说明理由.

28.(2021•北京・清华附中高一期中)已知函数/(x)=2x|x-a|+x.

⑴若〃x)为奇函数，求。的值；

⑵当。=1时，求函数fM在区间［0,4］上的最大值；

⑶若Vxei,l,函数/(x)的图像恒在g(x)=2x图像下方，求实数”的取值范围.

29.(2021・北京・101中学高一期中)已知函数八B=登咚是定义在“1,1]上的奇函数，且/⑴=工

⑴求函数“X)的解析式；

(2)用定义证明〃x)在上是增函数；

⑶若实数f满足不等式W-1)+/⑺<0,求r的取值范围

30.(2021・北京,101中学高一期中)已知二次函数y=/(x)满足：①/(0)=3；②当x=—l时，函数F⑴取得最小

值2.

⑴求“X)的解析式；

(2)记g(x)=/(x)+/nr-l,XG[-l,2].

①若g(x)是定义域上的单调函数，求在机的取值范围；

②记g(x)的最小值为/?(〃?)，求方程〃(〃?)=1的解集.

参考答案

1.C

【分析】首先结合已知条件可知/(X)为奇函数，利用奇偶性的对称性和函数解析式求出单调性，然后将不等式转化

为/(x+,〃)</(-x),结合函数单调性和恒成立含义即可求解.

【详解】因为f(x)=x|x|,fffW/(-x)=-X|-X|=-X|X|=-f(x),故/(x)为奇函数，

因为当x20时，单调递增，

故f(x)在(-8,0］上单调递增，

因为对任意的烂1有恒成立，

所以当X41时，f{x+w)<-/(x)=f(-x)恒成立，

从而x+mv-x,即对任意的立1恒成立，

从而机<-2,即实数机的取值范围是

故选：C.

2.C

【分析】结合己知条件首先求出了⑴，然后利用奇函数的性质求出/(-I),进而即可求出g(-D.

【详解】由题意可知,g⑴=〃1)+2=3,则/⑴=1,

因为/(x)是奇函数，所以/(T)=—/⑴=—1,

故g(-D=/(-l)+2=-l+2=l.

故选：C.

3.B

【分析】根据题目中耗电量的定义，算出形势200公里的平均耗电量乘以公里数即为答案.

【详解】解：由题意得：

2200x0.124-2000x0.125八…

累计200公里内的平均耗电量:-----------------------=0.114

200

行驶100公里的耗电量:0.114x100=11.4

故选：B

4.B

【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.

【详解】若/G)与g(x)表示同一个函数，则Ax)与g(x)的定义域和解析式相同.

A：的定义域为R,g(x)的定义域为［0，+8),故排除A；

(x,x>0

B：/(%)=C，与g(x)的定义域、解析式相同，故B正确；

［-x,x<0

C：/(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{H》工0},故排除C；

D：/(*)与g(x)的解析式不相同，故排除D.

故选：B

5.C

【分析】当x=O,T』时，不等式加为20显然成立，再讨论当XHO,XK-1,XH1时不等式的解集，综合即得解.

【详解】解：•.・奇函数f(x)在(0,”)上为增函数，f(1)=0,

；・函数/(x)在(T»,0)上为增函数，K/(-D=-/(1)=0,

当*=0,-1,1时・，不等式4Xx)20显然成立，

当xwO,xw-l,xwl时，

则不等式等价为x>0时,/(x)>0,此时X>1；

当x<0时，/(X)<0,此时XC-1,

综上不等式的解为X4-1或壮1,

故不等式的解集为：(9,-i]un,y).

故选：C

6.A

【分析】对于A：/(x)=#7=x,与g(x)=x中的x取值范围相同；

对于B：与g(x)=x中的X可取任意值的取值范围不同;

对于C：/(x)=(J7『=x，与g(x)=x中的X可取任意值的取值范围不同;

对于D：f(x)=7?=IA：|,与8(九)="不是同一函数.

【详解】对于A：/(x)=%F=x,并且其定义域为凡x取任意值时，与g(x)=x中的x取值范围相同，所以两个

函数是同一函数，故A正确;

对于B：/(x)=(£|=》，定义域为(r°，°)U(。，+8),与g(x)=x中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函

数不是同一函数，故B不正确；

对于C：/(©=(4『=x,定义域为[0,+8),与g*)=x中的x可取任意值的取值范围不同，所以两个函数不是同

一函数，故C不正确；

对于D：/(x)=V?=|x|,所以与8(工)=》不是同一函数，故D不正确，

故选：A.

7.D

【分析】根据分段函数解析式求得了(-3)的值.

【详解】依题意/(-3)=/(-3+2)+2=/(-1)+2

=/(-1+2)+2+2=/(1)+4

=/(1—1)+2+4=/(0)+6=6.

故选：D

8.D

【分析】把x-1看作一个整体代入

【详解】因为人力=/+1,把X-1看作一个整体代入，得：/(X-D=(X-1)2+1=X2-2X+2

故选：D

9.C

【分析】利用基本初等函数的奇偶性与值域可判断各选项.

【详解】对于A,函数y=f为偶函数，值域为［0,户)，不满足条件；

对于B,函数y=2x-l为非奇非偶函数，值域为R,不满足条件；

对于C,令〃x)=xk］,该函数的定义域为R,

f(-X)=-X|-A)=-x|x|=-f(x),函数=为奇函数，

当xVO时，/(x)=-x2<0,当x>0时，/(x)=x2>0,

所以，函数〃x)=x|耳的值域为R,满足条件；

对于D,函数y=:为奇函数，值域为｛y|yw。｝,不满足条件.

故选：C.

10.B

【分析】根据函数y=/(x+2)是偶函数，得到函数y=/(x)关于工=2对称，结合函数对称性和单调性的关系进行转

化判断即可.

【详解】解：・函数y=/(x+2)是偶函数，

函数y=/(x+2)关于y轴对称，

即函数y=/(x)关于x=2对称，

••,函数/(X)在(0,2)上是减函数，

函数/(X)在(2,4)上是增函数，

故选：B.

11.B

【分析】根据幕函数的性质判断可得；

【详解】解：函数3二八力二一%3定义域为R,且y(_x)=-(-x)'=V=-/(x),故y=-x3为奇函数，因为>在

定义域上单调递增，所以y=-/在定义域上单调递减；

故选：B

12.C

【分析】根据函数在区间［3,6］上是增函数，可求得,〃3),/(6),再根据函数的奇偶性可得/(-3),从而可得出答案.

【详解】解：因为『(X)在区间［3,6］上是增函数，

所以在区间13,6］上/(x)a=/(6)=8，/(x),rin=/(3)=-1，

又因为函数/(x)为奇函数，

所以3)=-"3)=1,

所以/(6)+/(-3)的值为9.

故选：c.

13.B

【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.

【详解】解：对于A,因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；

对于B,函数y=〃x)=F、2的定义域为R,

/(-")=W="x)'所以函数为偶函数，故B符合题意；

对于C,函数>=〃力=3工-1的定义域为/?,

/(-x)=-3x-l^/(x),所以函数不是偶函数，故C不符题意；

对于D,函数y=f(x)=|x+l|的定义域为R,

因为/(T)=0*/(l)=2,所以函数不是偶函数，故D不符题意.

故选：B.

14.BC

【分析】由。(到的值域为｛1,2｝判断A,由。(兀)=2>。(3.14)=1判断B,根据奇偶性的定义判断C；由

。⑴=。(2)=。(3)=1判断口.

【详解】。⑺的值域为｛L2｝,故A错误；

。(兀)=2>。(3.14)=1,故B正确；

定义域关于原点对称，当xe。时，-xeQ,则£>(—)=1=£>(x)；当x任Q时，-*任。，则£>(-x)=2=£>(x),即

O(x)是偶函数，故C正确；

因为0(1)=0(2)=0(3)=1,所以。(x)不是单调函数，故D错误；

故选：BC

15.AB

【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间(0,+8)上的单调性，即可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为的定义域为何*工±1｝,其定义域关于原点对称，且商匚7=7=7,所以函

数丫=£为偶函数，又该函数在区间(°，+8)上单调递减，故A正确；

1111

对于B选项，因为y=的定义域为R,其定义域关于原点对称，且/«广~777,所以函数>二一;偶函

数，又该函数在区间(0,+8)上单调递减，故B正确；

对于C选项，因为y=W■的定义域为｛x|xwl｝,其定义域不关于原点对称，函数>=9•是非奇非偶函数，故C

不正确;

对于D选项，因为y=匕的定义域为{RXH-I},其定义域不关于原点对称，函数y=匕是非奇非偶函数，故D

不正确.

故选：AB.

4041

【分析】根据函数解析式求出『(,)，进而可得〃幻+/(3=1,由此可得结果.

XX

21(-)2J

【详解】因为/(%)=—三，所以八一)二-5—=~r，

1+XX[+^_\21+X

X

1r21

所以/(乃+/(-)=1=+^~7=1，

X1+X1+X

所以/⑴+/(2)+…+/(2021)+/(；)+…+/(全)

11114041

=/⑴+"(2)+/(-)]+"⑶+/(-)]--+[/(2021)+/(-)]=-+2020=—.

乙J乙V/4£，,

4041

故答案为:

2

17.(-oo,-6)u(3,+oo)

【分析】利用变换主元法将"?看成自变量，将x看成参数即可求解.

【详解】解：不等式/一2皿+3初-6>0对一切恒成立

将加看成自变量，将x看成参数，将不等式化为：

(3-2“机+工2-6>0对一切加€[-2川恒成立

g(???)=(3-2x)m+x1-6

即g(加)>0对一切机e[-2,1卜恒成立

fg(-2)>0L2+4X-12>0

g(l)>0[x-2x-3>0

解得：x>3或xv-6

所以实数x的取值范围是：工武―,-6)3(3,转)

【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主

元法进行求解.

18.-3

【分析】由〃x)+2/(-J=3x可得/(1)+2/(-1)=3,再根据奇函数的定义，即可求解.

【详解】V/(x)+2/3x,

.­,/(1)+2/(-1)=3,

V为定义在非零实数上的奇函数，

=g|J/(l)-2/(l)=3,

•••/(I)=-3.

故答案为：-3.

X2+2,(X>0)

19.<0,(x=0)

_》2_2,(X<0)

【分析】根据奇函数的定义求得当x<0时，函数的解析式，以及/(0)=0,可得函数的解析式.

【详解】解：因为函数/⑶为定义在R上的奇函数，所以/(T)=-/&),且"0)=0,

又x>0时，/(X)=X2+2,

所以当x<0时，一%>0时，所以〃X)=-/(-X)=-[(-X)2+2]=-X2—2,

X2+2,(X>0)

所以/(x)=,。，(工=0)，

—JC—2,(x<0)

X2+2,(X>0)

故答案为：0,(元=0).

—%2—2,(x<0)

【分析】先求出进而求出/(X+1)与/(2幻的解析式，VX,,超日九〃+21]，都有/(%+1)>/(24)，等价于

Vxe["?,"7+1],有f(X+D而n>/(2幻2,对机进行分类讨论，求出实数加的取值范围

【详解】因为/(1—1)=尤2+2工+2,令工一1二，，则产1+1

22

月〒以/«)=(，+1)+2(z+l)+2=r+4r+5,故/(x)=f+4%+5

所以/(x+l)=(x+l)2+4(x+l)+5=f+6x+10,

/(2X)=4X2+8X+5

令g(x)=x2+6x4-10,h(x)=4x2+8x+5

V%,x2+,都有/(内+1)>/(29)

等价于Vxe[m9m+l]f有^(x)nlin>A(x)max

当机+14-3,即mW-4时

22

g(x)与h(x)在x£[m,m+1]上单调递减，故^(x)min=g(m+V)=m+8m+17,A(x)max=h(m)=4m+8机+5

所以机*+8/〃+17>4〃7?+8/%+5,解得：—2<m<2

结合帆■得：777G0

""24一3,

当《,国J-4v/<-3时

+1>—3

g(x)在-3)上单调递减，在工«-3,6+1］单调递增；/l(x)在工£［根,〃2+1］上单调递减，g(x)min=g(-3)=1,

/?(x)max=h(m)=4芯+8m+5

所以1>4>+8优+5,化简：4(m+l)2<0,解得加£0

结合-4〈优《一3得：me0

,［m>-3

当1/即一3〈〃区一2时

［n/4-l<-1

g(X)在XE［枢加+1］上单调递增，h(X)在X£［八m+1］上单调递减，

g(X)min=g(m)=/^+66+10,力(X)aax=A(/H)=+8/7：+5

所以加之+6/九+10>4机2+8m+5,解得一•!<根<1

结合一3V-2得：me0

加+团+1.

--------<-13

当《2一，BP-2<m<一一时

m+\>—\

g(X)在X£［〃2,机+1］上单调递增，力(外在工目〃?,-1)上单调递减，在光«-1,m+1］上单调递增，且对称轴更靠近

2

X=/W+l,故8(幻„1加=8(〃2)=机2+6机+10,加工号州=/?(7W)=4/«+8/77+5

所以机2+6机+10>4机*+8/〃+5,解得一］<"?<1

353

结合_2<〃?〈一：求得：-1</77<-^

机+〃2+1«

-------->—13

当2,即一一<根《一1时

m<-\

g(x)在上单调递增，%⑴在xc［〃?,T)上单调递减，在尤£(-1,m+1］上单调递增，且对称轴更靠近

x=团，故g(x)min=g(m)=I%?+6%+10,=h(m+1)=4(根+11+8(m+1)+5=4m2+16机+17

7

所以m2+6/n+10>4/rr+16m+17,解得一§<小<一1

33

结合一三<m<一1得：--<tn<-\

22

当tn>-\时

g(x)与h(x)在X£［根,〃?+1J上单调递增,故g(x)min=人(祖)=疗+6m+10,

〃(X)max=〃(〃?+1)=4(根+1)~+8(m+1)+5=4〃「+16〃2+17

7

所以加+6机+10>4〃，+16帆+17,解得一§<机<一1

结合加>-1得：me0

综上所述：加1,-1）

故答案为：（-g,-1）

21.（-<x）,O）U［L+°°）##{x|x<0或x21}.

【分析】由被开方数非负，可求出函数的定义域

1X-1

【详解】解：由1--20,得口20,,解得或x<0

XX

所以函数的定义域为（,,。）［1,田）,

故答案为：（fO,0）U［l,+℃）.

22.［2亚可##卜|2"力词

【分析】利用双勾函数的单调性可求得函数f（x）的值域.

【详解】任取4、々e［l,J7］且占<%，即14占<七4夜，则1<x］x2<7,

7(%-xJ_G-xl(X|X2-7)：0

“斗）一/亿）=办+工=(%,-%,)+

x

\\.7玉工2

.•./a）>/（xj,所以，函数“X）在［1,4］上单调递减，同理可证函数“X）在［近同上单调递增,

所以，/（5,=/（疗）=2夕，

又因为/⑴=8,46）=?,/（1）>/（6）,所以，〃孙叱"⑴=8,

因此，函数“X）的值域为［2疗,81

故答案为：［277,8］.

一8,一3|}口。］

23.

2

_+3xX-〉0

【分析】先化简函数函数得/。）=-/+3凶=，-JF二。’再画出函数的图像得到函数的单调递增区同

-x2+3x,x>0

【详解】由题意，函数/。）—+3|目

-x2-3x,x<0

作出函数f（x）的图象如图所示:

故答案为：(—LIJ和(o'1")

24.3.

【分析】将函数y=2+x,y=/-3x+5的图像画在一个坐标系中，根据题干知取该图中中靠上的部分就是

/(x)=max{x+2,x2-3x+5}的图像，在这个图像中找到最低点，最低点的纵坐标就是函数的最小值.

根据题意在一个坐标系中画出y=2+x,y=/-3x+5两个函数的图像，得到图像如上图，

取其中靠上的部分，即曲线AC,线段A8,曲线3。这三部分所构成的分段函数，

就是,f(x)=max{x+2,f-3x+5}的图像，再取这部分图像的最低点，由图知应该是点A,该点的纵坐标即函数的最

小值.

联立.一，anf-4x+3=0nx=l或x=3,由图知乙=1，代入函数表达式得到力=3,即函数的最小值

为3.

故答案为：3.

25.(l)/(x)是奇函数，证明过程见解析；

(2)证明过程见解析.

【分析】(1)先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；

(2)根据单调性的定义进行证明即可.

(1)函数/(x)在其定义域上是奇函数，证明过程如下.

证明：••・函数=且"1)=2

a+1=2,即a=1

XX

•・・〃”的定义域为{叶—0},关于原点对称

函数/(x)在其定义域上是奇函数

(2)证明：设%,%2G(l,+oo),且大<々，则

/⑷-/⑸

11

"-x2+--------

x2-xL1

=Xj-x2+----

x2

=(Xi_X2)v^z!

Xj<Xj

-X2<0

又V5,x,e(l,+oo)

/.x}x2>1,即x,-x2-1>0

函数/(x)在(1，位)上是增函数.

2

26.(l)/(%)=2x+-

x

(2)证明见解析

【分析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可：(2)首先设任意的为，&e((),l),且王＜三，然后利用作差法比

较/(为)和/(%,)大小，再结合函数单调性的定义即可证明.

/(1)=2+Z?4-C=4

(1)由题意可知,h，解得b=2,c=0,

/(2)=4+-+c=5

2

故函数7U)的解析式为：/(x)=2x+-.

x

(2)设任意的X],^e(O,l),且玉<々，

221

x

则/(X)一f(2)=2%d----(2X2H)=2(x—x2)(l-----),

%x2x}x2

因为为，x2G(O,1),且不</，所以元1一工2<。，JY>1，即1---L<°，

々人2百/

从而/(%)-/(々)>。，即/(%>>/(1),

故函数兀V)在区间(0,1)上是减函数.

27.(1)函数g(x)是区间[4,6]上的3㊉函数，力(x)不是，理由见解析；

0)1；

⑶存在，~<a<0.

【分析】(1)利用M上的1㊉函数的定义检验函数g(x)=x和〃。)=,即得解；

X

(2)化简x-〃+,<x+L得〃〉x—,对于xeI-2,-1]恒成立，求函数的最值即得解；

x-nxx

(3)利用/(。)=。得到。40,再作出函数f(x)的图象分析即得解.

(1)

解：对于函数g(x)=x,D=R,Vxe[4,6],x-3&D,g(x-3)-g(x)=x-3-x=-3<0,:.g(x-3)<g(x),所以函数

g(x)是区间[4,6]上的3㊉函数.

对于函数函数力。)=,,£>=(7,0)U(0,+8),Vxe[4,6],x-3e[l,3],

X

113

h(x-3)-h(x)=--一一=一―-->0,/.h(x-3)>/i(x),所以函数〃(x)是区间[4,6]上的3㊉函数.

x-3xx(x-3)

(2)

解：因为函数f(x)=x+L,D={x\x^0},知=[-2,-1],万一〃6£>,且/(乂)是区间[-2,-1]上的〃心函数，

X

所以x二一〃+—!—<■!■对于xw[-2,-l]恒成立，

x-nxx-nx

所以〃〉x-,对于工£[-2,-1]恒成立，

X

因为y=x-4是增函数(增函数+增函数=增函数)，

X

所以〃>-1+1=0,所以正整数”的最小值为1.

(3)

解：由题得/(())=(),所以f(0)=|a|+a=0,，“40.

..[x+2a,x>-a

当xNO时，f(x)=|x+a|+a={,

[-x,x<-a

由于函数/(X)是奇函数，所以函数的图象如图所示，f(a)=f(-3a)=-a,

因为/*)为R上的2㊉函数，

所以/(X-2)</(x)对于R恒成立，

所以一3“一a<2,a>—,因为aV0,所以—<aV0.

22

(2)28

⑶

【分析】⑴根据函数/(x)为奇函数和函数的定义域，可得=由此即可求出结果;

2,x~—x,x21

(2)当a=l时,f(x)="根据分段函数求出每一段的最大值，进行比较即可求出结果;

—2r+3x,x<1

(3)由题意可知，对Vxe,/(x)<2x恒成立，等价于对Vxei1,犬一:<〃<恒成立，由此可得对

_2J|_2」22

[x-；]<a<[x+^\,再根据一次函数的性质，即可求出结果.

.2」\//maxV乙)min

(1)解：因为函数/(X)的定义域为R,且f(x)为奇函数，

所以/(1)=一/(一1),即/。)+/(-1)=0

所以2|l-q|+l-2|l+a|-l=0,

所以H-a|=|l+a|,解得a=0.

।If2x~—x,x21

(2)解：当a=l时，f(x)=2x\x-\\+x=\,,

［-2x'+3x,x<l

当时，函数/(x)=2x2-x,在区间［1,4］上单调递增,

所以/(X)max="4)=28;

当X<1时，函数/(x)=-2/+3x,在区间0,1上单调递增，在区间上单调递减,

所以/(%=©)=，

综上，当。=1时，函数"X)在区间［0,4J上的最大值为28；

(3)解：因为Txw1,1,函数/*)的图像恒在g(x)=2x图像下方，

所以对Vxe,/(x)<2